Teorema de D'Alembert

El teorema de D'Alembert es una consecuencia inmediata del teorema del resto, que se ocupa de la división de polinomios por binomios de tipo x - a. El teorema del resto dice que un polinomio G (x) dividido por un binomio x - a tendrá un resto R igual a P (a), para
x = a. El matemático francés D'Alembert demostró, teniendo en cuenta el teorema antes citado, que un polinomio cualquier Q (x) será divisible por x - a, es decir, el resto de la división será igual a cero (R = 0) si P (a) = 0.
Este teorema facilitó el cálculo de la división de polinomio por binomio (x –a), por lo que no es necesario resolver toda la división para saber si el resto es igual o diferente de cero.
Ejemplo 1
Calcula el resto de la división (x² + 3x - 10): (x - 3).
Como dice el Teorema de D'Alembert, el resto (R) de esta división será igual a:
P (3) = R
3² + 3 * 3 - 10 = R
9 + 9 - 10 = R
18 - 10 = R
R = 8
Entonces el resto de esta división será 8.
Ejemplo 2
Compruebe si x⁵ - 2x⁴ + x³ + x - 2 es divisible por x - 1.
Según D'Alembert, un polinomio es divisible por un binomio si P (a) = 0.

P (1) = (1)⁵ – 2*(1)⁴ + (1)³ + (1) – 2
P (1) = 1-2 + 1 + 1-2
P (1) = 3 - 4
P (1) = - 1
Dado que P (1) no es cero, el polinomio no será divisible por el binomio x - 1.
Ejemplo 3
Calcule el valor de m para que el resto de la división del polinomio
P (x) = x⁴ - mx³ + 5 veces² + x - 3 por x - 2 es 6.
Tenemos que, R = P (x) → R = P (2) → P (2) = 6
P (2) = 2⁴ - m * 2³ + 5*2² + 2 – 3
2⁴ - m * 2³ + 5*2² + 2 – 3 = 6
16 - 8m + 20 + 2-3 = 6
- 8m = 6-38 + 3
- 8m = 9 - 38
- 8m = - 29
m = 29/8
Ejemplo 4
Calcular el resto de la división del polinomio 3x³ + x² - 6x + 7 por 2x + 1.
R = P (x) → R = P (- 1/2)
R = 3 * (- 1/2)³ + (–1/2)² – 6*(–1/2) + 7
R = 3 * (- 1/8) + 1/4 + 3 + 7
R = –3/8 + 1/4 + 10 (mmc)
R = –3/8 + 2/8 + 80/8
R = 79/8

por Mark Noah
Licenciada en Matemáticas
Equipo Escolar de Brasil

Polinomios - Matemáticas - Escuela Brasil

Fuente: Escuela Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-dalembert.htm