Εξίσωση: τι είναι, βασικές έννοιες, τύποι, παραδείγματα

Ενας εξίσωση είναι μια μαθηματική πρόταση που έχει ισότητα και τουλάχιστον μία άγνωστη, δηλαδή όταν έχουμε την εμπλοκή ενός αλγεβρική έκφραση και ισότητα. Η μελέτη των εξισώσεων απαιτεί προηγούμενη γνώση, όπως η μελέτη του αριθμητικές εκφράσεις. Ο σκοπός μιας εξίσωσης είναι βρείτε την άγνωστη τιμή που μετατρέπει την ισότητα σε ταυτότητα, δηλαδή μια πραγματική ισότητα.

Διαβάστε επίσης:Λειτουργίες με κλάσματα - πώς να υπολογίσετε;

Βασικές έννοιες για μελέτη εξίσωσης

Η εξίσωση είναι μια μαθηματική πρόταση που έχει ένα άγνωστος, τουλάχιστον, και α ισότητα, και μπορούμε να το κατατάξουμε με τον αριθμό των αγνώστων. Δείτε μερικά παραδείγματα:

α) 5t - 9 = 16

Η εξίσωση έχει ένα άγνωστο, που αντιπροσωπεύεται από το γράμμα τ.

β) 5x + 6y = 1

Η εξίσωση έχει δύο άγνωστα, που αντιπροσωπεύονται από τα γράμματα Χ και ε.

γ) τ⁴ - 8z = x

Η εξίσωση έχει τρία άγνωστα, που αντιπροσωπεύονται από τα γράμματα Εντάξει,ζ και Χ.

Όποια και αν είναι η εξίσωση, πρέπει να λάβουμε υπόψη σας σύνολο σύμπαντος,αποτελείται από όλες τις πιθανές τιμές που μπορούμε να αντιστοιχίσουμε στο άγνωστο

, αυτό το σύνολο αντιπροσωπεύεται από το γράμμα Ε.

• Παράδειγμα 1

Εξετάστε την εξίσωση x + 1 = 0 και την πιθανή λύση της x = –1. Τώρα σκεφτείτε ότι το σύμπαν σύνολο της εξίσωσης είναι το φυσικός.

Σημειώστε ότι η υποτιθέμενη λύση δεν ανήκει στο σύνολο του σύμπαντος, καθώς τα στοιχεία του είναι όλες οι πιθανές τιμές που μπορεί να πάρει το άγνωστο, έτσι x = –1 δεν είναι η λύση στην εξίσωση.

Φυσικά, όσο μεγαλύτερος είναι ο αριθμός των αγνώστων, τόσο πιο δύσκολο είναι να προσδιορίσετε τη λύση σας. Ο λύση ή πηγή μιας εξίσωσης είναι το σύνολο όλων των τιμών που, όταν ανατίθενται στο άγνωστο, κάνουν την ισότητα αληθινή.

• Παράδειγμα 2

Εξετάστε την εξίσωση με ένα άγνωστο 5x - 9 = 16, ελέγξτε ότι x = 5 είναι η λύση ή η ρίζα της εξίσωσης.

Για να είναι δυνατόν να το πούμε αυτό x = 5 είναι η λύση της εξίσωσης, πρέπει να αντικαταστήσουμε αυτήν την τιμή στην έκφραση, αν βρούμε μια πραγματική ισότητα, ο αριθμός θα είναι η δοκιμασμένη λύση.

5Χ – 9 = 16

5(5) – 9 = 16

25 – 9 = 16

16 = 16

Δείτε ότι η ισότητα που βρέθηκε είναι αληθινή, επομένως έχουμε μια ταυτότητα και ο αριθμός 5 είναι μια λύση. Έτσι μπορούμε να πούμε ότι το σύνολο λύσεων δίνεται από:

S = {5}

• Παράδειγμα 3

Εξετάστε την εξίσωση t² = 4 και ελέγξτε αν t = 2 ή t = –2 είναι λύσεις στην εξίσωση.

Αναλογικά, θα πρέπει να αντικαταστήσουμε την τιμή του t στην εξίσωση, ωστόσο, σημειώστε ότι έχουμε δύο τιμές για το άγνωστο και επομένως πρέπει να πραγματοποιήσουμε την επαλήθευση σε δύο βήματα.

Βήμα 1 - Για t = 2

τ²= 4

2² = 4

4 = 4

Βήμα 2 - Για t = –2

τ² = 4

(–2)² = 4

4 = 4

Δείτε για t = 2 και t = - 2 βρίσκουμε μια ταυτότητα, οπότε αυτές οι δύο τιμές είναι λύσεις στην εξίσωση. Έτσι, μπορούμε να πούμε ότι το σύνολο λύσεων είναι:

S = {2, –2}

Τύποι εξισώσεων

Μπορούμε επίσης να ταξινομήσουμε μια εξίσωση ως προς τη θέση που καταλαμβάνουν οι άγνωστοι. Δείτε τους κύριους τύπους:

• Πολυωνυμικές εξισώσεις

Στο πολυωνυμικές εξισώσεις χαρακτηρίζονται από το ότι έχουν ένα πολυώνυμο ίσο με το μηδέν. Δείτε μερικά παραδείγματα:

Ο) 6τ³+ 5τ²–5t = 0

Οι αριθμοί6, 5 και –5 είναι οι συντελεστές της εξίσωσης.

ΣΙ) 9Χ – 9= 0

Οι αριθμοί 9 και – 9 είναι οι συντελεστές της εξίσωσης.

γ) γ²– γ – 1 = 0

Οι αριθμοί 1, – 1 και – 1 είναι οι συντελεστές της εξίσωσης.

• Βαθμοί εξίσωσης

Οι πολυωνυμικές εξισώσεις μπορούν να ταξινομηθούν ανάλογα με τον βαθμό τους. Καθώς και η πολυώνυμα, ο βαθμός μιας πολυωνυμικής εξίσωσης δίνεται από υψηλότερη ισχύς που έχει μη μηδενικό συντελεστή.

Από τα προηγούμενα παραδείγματα a, b και c, έχουμε ότι οι βαθμοί των εξισώσεων είναι:

α) 6τ³ + 5 τόνους² –5t = 0 → Πολυωνυμική εξίσωση του τρίτου βαθμού

β) 9Χ - 9 = 0 → Πολυωνυμική εξίσωση του πρώτου βαθμού

ντο) γ² - y - 1 = 0 → Πολυωνυμική εξίσωση του Λύκειο

Διαβάστε επίσης: τετραγωνική εξίσωσηu: πώς να υπολογίσετε, τύπους, παραδείγματα

• λογικές εξισώσεις

Οι ορθολογικές εξισώσεις χαρακτηρίζονται από το ότι έχουν άγνωστα στον παρονομαστή του a κλάσμα. Δείτε μερικά παραδείγματα:

Διαβάστε επίσης: Τι είναι οι λογικοί αριθμοί;

• παράλογες εξισώσεις

Στο παράλογες εξισώσεις χαρακτηρίζονται από το ότι έχουν άγνωστα μέσα σε μια ρίζα, δηλαδή, μέσα σε μια ρίζα που έχει δείκτη n. Δείτε μερικά παραδείγματα:

• εκθετικές εξισώσεις

Στο εκθετικές εξισώσεις έχω το άγνωστα που βρίσκονται στον εκθέτη του α δραστικότητα. Δείτε μερικά παραδείγματα:

• λογαριθμική εξίσωση

Στο λογαριθμικές εξισώσεις χαρακτηρίζονται από την ύπαρξη ένα ή περισσότερα άγνωστα σε κάποιο μέρος του λογάριθμος. Θα δούμε ότι, κατά την εφαρμογή του ορισμού του λογάριθμου, η εξίσωση πέφτει σε ορισμένες από τις προηγούμενες περιπτώσεις. Δείτε μερικά παραδείγματα:

Δείτε επίσης: Εξίσωση πρώτου βαθμού με άγνωστο

Πώς να λύσετε μια εξίσωση;

Για να λύσουμε μια εξίσωση, πρέπει να μελετήσουμε το μέθοδοι που χρησιμοποιούνται σε κάθε τύπο, δηλαδή, για κάθε τύπο εξίσωσης, υπάρχει μια διαφορετική μέθοδος για τον προσδιορισμό των πιθανών ριζών. Ωστόσο, όλες αυτές οι μέθοδοι είναι προέρχεται από την αρχή της ισοδυναμίας, με αυτό είναι δυνατό να επιλυθούν οι κύριοι τύποι εξισώσεων.

• Αρχή της ισοδυναμίας

Δεύτερη αρχή της ισοδυναμίας, μπορούμε ελεύθερα να λειτουργούμε από τη μία πλευρά της ισότητας, αρκεί να κάνουμε το ίδιο στην άλλη πλευρά της ισότητας. Για να βελτιώσουμε την κατανόηση, θα ονομάσουμε αυτές τις πλευρές.

Επομένως, η αρχή της ισοδυναμίας δηλώνει ότι είναι δυνατόν λειτουργούν στο πρώτο άκρο ελεύθερα όσο το η ίδια λειτουργία γίνεται στο δεύτερο μέλος.

Για να επαληθεύσετε την αρχή της ισοδυναμίας, λάβετε υπόψη την ακόλουθη ισότητα:

5 = 5

Ας πάμε τώρα να προσθέσω και στις δύο πλευρές τον αριθμό 7, και σημειώστε ότι η ισότητα θα εξακολουθεί να ισχύει:

5 =5

5 + 7= 5 + 7

12 = 12

Ας πάμε τώρα αφαιρώ 10 και στις δύο πλευρές της ισότητας, σημειώστε και πάλι ότι η ισότητα θα εξακολουθήσει να ισχύει:

12 = 12

12 – 10 = 12 – 10

2 = 2

δείτε ότι μπορούμε πολλαπλασιάζω ή μερίδιο και ανεβάζουμε σε ένα δραστικότητα ή ακόμη και εξαγάγετε ένα πηγή, όσο γίνεται στο πρώτο και το δεύτερο μέλος, η ισότητα θα ισχύει πάντα.

Για να λύσουμε μια εξίσωση, πρέπει να χρησιμοποιήσουμε αυτήν την αρχή μαζί με τη γνώση των αναφερόμενων λειτουργιών. Για να διευκολυνθεί η ανάπτυξη των εξισώσεων, ας παραλείψουμε τη λειτουργία που έγινε στο πρώτο μέλος, είναι ισοδύναμο με το να λέμε ότι μεταβιβάζουμε τον αριθμό στο άλλο μέλος, ανταλλάσσοντας το σύμβολο με το αντίθετο.

Η ιδέα για τον προσδιορισμό της λύσης μιας εξίσωσης είναι πάντα απομονώστε το άγνωστο χρησιμοποιώντας την αρχή της ισοδυναμίας, Κοίτα:

• Παράδειγμα 4

Χρησιμοποιώντας την αρχή της ισοδυναμίας, προσδιορίστε το σύνολο λύσεων της εξίσωσης 2x - 4 = 8 γνωρίζοντας ότι το σύνολο του σύμπαντος δίνεται από: U = ℝ.

2x - 4 = 8

Για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση του πρώτου βαθμού, πρέπει να αφήσουμε το άγνωστο στο πρώτο μέλος απομονωμένο. Για αυτό, θα πάρουμε τον αριθμό –4 από το πρώτο μέλος, προσθέτοντας 4 και στις δύο πλευρές, αφού –4 + 4 = 0.

2x - 4 = 8

2x - 4+ 4 = 8+ 4

2x = 12

Σημειώστε ότι η εκτέλεση αυτής της διαδικασίας ισοδυναμεί απλώς με το πέρασμα του αριθμού 4 με το αντίθετο σύμβολο. Έτσι, για να απομονώσουμε το άγνωστο x, ας περάσουμε τον αριθμό 2 στο δεύτερο μέλος, καθώς πολλαπλασιάζει το x. (Θυμηθείτε: η αντίστροφη λειτουργία του πολλαπλασιασμού είναι διαίρεση). Θα ήταν το ίδιο με το διαχωρισμό και των δύο πλευρών με το 2.

Επομένως, το σύνολο λύσεων δίνεται από:

S = {6}

• Παράδειγμα 5

Λύστε την εξίσωση 2^{x + 5} = 128 γνωρίζοντας ότι το σύνολο του σύμπαντος δίνεται από το U = ℝ.

Για να λύσουμε την εκθετική εξίσωση, ας χρησιμοποιήσουμε πρώτα τα ακόλουθα ιδιότητα ενίσχυσης:

ο^{μ + ν} = το^Μ · ένα^όχι

Θα χρησιμοποιήσουμε επίσης το γεγονός ότι 2² = 4 και 2⁵ = 32.

2^{x + 5} = 128

2^Χ · 2⁵ = 128

2^Χ · 32 = 128

Σημειώστε ότι είναι δυνατόν να διαιρέσετε και τις δύο πλευρές με το 32, δηλαδή να περάσετε τον αριθμό 32 στο δεύτερο μέλος διαιρώντας.

Πρέπει λοιπόν:

2^Χ = 4

2^Χ = 2²

Η μόνη τιμή του x που ικανοποιεί την ισότητα είναι ο αριθμός 2, οπότε x = 2 και το σύνολο λύσης δίνεται από:

S = {2}

Οι εξισώσεις υπάρχουν σε διάφορους τομείς της επιστήμης.

λύσεις ασκήσεις

ερώτηση 1 - Εξετάστε το σύνολο σύμπαν U = ℕ και προσδιορίστε τη λύση της ακόλουθης παράλογης εξίσωσης:

Ανάλυση

Για να λύσουμε αυτήν την εξίσωση, πρέπει να ανησυχούμε για την εξάλειψη της ρίζας του πρώτου μέλους. Σημειώστε ότι, για αυτό, είναι απαραίτητο να ανυψώσετε το πρώτο μέλος στον ίδιο δείκτη με τη ρίζα, δηλαδή στον κύβο. Σύμφωνα με την αρχή της ισοδυναμίας, πρέπει επίσης να αυξήσουμε το δεύτερο μέλος της ισότητας.

Σημειώστε ότι πρέπει τώρα να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση του δεύτερου βαθμού. Ας περάσουμε τον αριθμό 11 στο δεύτερο μέλος (αφαίρεση 11 και στις δύο πλευρές της ισότητας), προκειμένου να απομονώσουμε το άγνωστο x.

Χ² = 27 – 11

Χ² = 16

Τώρα για να προσδιορίσετε την τιμή του x, δείτε ότι υπάρχουν δύο τιμές που ικανοποιούν την ισότητα, x ’= 4 ή x’ ’= –4, μια φορά:

4² = 16

και

(–4)² = 16

Ωστόσο, σημειώστε στη δήλωση της ερώτησης ότι το δεδομένο σύνολο σύμπαντος είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών και ο αριθμός –4 δεν ανήκει σε αυτό, επομένως, το σύνολο λύσεων δίνεται από:

S = {4}

Ερώτηση 2 - Εξετάστε την πολυωνυμική εξίσωση x² + 1 = 0 γνωρίζοντας ότι το σύνολο του σύμπαντος δίνεται από το U = ℝ.

Ανάλυση

Για την αρχή της ισοδυναμίας, αφαιρέστε το 1 και από τα δύο μέλη.

Χ² + 1 – 1= 0 – 1

Χ² = – 1

Σημειώστε ότι η ισότητα δεν έχει λύση, αφού το σύμπαν είναι οι πραγματικοί αριθμοί, δηλαδή όλοι τιμές που μπορεί να υποθέσει ο άγνωστος είναι πραγματικές και δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός που, όταν τετραγωνίζεται, είναι αρνητικός.

1² = 1

και

(–1)² = 1

Επομένως, η εξίσωση δεν έχει καμία λύση στο σύνολο των πραγματικών, και έτσι μπορούμε να πούμε ότι το σύνολο λύσεων είναι κενό.

S = {}

από τον Robson Luiz
Καθηγητής μαθηματικών