Ο αλγεβρική παραγοντοποίηση έκφρασης αποτελείται από τη σύνταξη μιας αλγεβρικής έκφρασης στα μορφή προϊόντος. Σε πρακτικές περιπτώσεις, δηλαδή στη λύση ορισμένων προβλημάτων που συνεπάγονται αλγεβρικές εκφράσεις, η παραγοντοποίηση είναι εξαιρετικά χρήσιμη γιατί, στις περισσότερες περιπτώσεις, απλοποιεί την λειτουργική έκφραση.
Για να πραγματοποιήσουμε παραγοντοποίηση των αλγεβρικών εκφράσεων, θα χρησιμοποιήσουμε ένα πολύ σημαντικό αποτέλεσμα στα μαθηματικά που ονομάζονται θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής, που δηλώνει ότι οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός μεγαλύτερος από 1 μπορεί να γραφτεί ως προϊόν του πρώτοι αριθμοί, Κοίτα:
121 = 11 · 11
60 = 5 · 4 · 3
Απλώς καταγράψαμε τους αριθμούς 121 και 60.
Διαβάστε επίσης: Αποσύνθεση ενός αριθμού σε πρωταρχικούς παράγοντες
Μέθοδοι για τον προσδιορισμό αλγεβρικών εκφράσεων
Τώρα θα δούμε τις κύριες μεθόδους παραγοντοποίησης, τις πιο χρησιμοποιούμενες θα κάνουμε μια σύντομη γεωμετρική αιτιολόγηση. Κοίτα:
Απολογισμός αποδεικτικών στοιχείων
Εξετάστε το ορθογώνιο:
Σημειώστε ότι το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο μπλε συν την περιοχή του πράσινου ορθογωνίου οδηγεί στο μεγαλύτερο ορθογώνιο. Ας δούμε καθεμία από αυτές τις περιοχές:
ΟΜΠΛΕ = β · x
ΟΠΡΑΣΙΝΟΣ = β · γ
ΟΜΕΓΑΛΥΤΕΡΟΣ = b · (x + y)
Έτσι, πρέπει:
ΟΜΕΓΑΛΥΤΕΡΟΣ = ΑΜΠΛΕ + ΑΠΡΑΣΙΝΟΣ
b (x + y) = bx + κατά
Παραδείγματα
Ο) Για συντελεστή έκφρασης: 12x + 24y.
Σημειώστε ότι το 12 είναι ο παράγοντας στην απόδειξη, καθώς εμφανίζεται και στα δύο δέματα, οπότε για να προσδιορίσετε τους αριθμούς που περνούν μέσα στις παρενθέσεις, αρκεί μερίδιο κάθε δέμα με βάση τον αποδεικτικό παράγοντα.
12x: 12 = Χ
24y: 12 = 2ε
12x + 24y = 12 · (Χ + 2ε)
ΣΙ) Στην παράσταση παράγοντα 21ab2 - 70η2ΣΙ.
Με τον ίδιο τρόπο, αρχικά, προσδιορίζεται ο παράγοντας στην απόδειξη, δηλαδή ο παράγοντας που επαναλαμβάνεται στα δέματα. Δείτε ότι από το αριθμητικό μέρος έχουμε το 7 ως ένας κοινός παράγοντας, αφού αυτός είναι που διαιρεί και τους δύο αριθμούς. Τώρα, σχετικά με το κυριολεκτικό μέρος, δείτε ότι επαναλαμβάνεται μόνο ο παράγοντας αβ, επομένως, ο αποδεικτικός παράγοντας είναι: 7ab.
21ab2 - 70η2b = 7ab (3b - 10)ο)
Διαβάστε επίσης: Πολυωνυμική διαίρεση: πώς να το κάνετε;
Factoring ανά ομαδοποίηση
Η παραγοντοποίηση ανά ομαδοποίηση είναι που προκύπτει από την παράθεση αποδεικτικών στοιχείων, η μόνη διαφορά είναι ότι, αντί να έχουμε ένα μονόμιο ως κοινό παράγοντα ή παράγοντα αποδεικτικών στοιχείων, θα έχουμε ένα πολυώνυμος, δείτε το παράδειγμα:
Εξετάστε την έκφραση (a + b) · xy + (a + b) · wz2
Σημειώστε ότι ο κοινός παράγοντας είναι ο διωνυμικός (α + β),Ως εκ τούτου, η παραγοντική μορφή της προηγούμενης έκφρασης είναι:
(α + β) · (Xy + wz2)
διαφορά μεταξύ δύο τετραγώνων
Σκεφτείτε δύο αριθμούς a και b, όταν έχουμε ένα διαφορά του τετραγώνου αυτών των αριθμών, δηλαδή του2 - Β2, έτσι μπορούμε να τα γράψουμε ως προϊόν του αθροίσματος για τη διαφορά, δηλαδή:
ο2 - Β2 = (α + β) · (α - β)
Παραδείγματα
Ο) Για να συντελεστεί η έκφραση x2 - ε2.
Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη διαφορά μεταξύ δύο τετραγώνων, έτσι:
Χ2 - ε2 = (x + y) · (x - y)
ΣΙ) Στο παράγοντα 20202 – 2.0192.
Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη διαφορά μεταξύ δύο τετραγώνων, έτσι:
2.0202 – 2.0192 = (2.020 + 2.019) · (2.020 – 2.019)
2.0202 – 2.0192 = 4.039 · 1
2.0202 – 2.0192 = 4.039
Trinomial της τέλειας πλατείας
Πάρτε το επόμενο τετράγωνο από την πλευρά (a + b) και σημειώστε τις περιοχές των τετραγώνων και των ορθογωνίων που σχηματίζονται μέσα σε αυτό.
Δείτε την περιοχή του τετράγωνο το μεγαλύτερο δίνεται από (a + b)2, αλλά, από την άλλη πλευρά, η περιοχή του μεγαλύτερου τετραγώνου μπορεί να ληφθεί προσθέτοντας τα τετράγωνα και τα ορθογώνια μέσα σε αυτό, όπως αυτό:
(α + β)2 = το2+ αβ + αβ + β2
(α + β)2 = το2+ 2β + β2
(α + β)2 = το2 + 2αμπ + β2
Ομοίως, πρέπει:
(α - β)2 = το2 - 2ab + b2
Παράδειγμα
Εξετάστε την έκφραση x2 + 12x + 36.
Για να συντελέσετε μια έκφραση αυτού του τύπου, απλώς προσδιορίστε τον συντελεστή της μεταβλητής x και τον ανεξάρτητο συντελεστή και συγκρίνετε με τον δεδομένο τύπο, δείτε:
Χ2 + 12x + 36
ο2 + 2αμπ + β2
Πραγματοποιώντας τις συγκρίσεις, δείτε ότι x = a, 2b = 12 και b2 = 36; των ισοτιμιών, έχουμε αυτό το b = 6, οπότε η παραγοντοποιημένη έκφραση είναι:
Χ2 + 12x + 36 = (x + 6)2
Trinomial Γυμνάσιο
Εξετάστε το τρινόμιο τσεκούρι2 + bx + γ. Το παραγοντικό σχήμα του μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τις ρίζες σας, δηλαδή, οι τιμές του x που μηδενίζουν αυτήν την έκφραση. Για να προσδιορίσετε τις τιμές που κάνουν αυτήν την έκφραση μηδέν, απλώς επιλύστε τον άξονα εξίσωσης2 + bx + c = 0 χρησιμοποιώντας οποιαδήποτε μέθοδο είναι βολική. Εδώ επισημαίνουμε την πιο γνωστή μέθοδο: Μέθοδος Bhaskara.
Η παραγοντοποιημένη μορφή του τριανομικού τσεκουριού2 + bx + c είναι:
τσεκούρι2 + bx + c = a · (x - x1) · (X - x2)
Παράδειγμα
Εξετάστε την έκφραση x2 + x - 20.
Το πρώτο βήμα είναι να προσδιορίσετε τις ρίζες της εξίσωσης x.2 + x - 20 = 0.
Έτσι, η παραγοντική μορφή της έκφρασης x2 + x - 20 είναι:
(x - 4) · (x + 5)
Κύβος της διαφοράς μεταξύ δύο αριθμών
Ο κύβος της διαφοράς μεταξύ δύο αριθμών a και b δίνεται από:
(α - β)3 = (α - β) · (α - β)2
(α - β)3 = (α - β) · (α2 - 2ab + b2)
Κύβος του αθροίσματος των δύο αριθμών
Ομοίως, έχουμε αυτό (a + b)3 = (α + β) · (α + β)2 , σύντομα:
(α + β)3 = (a + b) · (α2 + 2αμπ + β2)
λύσεις ασκήσεις
ερώτηση 1 - (Cefet-MG) Όπου ο αριθμός n = 6842 – 6832, το άθροισμα των ψηφίων του n είναι:
α) 14
β) 15
γ) 16
δ) 17
ε) 18
Ανάλυση
Εναλλακτική d. Για να προσδιορίσουμε το άθροισμα των ψηφίων του n, αρχίζουμε να λαμβάνουμε υπόψη την έκφραση, αφού ο υπολογισμός των τετραγώνων και στη συνέχεια η αφαίρεση είναι περιττή δουλειά. Λαμβάνοντας υπόψη την έκφραση χρησιμοποιώντας τη διαφορά μεταξύ δύο τετραγώνων, έχουμε:
η = 6842 – 6832
n = (684 + 683) · (684 - 683)
n = 1,367 · 1
η = 1,367
Επομένως, το άθροισμα των ψηφίων του n δίνεται από 1 + 3 + 6 + 7 = 17
Ερώτηση 2 - (Τροποποιημένο Insper-SP) Προσδιορίστε την τιμή της έκφρασης:
Ανάλυση
Για να διευκολύνουμε τη σημειογραφία, ας ονομάσουμε a = 2009 και b = 2. θυμηθείτε ότι 22 = 4, οπότε πρέπει:
Παρατηρήστε ότι, στον αριθμητή του κλάσματος, έχουμε τη διαφορά μεταξύ δύο τετραγώνων, ώστε να μπορούμε να γράψουμε το2 - Β2 = (a + b) (a - b). Σύντομα:
α - β = 2009 - 2 = 2007.
από τον Robson Luiz
Καθηγητής μαθηματικών
Πηγή: Σχολείο της Βραζιλίας - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/fatoracao-expressao-algebrica.htm