¿Puedes decir qué tienen en común las secuencias de la imagen de arriba? En todos ellos los números crecen según alguna “forma lógica”. Estas secuencias numéricas se puede clasificar como progresiones geométricas. Uno progresión geométrica (PG) es una secuencia numérica en la que la división de un elemento por el elemento inmediatamente anterior siempre da como resultado el mismo valor, llamado razón. Otro aspecto interesante que caracteriza una progresión geométrica es que, cuando elegimos tres elementos consecutivos, el cuadrado del elemento medio siempre será igual al producto de los elementos del extremos. Por ejemplo, veamos la secuencia A = (1, 2, 4, 8, 16, 32,…). Podemos identificar la razón eligiendo cualquier elemento y dividiéndolo por el término inmediatamente anterior. Realicemos este procedimiento para todos los elementos que aparecen en la secuencia:
32 = 2, 16 = 2; 8 = 2; 4 = 2; 2 = 2
16 8 4 2 1
Por lo tanto, la razón de la secuencia A es 2. Veamos si se cumple la segunda regla. Elijamos tres elementos consecutivos, por ejemplo,
4, 8, 16. Según la regla, el cuadrado de 8 es igual al producto de dos números finales, en este caso 4 y 16. Usando las propiedades de mejora, tenemos que 8² = 64. Si multiplicamos los extremos, obtenemos que 4 * 16 = 64. Aplica estas reglas a otras progresiones y averigua si la secuencia es una progresión geométrica.Dada cualquier secuencia (La1, a2, a3, a4, …, Lan-1, aNo, …), podemos decir eso, ser No cualquier entero, el razón r es dado por:
r = LaNo
Lan - 1
Analicemos las otras secuencias de la imagen de texto inicial, comprobando si son progresiones geométricas.
B = {5, 25, 125, 625, 3125,…}
r = 25 = 125 = 625 = 3125 = 5
5 25 125 625
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C = {1, - 3, 9, - 27, 81, - 243, 729}
r = – 3 = 9 = – 27 = 81 = 243 = – 3
1 – 3 9 – 27 81
D = (10; 5; 2,5; 1,25; 0,625; 0,3125 …}
r = 5 = 2,5 = 1,25 = 0,625 = 0,3125 = 1
10 5 2,5 1,25 0,625 2
Una progresión geométrica se puede clasificar según su razón. Veamos las posibles clasificaciones:
Si el PG presenta una razón para valor negativo, decimos que es un PG alterno o balanceo, como en el ejemplo C. Tenga en cuenta que una cadena de este tipo tiene valores positivos y negativos alternos (1, -3, 9, -27, 81, -243, 729 ...);
Cuando el primer elemento de PG es positivo y la razon r es del tipo r> 1 o el primer elemento de PG es negativo y 0
, decimos que PG es creciente. las secuencias LA y B son ejemplos de una progresión geométrica creciente; Si ocurre lo contrario de la constante PG, es decir, cuando el primer elemento de la PG es negativo y la razon r es del tipo r> 1 o el primer elemento de PG es positivo y 0
, es un PG decreciente. La secuencia D es un ejemplo de PG decreciente; Cuando un PG tiene una relación igual a 1, está clasificado como PG constante. La secuencia (2, 2, 2, 2, 2,…) es un tipo de PG constante porque su razón es 1;
Cuando PG tiene al menos un término nulo, decimos que es una progresión geométrica singular. No podemos determinar la razón de un PG singular. Un ejemplo es la secuencia (2, 0, 0, 0,…).
Por Amanda Gonçalves
Licenciada en Matemáticas
