Establecimos un ocupación cuando relacionamos una o más cantidades. Parte de los fenómenos naturales se pueden estudiar gracias al desarrollo en esta área de las matemáticas. El estudio de funciones se divide en dos partes, tenemos la parte general, en la que estudiamos el conceptosgeneral, y la parte específica, donde estudiamos el casos particulares, como funciones polinomiales y funciones exponenciales.
Vea también: ¿Cómo graficar una función?
¿Qué son las funciones?
Una función es una aplicación que relaciona los elementos de dos conjuntos no vacío. Considere dos conjuntos A y B no vacíos, donde una función F relacionar cada elemento de A a sólo uno elemento de B.
Para comprender mejor esta definición, imagine un viaje en taxi. Para cada viaje, es decir, para cada distancia recorrida, existe un precio diferente y único, es decir, no tiene sentido que un viaje tenga dos precios distintos.
Podemos representar esta función que toma elementos del conjunto A al conjunto B de las siguientes formas.
Tenga en cuenta que para cada elemento del conjunto A, hay un elemento relacionado único con él en el set B. Ahora podemos pensar, después de todo, ¿cuándo una relación entre dos conjuntos no será una función? Bueno, cuando un elemento del conjunto A está relacionado con dos elementos distintos de B, o cuando hay elementos del conjunto A que no están relacionados con elementos de B. Vea:
En términos generales, podemos escribir una función algebraicamente como esta:
F: A → B
x → y
Tenga en cuenta que la función toma elementos del conjunto A (representados por x) y los lleva a elementos de B (representados por y). También podemos decir que los elementos del conjunto B están dados en términos de los elementos del conjunto A, por lo que podemos representar y por:
y = F(X)
Dice: (y es igual a f de x)
Dominio, co-dominio e imagen de un rol
Cuando tenemos un papel F, los conjuntos que se relacionan reciben nombres especiales. Así que considera una función F que lleva elementos del conjunto A a elementos del conjunto B:
F: A → B
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El conjunto A, del cual parten las relaciones, se llama dominio de la función, y el conjunto que recibe las "flechas" de esta relación se llama contradominio. Denotamos estos conjuntos de la siguiente manera:
DF = A → Dominio de F
CDF = B → Contradominio de F
El subconjunto del contradominio de una función formado por elementos que se relacionan con elementos del conjunto se llama Imagen de la función y se denota por:
soyF → Imagen de F
- Ejemplo
Considere la función f: A → B representada en el diagrama a continuación y determine el dominio, el contradominio y la imagen.
Como se dijo, el conjunto A = {1, 2, 3, 4} es el dominio de la función F, mientras que el conjunto B = {0, 2, 3, –1} es el contradominio de la misma función. Ahora, observe que el conjunto formado por elementos que reciben la flecha (en naranja) formado por los elementos {0, 2, –1} es un subconjunto del contradominio B, este conjunto es la imagen de la función F, así:
DF = A = {1, 2, 3, 4}
CDF = B = {0, 2, 3, -1}
soyF = {0, 2, –1}
Decimos que el 0 es la imagen del elemento 1 del dominio, así como 2 es imagen de los elementos 2 y 3 del dominio, y –1 es la imagen del elemento 4 del dominio. Para obtener más información sobre estos tres conceptos, lea: Ddominio, co-dominio e imagen.
Función sobreyectiva
Una función F: A → B será sobreyectiva o sobreyectiva si, y solo si, el conjunto de imágenes coincide con el contradominio, es decir, si todos los elementos del contradominio son imágenes.
Decimos entonces que una función es sobreyectiva cuando todos los elementos del contradominio reciben flechas. Si quieres profundizar en este tipo de funciones, visita nuestro texto: Función overjet.
Función inyectiva
Una función F: A → B será inyectivo o inyectivo si, y solo si, elementos distintos del dominio tienen imágenes distintas en el contradominio, es decir, Las imágenes similares son generadas por elementos similares del dominio..
Tenga en cuenta que la condición es que los diferentes elementos del dominio se relacionen con diferentes elementos del contradominio, no habiendo ningún problema con los elementos restantes en el contradominio. Para comprender mejor este concepto, puede leer el texto: Función inyector.
Función biyector
Una función F: A → B será biyectivo si, y solo si, es inyector y sobreyector simultáneamente, es decir, los elementos distintos del dominio tienen imágenes distintas y la imagen coincide con el contradominio.
- Ejemplo
En cada caso, justifique si la función f (x) = x2 es inyectable, sobreyectiva o biyectiva.
La) F: ℝ+ → ℝ
Tenga en cuenta que el dominio de la función son todos reales positivos y el contradominio son todos los números reales. Sabemos que la función f viene dada por f (x) = x2, ahora imagina que todos los números reales positivos son elevado al cuadrado, todas las imágenes también serán positivas. Entonces podemos concluir que la función es de inyección y no sobreyectiva, ya que los números reales negativos no recibirán flechas.
Está inyectando, ya que cada elemento del dominio (+) se relaciona solo con un elemento del contradominio (ℝ).
B) F: ℝ → ℝ+
La función, en este caso, tiene el dominio como todos los reales y el contradominio como reales positivos. Sabemos que cualquier número real al cuadrado es positivo, por lo que todos los elementos del contradominio han recibido flechas, por lo que la función es sobreyectiva. No se inyectará porque los elementos de dominio se relacionan con dos elementos de contradominio, por ejemplo:
F(–2) = (–2)2 = 4
F(2) = (2)2 = 4
C) F:ℝ+ → ℝ+
En este ejemplo, la función tiene dominio y contradominio como números reales positivos, por lo que la función es biyector porque cada número real positivo se relaciona con un solo Número Real positivo del contradominio, en este caso el cuadrado del número. Además, todos los números de contradominio recibieron flechas.
función compuesta
LA función compuesta está asociado con el idea de atajo. Considere tres conjuntos no vacíos A, B y C. Considere también dos funciones f y g, donde la función f toma los elementos x del conjunto A a los elementos y = f (x) del conjunto B, y la función g toma los elementos y = f (x) a los elementos z del conjunto C.
La función compuesta recibe este nombre porque es una aplicación que lleva elementos del conjunto A directamente a elementos del conjunto C, sin pasar por el conjunto B, a través de la composición de las funciones f y g. Vea:
La función denotada por (f o g) toma los elementos del conjunto A directamente al conjunto C. Se llama función compuesta.
- Ejemplo
Considere la función f (x) = x2 y la función g (x) = x + 1. Encuentre las funciones compuestas (f o g) (x) y (g o f) (x).
La función f o g viene dada por la función g aplicada af, es decir:
(f o g) (x) = f (g (x))
Para determinar esta función compuesta, debemos considerar la función F, y, en lugar de la variable x, debemos escribir la función gramo. Vea:
X2
(x + 1)2
(f o g) (x) = f (g (x)) = x2 + 2x + 1
De manera similar, para determinar la función compuesta (g o f) (x), debemos aplicar la función F en el papel gramo, es decir, considere la función gy escriba la función f en lugar de la variable. Vea:
(x + 1)
X2 + 1
Por lo tanto, la función compuesta (g o f) (x) = g (f (x)) = x2 + 1.
Incluso funciona
Considere una función F: A → ℝ, donde A es un subconjunto de los reales no vacíos. Una función f será par solo para todo x real.
Ejemplo
Considere la función F: ℝ → ℝ, dado por f (x) = x2.
Tenga en cuenta que para cualquier valor de x real, si se eleva al cuadrado, el resultado siempre es positivo, es decir:
f (x) = x2
y
f (–x) = (–x)2 = x2
Entonces f (x) = f (–x) para cualquier valor real de x, entonces la función F es par.
Lea también:Propiedades de poders - que son y como a usar¿aire?
función única
Considere una función F: A → ℝ, donde A es un subconjunto de los reales no vacíos. Una función f será impar solo para todo x real.
- Ejemplo
Considere la función F: ℝ → ℝ, dado por f (x) = x3.
Vea que para cualquier valor de x podemos escribir que (–x)3 = -x3. Mira algunos ejemplos:
(–2)3 = –23 = –8
(–3)3 = –33 = –27
Entonces podemos decir que:
f (–x) = (–x)3 = –X3
f (–x) = (–x)3 = –f (x)
Entonces, para cualquier x f (–x) = –f (x) real, entonces la función f (x) = x3 es único.
función creciente
Una función F é creciente en un intervalo si y solo si, a medida que los elementos del dominio crecen, sus imágenes también crecen. Vea:
Tenga en cuenta que x1 > x2 y lo mismo ocurre con la imagen, por lo que podemos establecer una condición algebraica para la función F ser creciente.
Función descendente
Una función F é decreciente en un intervalo si y solo si, a medida que los elementos del dominio crecen, sus imágenes disminuyen. Vea:
Vea que, en el dominio de la función, tenemos que x1 > x2, sin embargo, esto no ocurre en la imagen de la función, donde f (x1)
función constante
Como dice el nombre, un la función es constante cuando, por cualquier valor dominio, el valor de la imagen es siempre el mismo.
función relacionada
LA función afín o polinomio de primer grado está escrito en la forma:
f (x) = ax + b
Donde ayb son números reales, a es distinto de cero y tu gráfica es una línea. La función tiene dominio real y también contradominio real.
función cuadrática
LA función cuadrática o función polinomial de segundo grado está dada por a polinomio de segundo grado, así:
f (x) = ax2 + bx + c
Donde a, byc son números reales con un valor distinto de cero, y su gráfica es una parábola. El rol también tiene dominio real y contradominio.
función modular
LA función modular con variable x encuentraSi dentro del módulo y algebraicamente se expresa por:
f (x) = | x |
La función también tiene dominio real y contradominio, es decir, podemos calcular el valor absoluto de cualquier número real.
funcion exponencial
LA funcion exponencialmuestra la variable x en el exponente. También tiene dominio real y contradominio real y se describe algebraicamente por:
f (x) = aX
Donde a es un número real mayor que cero.
función logarítmica
LA función logarítmica tiene el variable en logaritmo y el dominio formado por números reales mayores que cero.
Funciones trigonométricas
A funciones trigonométricas tener el variable x que involucra razones trigonométricas, los principales son:
f (x) = sin (x)
f (x) = cos (x)
f (x) = tg (x)
función raíz
La función raíz se caracteriza por tener la variable dentro de la raíz, con esto, si el índice de la raíz es par, el dominio de la función pasa a ser solo los números reales positivos.
por Robson Luiz
Profesor de matemáticas
En una industria metalúrgica, el costo de producción de una pieza automotriz corresponde a un costo mensual fijo de R $ 5 000,00 más un costo variable de R $ 55,00 por unidad producida más 25% de impuesto sobre el costo variable. Considerando que el precio de venta de esta pieza por parte de la industria a los comerciantes es de R $ 102,00, determine:
a) la función de costo de producir x piezas.
b) la función de ingresos referida a la venta de x piezas.
c) la función de beneficio sobre la venta de x piezas.
El IMC (índice de masa corporal) es una función matemática que determina si una persona adulta se considera gorda, obesa, normal o bajo peso, relacionando la masa de la persona en kilogramos con el cuadrado de la medida de la altura en metros. De acuerdo con la siguiente tabla, determine la masa de una persona que mide 1,90 metros de altura, de modo que su IMC se considere normal.
