O Triángulo de Pascal es una herramienta matemática bastante antigua. A lo largo de la historia ha recibido varios nombres, pero los más adoptados en la actualidad son triángulo aritmético y el triángulo de Pascal. El segundo nombre es un homenaje al matemático que hizo varias contribuciones al estudio de este triángulo. significa que el triángulo fue inventado por él, pero fue él quien hizo un estudio más profundo de este herramienta.
A partir de las propiedades del triángulo de Pascal, es posible construirlo lógicamente. También destaca tu una relación con combinaciones estudiado en análisis combinatorio. Los términos del triángulo de Pascal también corresponden a coeficientes binomiales y, por lo tanto, es muy útil para calcular cualquier binomio de Newton.
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Construcción del triángulo de Pascal
Triángulo de Pascal se produce a partir del resultado de las combinaciones, sin embargo existe un método práctico que facilita la forma de construirlo. La primera fila y la primera columna se cuentan como fila cero y columna cero.
Podemos utilizar tantas líneas como necesitemos en esta construcción, por lo tanto, el triángulo puede tener infinitas líneas. El razonamiento para la elaboración de las líneas es siempre el mismo. Vea:
Lo sabemos los términos del triángulo son combinaciones, estudió en análisis combinatorio. Para reemplazar el triángulo de Pascal con valores numéricos, sabemos que las combinaciones de un número con cero y un número consigo mismo siempre son iguales a 1. Por lo tanto, el primer y último valor son siempre 1.
Para encontrar los demás, comenzamos con la línea 2, ya que la línea 0 y la línea 1 ya están completas. En la línea 2, para encontrar la combinación de 2 a 1, en la línea de arriba, es decir, en la línea 1, agreguemos el término de arriba en la misma columna y el término de arriba en la columna anterior, como se muestra en la imagen. :
Después de construir la línea 2, es posible construir la línea 3 realizando el mismo procedimiento.
Continuando con este procedimiento, encontraremos todos los términos - en este caso, hasta la línea 5 - pero es posible construir tantas líneas como sea necesario.
Propiedades del triángulo de Pascal
Hay algunos propiedades del triángulo de Pascal, debido a la regularidad en su construcción. Estas propiedades son útiles para trabajar con combinaciones, la construcción de líneas triangulares en sí y la suma de líneas, columnas y diagonales.
1ra propiedad
La primera propiedad fue la que usamos para construir el triángulo. Así que para encontrar un término en el triángulo de Pascal, simplemente agregue el término que está en la fila de arriba y la misma columna con el término que está en la columna y la fila antes. Esta propiedad se puede representar de la siguiente manera:
Esta propiedad se conoce como La relación de Stifel y es importante facilitar la construcción del triángulo y encontrar los valores de cada una de las líneas.
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Segunda propiedad
La suma de todos los términos en una fila se calcula mediante:
sNo=2No, en que No es el número de línea.
Ejemplos:
Con esta propiedad, es posible conocer la suma de todos los términos en una línea sin tener que construir necesariamente el triángulo de Pascal. La suma de la línea 10, por ejemplo, se puede calcular por 210 = 1024. Aunque no se conocen todos los términos, ya es posible conocer el valor de la suma de toda la línea.
3ra propiedad
La suma de términos que se ordenan desde el principio de una columna determinada PAG hasta una cierta línea No es el mismo que el término en la línea n +1 dorso y columna p +1 más tarde, como se muestra a continuación:
Cuarta propiedad
La suma de una diagonal que comienza en la columna 0 y va al término en la columna py la fila n es igual al término en la misma columna (p), pero en la fila de abajo (n + 1), como se muestra en la imagen. :
Quinta propiedad
Hay simetría en las líneas del triángulo de Pascal. El primer y segundo término son iguales, el segundo y penúltimo término son iguales, y así sucesivamente.
Ejemplo:
Línea 6: 1615 20 156 1.
Tenga en cuenta que los términos son iguales de dos a dos, excepto por el término central.
Vea también: División de polinomios: ¿cómo resolverlo?
Binomio de Newton
Definimos el binomio de Newton a poder de uno polinomio que tiene dos términos. El cálculo de un binomio está relacionado con el triángulo de Pascal, que se convierte en un mecanismo para calcular lo que llamamos coeficientes binomiales. Para calcular un binomio, usamos la siguiente fórmula:
Tenga en cuenta que el valor del exponente de La disminuye hasta que en el último término es igual a La0. Sabemos que todo número elevado a 0 es igual a 1, por lo que el término La no aparece en el último trimestre. También tenga en cuenta que el exponente de B empieza con B0, pronto B no aparece en el primer término y aumenta hasta alcanzar BNo, en el último trimestre.
Además, el número que acompaña a cada uno de los términos es lo que llamamos coeficiente, en este caso conocido como coeficiente binomial. Para entender mejor cómo resolver este tipo de binomio acceda a nuestro texto: Binomio de Newton.
coeficiente binomial
El coeficiente binomial no es más que la combinación, que se puede calcular mediante la fórmula:
Sin embargo, para facilitar el cálculo del binomio de Newton, es fundamental utilizar el triángulo de Pascal, ya que nos da el resultado de la combinación más rápido.
Ejemplo:
Para encontrar el resultado del coeficiente binomial, busquemos los valores de la fila 5 del triángulo de Pascal, que son {1,5,10,10,5,1}.
(x + y)5= 1x5+ 5 veces4y + 10x3y2+ 10 veces2y3 + 5xy4+ 1 año5
Simplemente pon:
(x + y)5= x5+ 5 veces4y + 10x3y2+ 10 veces2y3 + 5xy4+ y5
ejercicios resueltos
Pregunta 1 - ¿El valor de la siguiente expresión es?
A) 8
B) 16
C) 2
D) 32
E) 24
Resolución
Alternativa A.
Reagrupando los valores positivos y negativos, tenemos que:
Tenga en cuenta que en realidad estamos calculando la resta entre la línea 4 y la línea 3 del triángulo de Pascal. Por propiedad, sabemos que:
s4 = 24 = 16
s3= 23 = 8
16 – 8 = 8.
Pregunta 2 - ¿Cuál es el valor de la siguiente expresión?
A) 32
B) 28
C) 256
D) 24
E) 54
Resolución
Alternativa B.
Tenga en cuenta que estamos sumando los términos de la columna 1 del triángulo de Pascal a la fila 7, luego a la tercera propiedad, el valor de esta suma es igual al término que ocupa la fila 7 + 1 y la columna 1 + 1, es decir, la fila 8, columna 2. Como solo queremos un valor, construir el triángulo de Pascal completo no es conveniente.
Por Raul Rodrigues de Oliveira
Profesor de matemáticas
