Polígonos son fotos geometría plana y cerrado formado por segmentos rectos. Los polígonos se dividen en dos grupos, el convexo y los no convexo. Cuando un polígono tiene todos sus lados iguales y, en consecuencia, todos los anglos igual interno, es un polígono regular. Los polígonos regulares se pueden nombrar de acuerdo con el número de sus lados.
Vea también: Construcción de polígonos circunscritos
Elementos de un polígono
Un polígono es una figura plana y cerrada formada por la unión de un número finito de segmentos de línea recta. Entonces, considere cualquier polígono:
Los puntos A, B, C, D, E, F, G y H son los vértices del polígono y están formados por la reunión de los segmentos AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH y HA, denominados lados del polígono.
Los segmentos AF, AE, AD y BG son los diagonales del polígono. (Tenga en cuenta que estos son algunos ejemplos de diagonales, en el polígono anterior tenemos más de estos.) Las diagonales son segmentos de línea que "conectan" los vértices del polígono.
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Nomenclatura de un polígono
Podemos nombrar los polígonos según su número de lados. Vea el nombre de los polígonos principales en la siguiente tabla.
Número de lados (n) |
Nomenclatura |
3 |
triángulo |
4 |
cuadrilátero |
5 |
Pentágono |
6 |
Hexágono |
7 |
Heptágono |
8 |
Octágono |
9 |
Eneagon |
10 |
Decágono |
11 |
Undecágono |
12 |
Dodecágono |
15 |
Pentadecágono |
20 |
Icoságono |
Tenga en cuenta que no es necesario decorar la mesa, sino entenderla. Con la excepción del triángulo y el cuadrilátero, la formación de palabras es:
Número de lados + gono
Por ejemplo, cuando tenemos el polígono de cinco lados, recordar automáticamente el prefijo penta más el sufijo gono: Pentágono.
Ejemplo
Determina el nombre del siguiente polígono:
clasificación de polígonos
Los polígonos se clasifican por medida de tus ángulos y lados. Se dice que un polígono es equilátero cuando tiene lados congruentes, es decir, todos los lados son iguales; y se llamará equiángulo cuando tenga ángulos congruentes, es decir, todos ángulos iguales.
Si un polígono es equilátero y equiángulo, entonces será un polígono regular.
En cada polígono regular, el centro está a la misma distancia de los lados, es decir, es equidistante de los lados. El centro del polígono es también el centro del círculo inscrito en el polígono, es decir, el circunferencia que está "dentro" de la circunferencia.
Lea mas: Similitud de polígono: vea cuáles son las condiciones
Suma de los ángulos interiores de un polígono
Ser elI un ángulo interior de un polígono regular de n lados, representaremos la suma de estos ángulos interiores por SI.
Así, la suma de los ángulos internos viene dada por:
sI = (n - 2) · 180 °
Para calcular el valor de cada ángulo interno, simplemente tome la suma de los ángulos internos y divida por el número de lados, es decir:
LaI = sI
No
Ejemplo 1
Determine la suma de los ángulos interiores y luego la medida de cada ángulo interior de un icoságono.
Sabemos que un icoságono tiene veinte lados, entonces n = 20. Reemplazando en las relaciones, tenemos:
sI = (n - 2) · 180 °
sI = (20 - 2) · 180°
sI = 18 · 180°
sI = 3240°
Ahora, para determinar el valor de cada ángulo interno, simplemente divida el valor encontrado por el número de lados:
LaI = 3240°
20
LaI = 162°
Ejemplo 2
La suma de los ángulos interiores de un polígono regular es 720 °, encuentre el polígono.
Reemplazando la información de la declaración en la fórmula, tenemos:
720 ° = (n - 2) · 180 °
720 ° = 180n - 360 °
180n = 720 ° + 360 °
180n = 1080 °
n = 1080°
180°
n = 6 lados
Por tanto, el polígono deseado es el hexágono.
Suma de los ángulos externos de un polígono
La suma de los ángulos externos de un polígono siempre es igual a 360 °.
sy = 360°
Lay = sy
No
Lay = 360°
No
Diagonales poligonales
Considere un polígono de n lados. Para determinar el número de diagonales (d), usamos la siguiente relación:
d = n · (n - 3)
2
Ejemplo
Determina el número de diagonales en un pentágono y grafícalas.
Sabemos que un pentágono tiene cinco lados, entonces n = 5. Sustituyendo la expresión, tenemos que:
d = 5 · (5 - 3)
2
d = 5 · 2
2
d = 5
Área y perímetro de polígonos
O perímetro de polígonos se define por el suma de todos los lados. El área de un polígono se calcula dividiendo el polígono en figuras que son más fáciles de calcular el área, como el triángulo y el cuadrado.
LAΔ = base · altura
2
LAcuadrado = base · altura
Ejemplo
Determina una expresión matemática que represente el área de un hexágono regular.
Solución:
Inicialmente, considere un hexágono regular y todos los segmentos de línea recta que conectan el centro del polígono con cada vértice. Así:
Nótese que debido al hecho de que el hexágono es regular, al dividirlo encontramos seis triangulos equiláteros, por lo que el área del hexágono es seis veces el área del triángulo equilátero, es decir:
LAhexágono = 6 · AΔ
LAhexágono = 6 · l2 · √3
4
LAhexágono = 3 · l2 · √3
2
LAhexágono = 3 · l2·√3
2
Lea también:área del triángulo equilátero
ejercicios resueltos
Pregunta 1 - (Enem) Una piscina tiene la forma de un polígono regular cuyo ángulo interno es tres veces y media el ángulo externo. ¿Cuál es la suma de los ángulos interiores del polígono cuya forma es la misma que esta piscina?
a) 1800 °
b) 1620a
c) 1440 °
d) 1260 °
e) 1080 °
Solución
Como no conocemos el número de lados del polígono, imaginemos solo uno de los vértices de este polígono.
De la imagen podemos ver que:
LaI + ely = 180 ° (I)
De la declaración tenemos que:
LaI = 3,5 · ay (II)
Sustituyendo la ecuación (II) en la ecuación (I), tendremos que:
3,5 · ay + ely = 180°
4,5 · ay = 180°
Lay = 180°
4,5
Lay = 40°
Sin embargo, sabemos que un ángulo interior es la división de 360 ° entre el número de lados del polígono. Así:
Lay = 360°
No
40° = 360°
No
40n = 360 °
n = 360°
40°
n = 9
Por lo tanto, la suma de los ángulos internos de la piscina es:
sI = (n - 2) · 180 °
sI = (9 - 2) · 180°
sI = 7 · 180°
sI = 1260°
por Robson Luiz
Profesor de matemáticas
