Dado un círculo con centro O, radio r y dos puntos A y B pertenecientes al círculo, tenemos que la distancia entre los puntos marcados es un arco de círculo. La longitud de un arco es proporcional a la medida del ángulo central, cuanto mayor es el ángulo, mayor es la longitud del arco; y cuanto menor sea el ángulo, menor será la longitud del arco.
Para determinar la longitud de un círculo usamos la siguiente expresión matemática: C = 2 * π * r. El giro completo en un círculo está representado por 360º. Hagamos una comparación entre la longitud de la circunferencia en medida lineal (ℓ) y la medida angular (α), tenga en cuenta:
lineal |
angular |
2 * π * r |
360º |
ℓ |
α |
Esta expresión se puede utilizar para determinar la longitud del arco de un círculo de radio r y ángulo central α en grados. En estos casos, utilice π = 3,14.
Si el ángulo central se da en radianes, usamos la siguiente expresión: ℓ = α * r.
Ejemplo 1
Determine la longitud de un arco con un ángulo central igual a 30 ° contenido en una circunferencia de radio de 2 cm.
ℓ = α * π * r / 180º
ℓ = 30º * 3,14 * 2 / 180º
ℓ = 188,40 / 180
ℓ = 1,05 cm
La longitud del arco será de 1,05 centímetros.
Ejemplo 2
El minutero de un reloj de pared mide 10 cm. ¿Cuánto espacio recorrerá la mano después de 30 minutos?
Vea la imagen del reloj:
ℓ = α * π * r / 180º
ℓ = 180º * 3,14 * 10 / 180º
ℓ = 5652 / 180
ℓ = 31,4 cm
El espacio que ocupará el minutero será de 31,4 centímetros.
Ejemplo 3
Determina la longitud de un arco con un ángulo central que mide π / 3 contenido en una circunferencia de 5 cm de radio.
ℓ = α * r
ℓ = π/3 * 5
ℓ = 5π/3
ℓ = 5*3,14 / 3
ℓ = 15,7 / 3
ℓ = 5,23 cm
Ejemplo 4
Un péndulo de 15 cm de largo oscila entre A y B en un ángulo de 15 °. ¿Cuál es la longitud de la trayectoria descrita por su extremo entre A y B?
ℓ = α * π * r / 180º
ℓ = 15º * 3,14 * 15 / 180º
ℓ = 706,5 / 180
ℓ = 3,9 cm
La longitud de la trayectoria entre A y B es de 3,9 centímetros.
por Mark Noah
Licenciada en Matemáticas
Equipo Escolar de Brasil
Trigonometría - Matemáticas - Escuela Brasil
Fuente: Escuela Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/comprimento-um-arco.htm
