El estudio sobre conjuntos numéricos constituye una de las principales áreas de las matemáticas, ya que son muy importantes para el desarrollo teórico del área y tienen varias aplicaciones prácticas. Los conjuntos numéricos comprenden al estudiar:
- números naturales;
- enteros
- numeros racionales;
- Numeros irracionales;
- numeros reales; y
- números complejos.
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Conjunto de números naturales
El desarrollo de las primeras civilizaciones trajo consigo la mejora de la agricultura y el comercio y, en consecuencia, la usando números para representar cantidades. El primer juego surgió de forma natural, de ahí su nombre. El conjunto con nombre natural se utiliza para representar cantidades, se denota por el símbolo ℕ y está escrito en forma secuencial. Vea:
O conjunto de números naturaes é infinito y cerrado para operaciones de adición y multiplicacion, es decir, cada vez que sumamos o multiplicamos dos números naturales, la respuesta sigue siendo natural. Sin embargo, para la operación de resta y
división, el conjunto no está cerrado. Vea:5 – 6 = –1
3 ÷ 2 = 0,5
Tenga en cuenta que los números –1 y 0,5 no pertenecen al conjunto de los naturales, y esta es la justificación para la creación y el estudio de nuevos conjuntos de números.
Además, colocando un asterisco (*) en el símbolo del conjunto natural, debemos quitar el número cero de la lista, ver:
conjunto de números enteros
A todo el conjunto de números se le ocurrió el necesidad de llevar a cabo la operación de sustracción sin restricciones. Como hemos visto, cuando se resta un número menor de uno mayor, la respuesta no pertenece al grupo de los naturales.
El conjunto de números enteros también está representado por una secuencia numérica infinita y se denota por el símbolo ℤ.
Al igual que en el conjunto de números naturales, al colocar un asterisco en el símbolo ℤ, el elemento cero se elimina del conjunto, así:
El símbolo (-) que acompaña a un número indica que es simétrico, por lo que el simétrico del número 4 es el número –4. También tenga en cuenta que el conjunto de números naturales está contenido en el conjunto de números enteros, es decir, el conjunto de números naturales es un subconjunto del conjunto de números enteros.
ℕ ⸦ ℤ
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conjunto de números racionales
O conjunto de números racionales é representado por el símbolo ℚ y no está representado por una secuencia numérica. Este conjunto está formado por todos los números que se pueden representar como una fracción. Representamos sus elementos de la siguiente manera:
Sabemos que todo número entero se puede representar mediante un fracción, es decir, el conjunto de números enteros está contenido en el de números racionales, entonces, el conjunto de enteros es un subconjunto de los racionales.
ℕ ⸦ ℤ ⸦ ℚ
Números que tienen representación infinita, como diezmos periódicos, también tienen representación en forma de fracción, por lo que también son racionales.
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Conjunto de números irracionales
Como hemos visto, un número es racional si se puede escribir como fracción. También se ha dicho que los números infinitos y periódicos son racionales, sin embargo, hay algunos números que no se puede escribir en forma de fracción y que, por tanto, no pertenecen al conjunto de los números racionales.
Estos números no racionales se llaman irracional y sus principales características son la infinito de la parte decimal y no frecuencia, es decir, no se repite ningún número en la parte decimal. Vea algunos ejemplos de Numeros irracionales.
- Ejemplo 1
Las raíces cuadradas de números que no son cuadrados perfectos.
- Ejemplo 2
Constantes que provienen de razones especiales como número de oro, número de Euler o Pi.
Conjunto de números reales
O conjunto de números reales está representado por el símbolo ℝ y está formado por el unidaddel conjunto de números racionales con el conjunto de números irracionales. Recuerde que el conjunto de racionales es la unión de conjuntos naturales y enteros.
Cuando ordenamos los números reales en una línea, tenemos que el número cero es el origen de la línea, a la derecha del cero estarán los números positivos y a la izquierda los números negativos.
Como este eje es real, podemos decir que entre dos números hay números infinitos y también que este eje es infinito tanto en el dirección positiva cuando en dirección negativa.
Conjunto de números complejos
O conjunto de números complejos es el más reciente y surgió por la misma razón que el conjunto de enteros, es decir, es una operación cuyo desarrollo sólo con el conjunto de reales no es posible.
Resolviendo la siguiente ecuación, verás que no tiene solución, conociendo solo los números reales.
X2 + 1 = 0
X2 = –1
Tenga en cuenta que tenemos que encontrar un número que cuando elevarDO al cuadrado, da como resultado un número negativo. Lo sabemos cualquier número al cuadrado es siempre positivo, por lo tanto, este cálculo no tiene una solución real.
Así se crearon los números complejos, en los que tenemos un número imaginario denotado por I, que tiene el siguiente valor:
Entonces, date cuenta de que el ecuación que antes no tenía solución ahora la tiene. Verificar:
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intervalos reales
En algunos casos, no usaremos todos los ejes reales, es decir, usaremos partes de él que se llamarán rompe. Estos intervalos son subconjuntos del conjunto de números reales. A continuación, estableceremos algunas notaciones para estos subconjuntos.
Rango cerrado - sin incluir los extremos
Un intervalo se cierra cuando tiene sus dos extremos, es decir, el mínimo y el máximo, y, en este caso, los extremos no pertenecen al rango. Denotaremos esto usando una bola abierta. Vea:
En rojo están los números que pertenecen a este rango, es decir, son números más grande que ay más pequeño que b. Algebraicamente escribimos dicho intervalo de la siguiente manera:
el < X
Donde el número x son todos los números reales que están en este rango. También podemos representarlo simbólicamente. Vea:
]La; B[ o (La; B)
Rango cerrado, incluidos los extremos
Ahora usemos bolas cerradas para representar eso los extremos pertenecen al rango.
Así que estamos recopilando números reales que se encuentran entre ayb, incluyéndolos. Algebraicamente expresamos dicho intervalo por:
el ≤ XB
Usando notación simbólica, tenemos:
[La; B]
Rango cerrado, incluido uno de los extremos
Aún tratando con intervalos cerrados, ahora tenemos el caso en el que solo se incluye uno de los extremos. Por tanto, una de las canicas se cerrará, indicando que el número pertenece al rango y la otra no, indicando que el número no pertenece a ese rango.
Algebraicamente representamos este rango de la siguiente manera:
el ≤ X
Simbólicamente tenemos:
[La; B[ o [La; B)
Gama abierta - sin fin incluido
Se abre un rango cuando no tiene un elemento máximo o mínimo. Ahora veremos un caso de rango abierto que solo tiene un elemento máximo, que no está incluido en el rango.
Ver que la gama consta de números reales menores queB, y también tenga en cuenta que el número b no pertenece al rango (bola abierta), entonces, algebraicamente, podemos representar el intervalo por:
X
Simbólicamente podemos representarlo por:
] – ∞; B[ o (– ∞; B)
Rango abierto, incluido el extremo
Otro ejemplo de rango abierto es el caso en el que se incluye el extremo. Aquí tenemos un rango en el que aparece el elemento mínimo, ver:
Tenga en cuenta que todos los números reales son mayores o iguales que el número a, por lo que podemos escribir este rango algebraicamente de la siguiente manera:
Xa
Simbólicamente tenemos:
[La; +∞[ o [La; +∞)
rango abierto
Otro caso de rango abierto está formado por números más grandes y más pequeños que los números fijados en la línea real. Vea:
Nótese que los números reales que pertenecen a este rango son los menores o iguales al número a, o los que son mayores que el número b, por lo que tenemos que:
X a oX > b
Simbólicamente tenemos:
] – ∞; a] U] b; + ∞[
o
(– ∞; a] U (b; + ∞)
por Robson Luiz
Profesor de matemáticas
Fuente: Escuela Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/conjuntos-numericos.htm
