LA Se caracteriza la ecuación de segundo grado por uno polinomio de grado 2, es decir, un polinomio de tipo ax2+ bx + c, donde La, B y C ellos son numeros reales. Al resolver una ecuación de grado 2, nos interesa encontrar valores para la incógnita. X que hace que el valor de la expresión sea igual a 0, que se llaman raíces, es decir, ax2 + bx + c = 0.
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Tipos de ecuaciones de segundo grado
La ecuación de segundo grado puede ser representado por ax² + bx + c = 0, donde los coeficientes La, B y C son números reales, con La ≠ 0.
→ Ejemplos de
a) 2x2 + 4x - 6 = 0 → a = 2; b = 4 y c = - 6
b) x2 - 5x + 2 = 0 → a = 1; b = - 5 y c = 2
c) 0.5x2 + x –1 = 0 → a = 0,5; b = 1 y c = -1
La ecuación de segundo grado se clasifica como completo cuando todos los coeficientes son diferentes de 0, es decir, La ≠ 0, B ≠ 0 y C ≠ 0.
La ecuación de segundo grado se clasifica como incompleto cuando el valor de los coeficientes B o C son iguales a 0, es decir, b = 0 o c = 0.
→ Ejemplos de
a) 2x2 - 4 = 0 → a = 2; b = 0 y c = - 4
b) -x2 + 3x = 0 → a = - 1; b = 3 y c = 0
c) x2 = 0 → a = 1; b = 0 y c = 0
Aviso: el valor del coeficiente La nunca es igual a 0, si eso sucede, la ecuación ya no es de 2º grado.
¿Cómo resolver ecuaciones de segundo grado?
La solución de una ecuación de segundo grado ocurre cuando el raíces se encuentran, es decir, los valores asignados a X. Estos valores de X debe hacer que la igualdad sea verdadera, es decir, sustituyendo el valor de X en la expresión, el resultado debe ser igual a 0.
→ Ejemplo
Considerando la ecuación x2 - 1 = 0 tenemos que x ’= 1 y x’ ’= - 1 son soluciones de la ecuación, porque sustituyendo estos valores en la expresión, tenemos una verdadera igualdad. Vea:
X2 – 1 = 0
(1)2 - 1 = 0 y (–1)2 – 1 = 0
Para encontrar la solución de un ecuación, es necesario analizar si la ecuación está completa e incompleta y seleccionar qué método se utilizará.
Método de solución para ecuaciones de tipo ax²+ c = 0
El método para determinar la solución de ecuaciones incompletas que tienen B=0consiste en aislar lo desconocido X, así:
→ Ejemplo
Encuentra las raíces de la ecuación 3 veces2 – 27 = 0.
Si desea saber más sobre este método, visite: Ecuación incompleta de segundo grado con coeficiente nulo b.
Método de solución para ecuaciones de tipo hacha2 + bx = 0
El método para determinar las posibles soluciones de una ecuación con C = 0, consiste en utilizar el factorización de pruebas. Vea:
hacha2 + bx = 0
x · (ax + b) = 0
Al mirar la última igualdad, se nota que hay una multiplicación y que para que el resultado sea 0, es necesario que al menos uno de los factores sea igual a 0.
x · (ax + b) = 0
x = 0 o ax + b = 0
Por tanto, la solución de la ecuación viene dada por:
→ Ejemplo
Determina la solución de la ecuación 5 veces2 - 45x = 0
Si desea saber más sobre este método, visite: Ecuación de segundo grado incompleta con coeficiente nulo c.
Método de solución para ecuaciones completas
El método conocido como Método Bhaskara o Fórmula de Bhaskara señala que las raíces de una ecuación de segundo grado de tipo ax2 + bx + c = 0 viene dado por la siguiente relación:
→ Ejemplo
Determina la solución de la ecuación X2 - x - 12 = 0.
Tenga en cuenta que los coeficientes de la ecuación son: a = 1; B= - 1 y C = – 12. Sustituyendo estos valores en la fórmula de Bhaskara, tenemos:
El delta (Δ) lleva el nombre de discriminante y observe que está dentro de un raíz cuadrada y, como sabemos, teniendo en cuenta los números reales, no es posible extraer la raíz cuadrada de un número negativo.
Conociendo el valor del discriminante, podemos hacer algunas afirmaciones sobre la solución de la ecuación de segundo grado:
→ discriminante positivo (Δ> 0): dos soluciones a la ecuación;
→ discriminante igual a cero (Δ = 0): se repiten las soluciones de la ecuación;
→ discriminante negativo (Δ <0): no admite una solución real.
Sistemas de ecuaciones de segundo grado
Cuando consideramos simultáneamente dos o más ecuaciones, tenemos un sistema de ecuaciones. La solución de un sistema de 2 variables es la conjunto de pares ordenados que satisface simultáneamente todas las ecuaciones involucradas.
→ Ejemplo
Considere el sistema:
Con los valores: x ’= 2, x’ ’= - 2 e y’ = 2, y ’’ = - 2 podemos ensamblar pares ordenados que satisfagan las ecuaciones del sistema simultáneamente. Ver: (2, 2), (2, - 2), (- 2, 2), (- 2, - 2).
Recuerde que un par ordenado se escribe de la forma (x, y).
Los métodos para encontrar la solución de un sistema de ecuaciones son similares a los de sistemas lineales.
→ Ejemplo
Considere el sistema:
De la ecuación x - y = 0, despeguemos la incógnita X, así:
x - y = 0
x = y
Ahora debemos sustituir el valor aislado en la otra ecuación, así:
X2 - x –12 = 0
y2 - y –12 = 0
Usando el método de Bhaskara, tenemos que:
Dado que x = y, tendremos x ’= y’ y x ’’ = y ’’. O sea:
x ’= 4
x ’’ = -3
Por tanto, los pares ordenados son soluciones del sistema (4, 4) y (- 3, - 3).
Lea mas: Sistema de ecuaciones de 1er y 2do grado
Ejercicios resueltos
Pregunta 1 - (ESPM -SP) Las soluciones de la siguiente ecuación son dos números
a) primos.
b) positivo.
c) negativo.
d) parejas.
e) extraño.
Solución
Sabemos que los denominadores de una fracción no pueden ser iguales a cero, entonces x ≠ 1 y x x 3. Y como tenemos una igualdad de fracciones, podemos multiplicar de forma cruzada, obteniendo:
(x + 3) · (x + 3) = (x - 1) · (3x +1)
X2 + 6x +9 = 3x2 - 2x - 1
X2 - 3 veces2 + 6x + 2x +9 +1 = 0
(– 1) - 2x2 + 8x +10 = 0 (– 1)
2x2 - 8x - 10 = 0
Dividiendo ambos lados de la ecuación por 2, tenemos:
X2 - 4x - 5 = 0
Usando la fórmula de Bhaskara se sigue que:
Tenga en cuenta que las raíces de la ecuación son números impares.
Alternativa e.
Pregunta 2 - (UFPI) Un avicultor descubrió que después de colocar (n +2) aves en cada uno de los n aviarios disponibles, solo quedaba una. El número total de aves, para cualquier valor natural de n, es siempre
a) un número par.
b) un número impar.
c) un cuadrado perfecto.
d) un número divisible por 3.
e) un número primo.
Solución
El número de aves se puede encontrar multiplicando el número de aviarios por el número de aves colocadas en cada uno. de ellos, por el enunciado del ejercicio luego de hacer este proceso aún queda un pájaro, podemos escribir todo esto en el siguiente manera:
n · (n + 2) +1
Realizando la distributividad obtendremos:
No2 + 2n +1
Y factorizando este polinomio se deduce que:
(n + 1)2
Por lo tanto, el número total de aves es siempre un cuadrado perfecto para cualquier número natural n.
Alternativa C
por Robson Luiz
Profesor de matemáticas
Fuente: Escuela Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-2-grau.htm