LA progresión aritmética (AP) es una secuencia numérica que usamos para describir el comportamiento de ciertos fenómenos en matemáticas. En un PA, el el crecimiento o la descomposición es siempre constante, es decir, de un término a otro, la diferencia siempre será la misma, y esta diferencia se conoce como razón.
Como resultado de la comportamiento predecible de una progresión, puede describirlo a partir de una fórmula conocida como termino general. Por esta misma razón, también es posible calcular la suma de los términos de un PA utilizando una fórmula específica.
Lea también: Progresión geométrica - ¿como calcular?
¿Qué es un PA?
Entender que un PA es una secuencia de términos en los que el la diferencia entre un término y su anterior es siempre constante, para describir esta progresión a partir de una fórmula, necesitamos encontrar el término inicial, o es decir, el primer término de una progresión, y su razón, que es esta diferencia constante entre el condiciones.
En términos generales, el PA se escribe de la siguiente manera:
(La1, a2,La3, a4,La5, a6,La7, a8)
El primer término es el1 y, de ella, a la agregar la razón r, busquemos los términos sucesores.
La1 + r = a2
La2 + r = a3
La3 + r = a4
...
Entonces, para escribir la progresión aritmética, necesitamos saber quién es su primer término y por qué.
Ejemplo:
Escribamos los primeros seis términos de un AP sabiendo que su primer término es 4 y su razón es igual a 2. conociendo el1 = 4 y r = 2, concluimos que esta progresión comienza en 4 y aumenta de 2 a 2. Por tanto, podemos describir sus términos.
La1 = 4
La2 = 4+ 2 = 6
La3 = 6 + 2 = 8
La4 = 8 + 2 = 10
La5= 10 + 2 = 12
La6 = 12 + 2 =14
Este BP es igual a (4,6,8,10,12,14…).
Término general de una AP
Describir el AP a partir de una fórmula nos facilita encontrar cualquiera de sus términos. Para encontrar cualquier término de un AP, usamos la siguiente fórmula:
LaNo= a1 + r · (n-1) |
N → es la posición del término;
La1→ es el primer término;
r → razón.
Ejemplo:
Encuéntralo término general de la AP (1,5,9,13,…) y el 5º, 10º y 23º trimestre.
1er paso: encuentra la razón.
Para encontrar la razón, simplemente calcule la diferencia entre dos términos consecutivos: 5 - 1 = 4; entonces, en este caso, r = 4.
2do paso: encuentre el término general.
¿Cómo sabemos que el1= 1 y r = 4, sustituyamos en la fórmula.
LaNo= a1 + r (n - 1)
LaNo= 1 + 4 (n - 1)
LaNo= 1 + 4n - 4
LaNo= 4n - 3 → término general de PA
3er paso: conociendo el término general, calculemos el quinto, décimo y vigésimo tercer término.
5to término → n = 5
LaNo= 4n - 3
La5=4·5 – 3
La5=20 – 3
La5=17
Décimo término → n = 10
LaNo= 4n - 3
La10=4·10 – 3
La10=40 – 3
La10=37
23er término → n = 23
LaNo= 4n - 3
La23=4·23 – 3
La23=92 – 3
La23=89
Tipos de progresiones aritméticas
Hay tres posibilidades para un PA. Puede ser creciente, decreciente o constante.
Creciente
Como sugiere el nombre, una progresión aritmética aumenta cuando, a medida que aumentan los plazos, también aumenta su valor., es decir, el segundo término es mayor que el primero, el tercero es mayor que el segundo, y así sucesivamente.
Para que esto suceda, la relación debe ser positiva, es decir, un PA aumenta si r> 0.
Ejemplos de:
(2,3,4,5,6,7,8,9 …)
(0,5,10,15,20,25...)
descendente
Como sugiere el nombre, una progresión aritmética desciende cuando, a medida que aumentan los términos, su valor disminuye, es decir, el segundo término es menor que el primero, el tercero es menor que el segundo, y así sucesivamente.
La1 > el2 > el3 > el4 > …. > elNo
Para que esto suceda, la relación debe ser negativa, es decir, un PA aumenta si r <0.
Ejemplos de:
(10,9,8,7,6,5,4,3,2, …)
(0, -5, -10, -15, -20, …)
Constante
Una progresión aritmética es constante cuando, a medida que aumentan los términos, el valor sigue siendo el mismo., es decir, el primer término es igual al segundo, que es igual al tercero, y así sucesivamente.
La1 = el2 = el3 = el4 = …. = aNo
Para que un PA sea constante, la razón debe ser igual a cero, es decir, r = 0.
Ejemplos de:
(1,1,1,1,1,1,1….)
(-2, -2 -2, -2, …)
Vea también: Producto de los términos de un PG: ¿cuál es la fórmula?
Propiedades de un PA
1ra propiedad
Dado cualquier término de un PA, el promedio aritmética entre su sucesor y su predecesor es igual a ese término.
Ejemplo:
Considere la progresión (-1, 2, 5, 8, 11) y el término 8. El promedio entre 11 y 5 es igual a 8, es decir, la suma del sucesor con el predecesor de un número en el PA es siempre igual a este número.
Segunda propiedad
La suma de términos equidistantes es siempre igual.
Ejemplo:
Suma de términos de un PA
Suponga que queremos agregar los seis términos de BP que se muestran arriba: (16,13,10,7,4,1). Simplemente podemos agregar sus términos, en cuyo caso hay pocos términos, es posible, pero si es una cadena más larga, debes usar la propiedad. Sabemos que la suma de términos equidistantes es siempre igual, como vimos en la propiedad, así que si realizamos esta sumar una vez y multiplicar por la mitad la cantidad de términos, tenemos la suma de los primeros seis términos del SARTÉN.
Tenga en cuenta que, en el ejemplo, estaríamos calculando la suma del primero y el último, que es igual a 17, multiplicado por la mitad de la cantidad de términos, es decir, 17 por 3, que es igual a 51.
La fórmula de suma de términos de un PA fue desarrollado por el matemático Gauss, quien se dio cuenta de esta simetría en progresiones aritméticas. La fórmula se escribe de la siguiente manera:
sNo → suma de n elementos
La1 → primer trimestre
LaNo → último trimestre
n → número de términos
Ejemplo:
Calcula la suma de números impares del 1 al 2000.
Resolución:
Sabemos que esta secuencia es un PA (1,3,5,…. 1997, 1999). Realizar la suma sería mucho trabajo, por lo que la fórmula es bastante conveniente. Del 1 al 2000, la mitad de los números son impares, por lo que hay 1000 números impares.
Datos:
n → 1000
La1 → 1
LaNo → 1999
También acceda a: Suma de un PG finito: ¿cómo hacerlo?
Interpolación de medias aritméticas
Conociendo dos términos no consecutivos de una progresión aritmética, es posible encontrar todos los términos que caen entre estos dos números, lo que conocemos como interpolación de medias aritméticas.
Ejemplo:
Interpolemos 5 medias aritméticas entre 13 y 55. Eso significa que hay 5 números entre el 13 y el 55 y forman una progresión.
(13, ___, ___, ___, ___, ___, 55).
Para encontrar estos números, es necesario encontrar el motivo. Conocemos el primer término (el1 = 13) y también el séptimo término (el7= 55), pero sabemos que:
LaNo = el1 + r · (n - 1)
Cuando n = 7 → aNo= 55. También conocemos el valor de un1=13. Entonces, sustituyéndolo en la fórmula, tenemos que:
55 = 13 + r · (7 - 1)
55 = 13 + 6r
55-13 = 6r
42 = 6r
r = 42: 6
r = 7.
Sabiendo el motivo, podemos encontrar términos que estén entre 13 y 55.
13 + 7 = 20
21 + 7 = 27
28 + 7 = 34
35 + 7 = 41
41 + 7 = 49
(13, 20, 27, 34, 41, 49, 55)
ejercicios resueltos
Pregunta 1 - (Enem 2012) - Jugar a las cartas es una actividad que estimula el razonamiento. Un juego tradicional es el solitario, que utiliza 52 cartas. Inicialmente, se forman siete columnas con las tarjetas. La primera columna tiene una carta, la segunda tiene dos cartas, la tercera tiene tres cartas, la cuarta tiene cuatro cartas y así sucesivamente. sucesivamente a la séptima columna, que tiene siete cartas, y lo que forma la pila, que son las cartas no utilizadas en el columnas.
El número de cartas que componen la pila es:
A) 21.
B) 24.
C) 26.
D) 28.
E) 31.
Resolución
Alternativa B.
Primero, calculemos el número total de tarjetas que se utilizaron. Estamos trabajando con un AP cuyo primer término es 1 y la relación también es 1. Entonces, calculando la suma de las 7 filas, el último término es 7 y el valor de n también es 7.
Sabiendo que el número total de cartas utilizadas fue 28 y que son 52 cartas, la pila está formada por:
52-28 = 24 cartas
Pregunta 2 - (Enem 2018) El ayuntamiento de un pequeño pueblo del interior decide colocar postes de iluminación alrededor del por un camino recto que comienza en una plaza central y termina en una finca de la zona. rural. Como la plaza ya tiene iluminación, el primer poste se colocará a 80 metros de la plaza, el segundo a 100 metros, el tercero a 120 metros, y así sucesivamente. sucesivamente, manteniendo siempre una distancia de 20 metros entre los postes, hasta que el último poste se coloque a una distancia de 1.380 metros de la cuadrado.
Si la ciudad puede pagar un máximo de R $ 8.000,00 por publicación colocada, el monto más alto que puede gastar en la colocación de estas publicaciones es:
A) BRL 512 000,00.
B) 520.000,00 BRL.
C) R $ 528.000,00.
D) 552.000,00 BRL.
E) R $ 584 000,00.
Resolución
Alternativa C.
Sabemos que se colocarán postes cada 20 metros, es decir, r = 20, y que el primer término de esta AP es 80. Además, sabemos que el último término es 1380, pero no sabemos cuántos términos hay entre 80 y 1380. Para calcular este número de términos, usemos la fórmula del término general.
Datos: aNo = 1380; La1=80; y r = 20.
LaNo= a1 + r · (n-1)
Se colocarán 660 puestos. Si cada uno tiene un costo máximo de R $ 8.000, la mayor cantidad que se puede gastar con la colocación de estos puestos es:
66· 8 000 = 528 000
Por Raul Rodrigues de Oliveira
Fuente: Escuela Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/progressoes-aritmeticas.htm