¿Qué son los números complejos?

Hasta mediados del siglo XVI, ecuaciones como x² - 6x + 10 = 0 simplemente se consideraron "sin solución". Esto se debió a que, según la fórmula de Bhaskara, al resolver esta ecuación, el resultado encontrado sería:

Δ = (–6)² – 4·1·10
Δ = 36 – 40
Δ = – 4

x = –(– 6) ± √– 4
2·1

x = 6 ± √– 4
2

El problema se encontró en √– 4, que no tiene solución dentro del conjunto de números reales, es decir, no hay un número real que, multiplicado por sí mismo, da √– 4, ya que 2 · 2 = 4 y (–2) (- 2) = 4.

En 1572, Rafael Bombelli estaba ocupado resolviendo la ecuación x³ - 15x - 4 = 0 usando la fórmula de Cardano. A través de esta fórmula, se concluye que esta ecuación no tiene raíces reales, ya que termina siendo necesario calcular √– 121. Sin embargo, después de algunos intentos, es posible encontrar que 4³ - 15 · 4 - 4 = 0 y por lo tanto que x = 4 es una raíz de esta ecuación.

Considerando la existencia de raíces reales no expresadas por la fórmula de Cardano, Bombelli tuvo la idea de suponer que √– 121 resultaría en √ (- 11 · 11) = 11 · √– 1 y esto podría ser una raíz “irreal” para la ecuación estudió. Por lo tanto, √– 121 sería parte de un nuevo tipo de número que forma las otras raíces no encontradas de esta ecuación. Entonces la ecuación x

³ - 15x - 4 = 0, que tiene tres raíces, tendría x = 4 como raíz real y otras dos raíces pertenecientes a este nuevo tipo de número.

A finales del siglo XVIII, Gauss nombró a estos números como números complejos. En ese momento, los números complejos ya estaban tomando la forma a + bi, con i = √– 1. Además, La y B ya se consideraban puntos de un plano cartesiano, conocido como plano de Argand-Gauss. Así, el número complejo Z = a + bi tenía como representación geométrica un punto P (a, b) del plano cartesiano.

Por tanto, la expresión "números complejos”Comenzó a usarse en referencia al conjunto numérico cuyos representantes son: Z = a + bi, con i = √– 1 y con La y B perteneciente al conjunto de números reales. Esta representación se llama forma algebraica del número complejo Z.

Dado que los números complejos están formados por dos números reales y uno de ellos se multiplica por √– 1, a estos números reales se les ha dado un nombre especial. Considerando el número complejo Z = a + bi, a es la "parte real de Z" yb es la "parte imaginaria de Z". Matemáticamente, podemos escribir, respectivamente: Re (Z) = a e Im (Z) = b.

La idea de módulo de un número complejo se cristaliza de forma análoga a la idea de módulo de un número real. Considerando el punto P (a, b) como una representación geométrica del número complejo Z = a + bi, la distancia entre el punto P y el punto (0,0) viene dada por:

| Z | = √(La² + b²)

Una segunda forma de representar números complejos es mediante la Forma polar o trigonométrica. Esta forma utiliza el módulo de un número complejo en su constitución. El número complejo Z, algebraicamente Z = a + bi, se puede representar con la forma polar por:

Z = | Z | · (cosθ + icosθ)

Es interesante notar que el plano cartesiano está definido por dos líneas ortogonales, conocidas como ejes xey. Sabemos que los números reales se pueden representar mediante una línea, en la que se colocan todos los números racionales. Los espacios restantes están llenos de números irracionales. Mientras que los números reales están todos en la línea conocida como Eje X desde el plano cartesiano, todos los demás puntos pertenecientes a ese plano serían la diferencia entre números complejos y números reales. Por tanto, el conjunto de números reales está contenido en el conjunto de números complejos.

Por Luiz Paulo Moreira
Licenciada en Matemáticas

Fuente: Escuela Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-sao-numeros-complexos.htm