O volumen de la pirámide se calcula multiplicando el área de la base y la altura, dividiendo por tres. Para calcular el volumen de la pirámide, es necesario saber qué polígono forma la base de este pirámide, y por eso, por cada base, usamos una fórmula diferente para encontrar el tu área. Podemos relacionar el volumen del prisma con el volumen de una pirámide de la misma altura y área que la base, ya que el volumen de la pirámide es igual a un tercio del volumen del prisma.
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¿Cómo se calcula el volumen de la pirámide?
El volumen de la pirámide se puede calcular mediante una fórmula que depende directamente de la polígono que forma la base. Para calcular el volumen de cualquier pirámide, usamos la siguiente fórmula:
V → volumen
LAB → área en la base de la pirámide
H → altura de la pirámide
La base de una pirámide puede estar formada por cualquier polígono., entonces podemos tener una pirámide con una base triangular, una pirámide con una base cuadrada y una pirámide con una base hexagonal. De todas formas, cualquier polígono puede ser la base de la pirámide, y como es un polígono, para calcular el área de su base, existe una fórmula específica.
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pirámide de base cuadrada
En una pirámide de base cuadrada, sabemos que el área de la cuadrado se calcula por la longitud del lado al cuadrado, es decir, A = allí². Entonces, para calcular el volumen de una pirámide cuadrada, calculamos el producto del cuadrado del borde de la base y la altura de la pirámide, y lo dividimos por tres. Vea un ejemplo a continuación.
Ejemplo:
Calcula el volumen de la pirámide a continuación, sabiendo que su base está formada por un cuadrado:
En la pirámide, la altura h mide 6 cm y el borde de su base mide 3 cm.
Luego, Primero calcularemos el área de la base AB. El área del cuadrado es igual a allí², entonces tenemos que:
LAB = allí²
LAB = 3²
LAB = 9 cm²
Ahora que conocemos el valor del área de la base, simplemente reemplace la medición de la altura y la medición del área de la base en la fórmula del volumen de la pirámide:
Pirámide de base triangular
Cuando la base de la pirámide es triangular, para calcular el área de la base, usamos la fórmula de área de un triángulo, que es igual al producto de la base por la altura dividida por dos.
Ejemplo:
Sabiendo que la siguiente pirámide tiene 9 cm de altura, calcule su volumen:
Como la base es un triángulo, primero calcularemos el área de la base, que es la longitud de la base multiplicada por la longitud de la altura del triángulo que forma la base, dividiendo por dos.
Ahora que conocemos el valor del área base, es posible calcular el volumen de esta pirámide:
Ejemplo 2:
Cuando la base de la pirámide es un triángulo equilátero, podemos usar la fórmula del área del triángulo equilátero para calcular el área de la base.
Calcularemos el volumen de una pirámide cuya base es un triángulo equilátero cuyos lados miden 8 cm y su altura mide 15 cm.
Primero calculamos el área de la base, ya que es un triángulo equilátero, usaremos la fórmula para el área de un triángulo equilátero.
Ahora calculemos el volumen:
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Pirámide de base hexagonal
En la pirámide de base hexagonal, para calcular el área de la base, usamos la fórmula del área del hexágono.
Ejemplo:
Calcula el volumen de la pirámide sabiendo que su base es un hexágono regular:
Primero calcularemos el área del hexágono:
Ahora calculemos el volumen:
Relación entre el volumen de la pirámide y el volumen del prisma
dado uno prisma y una pirámide de la misma base, sabemos que el volumen del prisma es igual al producto del área de la base y la altura, y el volumen de la pirámide es el producto del área de la base y la altura dividida por tres, por lo que si el área de la base es la misma, el volumen de la pirámide será igual a 1/3 del volumen del prisma.
ejercicios resueltos
Pregunta 1 - Buscando innovar en el diseño de envases, una industria cosmética decidió producir envases en forma de pirámide con base cuadrada para su nuevo humectante. La base de esta pirámide tiene la forma de un cuadrado de lados de 6 cm. Sabiendo que esta crema hidratante debe contener 200 ml, la altura de la pirámide debe ser aproximadamente:
A) 15,2 cm
B) 15,8 cm
C) 16,4 cm
D) 16,7 cm
E) 17,2 cm
Resolución
Alternativa D
Sabemos que 200 ml es igual a 200 cm³, por lo que tenemos V = 200. Entonces, calculando el área de la base, que es un cuadrado, tenemos que:
LAB = l²
LAB = 6²
LAB = 36 cm²
Ahora hagamos que el volumen sea igual a 200 cm³, así que tenemos que:
Pregunta 2 - (Enem) Una fábrica produce velas de parafina cuadrangulares regulares en forma de pirámide con una altura de 19 cm y un borde de base de 6 cm. Estas velas están formadas por 4 bloques de la misma altura - 3 troncos piramidales con bases paralelas y 1 pirámide en la parte superior - espaciados 1 cm entre sí, siendo que la base superior de cada bloque es igual a la base inferior del bloque superpuesto, pasando una barra de hierro por el centro de cada bloque, uniéndolos, como se muestra en la figura.
Si el dueño de la fábrica decide diversificar el modelo, quitando la pirámide en la parte superior, que es de 1,5 cm. borde en la base, pero manteniendo el mismo molde, ¿cuánto gastará en parafina para fabricar un ¿vela?
A) 156 cm³
B) 189 cm³
C) 192 cm³
D) 216 cm³
E) 540 cm³
Resolución
Alternativa B
Calculemos la diferencia entre la pirámide más grande (V) y la pirámide más pequeña (V2).
Sabemos que hay 1 cm de distancia entre los bloques, por lo que la altura de la pirámide más grande es 19 - 3 = 16 cm. La pirámide más grande está a 6 cm de la base, ya que la base es un cuadrado, por lo que AB = l² = 6² = 36.
Por tanto, el volumen de la pirámide más grande es:
Para encontrar la altura de la pirámide más pequeña, dividamos la altura total entre 4, entonces 16: 4 = 4 cm. Haciendo lo mismo con el borde, obtenemos 6: 4 = 1.5.
Por lo tanto, el área de la base de la pirámide más pequeña es 1.5² = 2.25. Calculando el volumen, tenemos que:
Ahora encontramos la diferencia entre volúmenes:
192-3 = 189 cm³
Por Raul Rodrigues de Oliveira
Profesor de matemáticas
Fuente: Escuela Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/volume-piramide.htm