Ο συνδυαστική ανάλυση είναι ένα πεδίο σπουδών στα μαθηματικά που σχετίζεται με τους κανόνες καταμέτρησης. Στις αρχές του 18ου αιώνα, η μελέτη των παιχνιδιών που περιελάμβαναν ζάρια και κάρτες προκάλεσε μεγάλη ανάπτυξη στις θεωρίες μέτρησης.
Το έργο της συνδυαστικής επιτρέπει την πραγματοποίηση όλο και πιο ακριβών μετρήσεων.Η θεμελιώδης αρχή της μέτρησης (PFC), τα παραγοντικά και οι τύποι ομαδοποίησης είναι παραδείγματα εννοιών που μελετήθηκαν σε συνδυαστική ανάλυση, οι οποίες, εκτός από την παροχή μεγαλύτερος η ακρίβεια βοηθά όχιτην ανάπτυξη άλλων τομέων των μαθηματικών, όπως ο πιθανότητα και Ο Διωνυμία του Νεύτωνα.
Διαβάστε επίσης: ρύθμιση ή ντοσυνδυασμός?
Σε τι χρησιμεύει η συνδυαστική ανάλυση;
Η συνδυαστική ανάλυση σχετίζεται με τη διαδικασία μέτρησης, δηλαδή, η μελέτη αυτού του τομέα των μαθηματικών μας επιτρέπει να αναπτύξουμε εργαλεία που μας βοηθούν να εκτελέσουμε μετρά πιο αποτελεσματικά. Ας δούμε ένα τυπικό πρόβλημα καταμέτρησης, δείτε:
Παράδειγμα 1
Εξετάστε τρεις πόλεις Α, Β και Γ που συνδέονται με αυτοκινητόδρομους R
1, Ρ2, Ρ3, Ρ4 και R5. Προσδιορίστε πόσους τρόπους μπορούμε να πάρουμε από την πόλη Α στην πόλη Γ μέσω της πόλης Β.
Σημειώστε ότι πρέπει να φύγουμε από την πόλη Α και να πάμε στην πόλη Β και μόνο τότε μπορούμε να ταξιδέψουμε στην πόλη Γ, οπότε ας αναλύσουμε όλα τα δυνατότητες να πραγματοποιήσει την εκδήλωση ακολουθώντας τους αυτοκινητόδρομους.
1ος τρόπος: Ρ1 → Ρ3
2ος τρόπος: Ρ1 → Ρ4
3ος τρόπος: Ρ1 → Ρ5
4ος τρόπος: Ρ2 → Ρ3
5ος τρόπος: Ρ2 → Ρ4
6ος τρόπος: Ρ2 → Ρ5
Έχουμε λοιπόν έξι διαφορετικούς τρόπους μετάβασης από την πόλη Α στην πόλη Γ μέσω της πόλης Β. Ωστόσο, σημειώστε ότι το προτεινόμενο πρόβλημα είναι σχετικά απλό και ότι η ανάλυση που πραγματοποιήθηκε ήταν λίγο επίπονη. Έτσι, από τώρα και στο εξής, θα μελετήσουμε πιο εξελιγμένα εργαλεία που καθιστούν δυνατή την επίλυση προβλημάτων με πολύ λιγότερη δουλειά.
Θεμελιώδης αρχή της μέτρησης (PFC)
Εξετάστε ένα συμβάν Ε που μπορεί να εκτελεστεί σε ανεξάρτητα και διαδοχικά βήματα. Τώρα, σκεφτείτε ότι ο αριθμός των δυνατοτήτων εκτέλεσης του πρώτου βήματος είναι ίσος με το P1, φανταστείτε επίσης ότι ο αριθμός των δυνατοτήτων εκτέλεσης του δεύτερου σταδίου είναι P.2, και ούτω καθεξής, μέχρι να φτάσουμε στο τελευταίο στάδιο, το οποίο έχει Pόχι δυνατότητες εκτέλεσης.
Η θεμελιώδης αρχή της μέτρησης (PFC) δηλώνει ότι το συνολικές δυνατότητες της διοργάνωσης της εκδήλωσης Ε δίνεται από:
Π1 ·Π2 · … · Πόχι
Έτσι, το σύνολο δίνεται από το προϊόν των δυνατοτήτων καθενός από τα βήματα που αποτελούν το συμβάν Ε. Σημειώστε ότι, για να προσδιορίσετε τις συνολικές δυνατότητες για τη διεξαγωγή της εκδήλωσης Ε, είναι απαραίτητο να γνωρίζετε τις συνολικές δυνατότητες για καθένα από τα στάδια.
Παράδειγμα 2
Ας επαναλάβουμε το παράδειγμα 1 χρησιμοποιώντας τη θεμελιώδη αρχή της μέτρησης.
Εξετάστε την εικόνα στο παράδειγμα 1.
Σημειώστε ότι η εκδήλωση μπορεί να εκτελεστεί σε δύο στάδια, το πρώτο πηγαίνει από την πόλη Α στην πόλη Β και το δεύτερο πηγαίνει από την πόλη Β στην πόλη Γ. Για να πραγματοποιήσουμε το πρώτο βήμα, έχουμε δύο δυνατότητες (δρόμοι R1 και R2και για να πραγματοποιήσουμε το δεύτερο στάδιο, έχουμε τρεις δυνατότητες (R3, Ρ4 και R5).
1ο βήμα → δύο δυνατότητες
2ο στάδιο → τρεις δυνατότητες
Με τη θεμελιώδη αρχή της μέτρησης, πρέπει πολλαπλασιάζω τις συνολικές δυνατότητες κάθε βήματος.
2 · 3
6
Επομένως, για να μεταβούμε από την πόλη Α στην πόλη Γ μέσω της πόλης Β, έχουμε συνολικά έξι δυνατότητες.
Παράδειγμα 3
Πόσοι τρόποι μπορούν να διανεμηθούν τα τρία ολυμπιακά μετάλλια σε ένα διαγωνισμό ποδήλατο βουνού με πέντε ανταγωνιστές;
Η οργάνωση της διανομής μεταλλίων είναι μια εκδήλωση που μπορεί να πραγματοποιηθεί σε τρία στάδια. Το πρώτο βήμα είναι να αναλύσουμε τις συνολικές δυνατότητες του ποιος θα πάρει το χρυσό μετάλλιο, δηλαδή, πέντε δυνατότητες.
Το δεύτερο βήμα είναι να αναλύσουμε τις δυνατότητες του ποιος θα πάρει το ασημένιο μετάλλιο, δηλαδή, τέσσερα, αφού η πρώτη θέση δεν μπαίνει σε αυτήν την επιλογή. Το τρίτο βήμα είναι να αναλύσουμε τις συνολικές δυνατότητες του ποιος θα πάρει το χάλκινο μετάλλιο, δηλαδή, τρία, αφού έχουν ήδη επιλεγεί τα δύο πρώτα.
1ο βήμα → πέντε δυνατότητες
2ο στάδιο → τέσσερις δυνατότητες
3ο στάδιο → τρεις δυνατότητες
Έτσι, από τη θεμελιώδη αρχή της μέτρησης, έχουμε:
5 · 4 · 3
60 δυνατότητες
Δείτε επίσης: Αρχή μέτρησης πρόσθετων - ένωση ενός ή περισσότερων συνόλων
Παραγοντικό
Ο παραγοντικό είναι ένας τρόπος αποσυνθέστε έναν φυσικό αριθμό. Για να υπολογίσετε το παραγοντικό ενός αριθμού, απλώς πολλαπλασιάστε τον με όλους τους προκατόχους του έως τον αριθμό 1. Το παραγοντικό αντιπροσωπεύεται από το θαυμαστικό - "!".
Δείτε μερικά παραδείγματα για τον τρόπο υπολογισμού των παραγοντικών ορισμένων αριθμών.
Ο) 2! (διαβάζει: δύο παραγοντικά)
Για τον υπολογισμό, πολλαπλασιάστε τον αριθμό που συνοδεύει το παραγοντικό από όλους τους προκατόχους του έως τον αριθμό 1, όπως αυτό:
2! = 2 ·1 = 2
ΣΙ) 4! = 4 · 3 · 2 ·1 = 24
ντο) 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120
ρε) 1! = 1
Επισήμως μπορούμε να γράψουμε το παραγοντικό ως εξής:
Σκεφτείτε έναν φυσικό αριθμό n> 2. Το παραγοντικό του n υποδεικνύεται από το n! και δίνεται πολλαπλασιάζοντας το n με όλους τους θετικούς ακέραιους προκατόχους του.
όχι! = n (n - 1) · (n - 2) · (n - 3) ·… · 1
Σημειώστε τα ακόλουθα παραγοντικά:
4! και 5!
Τώρα πραγματοποιήστε την ανάπτυξη και των δύο:
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1
4! = 4 · 3 · 2 ·1
Σημειώστε ότι στην ανάπτυξη του 5! φαίνεται η ανάπτυξη του 4!. Έτσι μπορούμε να γράψουμε το 5! έτσι:
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1
5! = 5 · 4!
Παράδειγμα 4
Υπολογίστε το παραγοντικό δευτερόλεπτοουρλιάζω:
Δείτε τα 15! αναπτύχθηκε μέχρι τις 13!. Σημειώστε επίσης ότι, στον αριθμητή του κλάσματος, τα στοιχεία πολλαπλασιάζονται, ώστε να μπορούμε να «κόψουμε» το 13!, με αποτέλεσμα μόνο 15,14.
Παρατήρηση:0! = 1
Τύποι ομαδοποίησης
Μερικά προβλήματα μέτρησης είναι πιο περίπλοκα και επιλύονται πιο εύκολα με νέα εργαλεία. Αυτά τα εργαλεία ονομάζονται ομαδοποίηση επειδή ομαδοποιούν στοιχεία με διαφορετικούς τρόπους, διευκολύνοντας τη διαδικασία μέτρησης. Αυτές οι ομαδοποιήσεις είναι: απλή διάταξη, παραλλαγή και απλός συνδυασμός.
απλή ρύθμιση
Εξετάστε ένα σετ με n ξεχωριστά στοιχεία. ας το καλέσουμε συμφωνία από n τα στοιχεία που λαμβάνονται από p σε p, οποιαδήποτε ακολουθία ταξινομημένη με p, και τα διακριτά στοιχεία που επιλέγονται μεταξύ των στοιχείων.
Έτσι, ο αριθμός των υποομάδων που σχηματίζονται από στοιχεία p θα είναι η διάταξη των στοιχείων που λαμβάνονται από το p στο p. Ο τύπος που μας επιτρέπει να υπολογίσουμε τον αριθμό των ρυθμίσεων δίνεται από:
Παράδειγμα 5
Υπολογίστε την τιμή του Α4,2 + Α5,2.
Για να υπολογίσουμε την τιμή της έκφρασης, ας προσδιορίσουμε καθεμία από τις συστοιχίες και μετά προσθέτουμε αυτές τις τιμές μαζί. Για να προσδιορίσουμε την τιμή κάθε πίνακα, πρέπει να αντικαταστήσουμε τις τιμές στον τύπο.
Σημειώστε ότι n = 4 και p = 2, και τα δύο έχουν αντικατασταθεί στον τύπο. Τώρα, πρέπει να υπολογίσουμε την τιμή του πίνακα πέντε στοιχείων που λαμβάνονται δύο με δύο.
Έτσι, πρέπει:
Ο4,2 + Α5,2
12 + 20
32
Παράδειγμα 6
Πόσοι ξεχωριστοί τετραψήφιοι φυσικοί αριθμοί μπορούν να σχηματιστούν χρησιμοποιώντας τους αριθμούς 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 και 9;
Σε αυτό το πρόβλημα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την απλή διάταξη, από 2435 ≠ 4235. Θα δούμε ότι, σε ορισμένες περιπτώσεις, η σειρά των στοιχείων δεν τα διαφοροποιεί, και έτσι δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη διάταξη.
Εφόσον θέλουμε να προσδιορίσουμε το σύνολο των αριθμών που μπορούν να σχηματιστούν, παρατηρήστε ότι το σύνολο των στοιχείων είναι ίσο με οκτώκαι θέλουμε να τα ομαδοποιήσουμε τέσσερα με τέσσερα, έτσι:
απλή παραλλαγή
Εξετάστε ένα σύνολο με στοιχεία n. ας το καλέσουμε απλή παραλλαγή των στοιχείων n κάθε διάταξη των n στοιχείων που λαμβάνονται n σε n. Πρέπει λοιπόν:
Για να μην υπάρχει σύγχυση μεταξύ των εννοιών, ας υποδηλώσουμε την απλή μετάθεση των n στοιχείων από τον Pόχι. Πρέπει λοιπόν:
Πόχι = ν!
Παράδειγμα 7
Υπολογίστε το P7 και π3.
Για να υπολογίσουμε αυτές τις παραλλαγές, πρέπει να αντικαταστήσουμε τις τιμές στον τύπο. Κοίτα:
Π7 = 7 · 6 · 5· 4 · 3 · 2 · 1
Π7 = 5040
Π3 = 3 · 2 · 1
Π3 = 6
Παράδειγμα 8
Προσδιορίστε πόσα αναγράμματα μπορεί να υπάρχουν στη λέξη Βραζιλία.
Κατανοούμε ως αναγράμματα όλες τις πιθανές μεταθέσεις των γραμμάτων της λέξης, για παράδειγμα, το "Lisarb" είναι ένα ανάγραμμα της λέξης Βραζιλία. Για να προσδιορίσουμε τον αριθμό των αναγραμμάτων, πρέπει να υπολογίσουμε τη σύνθεση των γραμμάτων στη λέξη, οπότε πρέπει:
Π6 = 6!
Π6 = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
Π6 = 720
Επομένως, η λέξη Βραζιλία έχει 720 αναγράμματα.
Επίσης πρόσβαση: Παραλλαγή με επαναλαμβανόμενα στοιχεία
απλός συνδυασμός
Εξετάστε το σετ Α με n διακριτά στοιχεία. ας το καλέσουμε συνδυασμός των n στοιχείων που λαμβάνονται p έως p οποιοδήποτε υποσύνολο του Α σχηματίζεται από στοιχεία p. Ο τύπος για τον υπολογισμό του συνδυασμού δίνεται από:
Παράδειγμα 9
Υπολογίστε τον συνδυασμό 10 στοιχείων που λαμβάνονται από τέσσερα έως τέσσερα.
Παράδειγμα 10
Πόσα τετράπλευρα διακριτό μπορούμε να σχηματίσουμε με κορυφές στα σημεία A, B, C, D, E και F;
Σημειώστε ότι το τετράπλευρο ABCD είναι το ίδιο με το τετράπλευρο CDBA σε αυτό το πλαίσιο, επομένως πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τον συνδυασμό και όχι πίνακες. Έχουμε συνολικά έξι πόντους και θέλουμε να τους συνδυάσουμε τέσσερις με τέσσερις, ως εξής:
Επομένως, μπορούμε να σχηματίσουμε 15 διαφορετικά τετράπλευρα.
Συνδυαστική ανάλυση και πιθανότητα
Η μελέτη του η πιθανότητα σχετίζεται στενά με τη μελέτη της συνδυαστικής ανάλυσης.. Σε ορισμένα προβλήματα πιθανότητας, είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί ο χώρος του δείγματος, ο οποίος αποτελείται από ένα σύνολο που σχηματίζεται από όλα τα πιθανά αποτελέσματα ενός δεδομένου συμβάντος.
Σε ορισμένες περιπτώσεις, ο χώρος δειγματοληψίας E γράφεται πολύ άμεσα, όπως στο flip ενός δίκαιου νομίσματος, όπου τα πιθανά αποτελέσματα είναι κεφαλές ή ουρές και δηλώνονται ως εξής:
E = {κεφαλές, ουρές}
Τώρα φανταστείτε την ακόλουθη κατάσταση: μια μήτρα ρίχνεται τρεις συνεχόμενες φορές και μας ενδιαφέρει να προσδιορίσουμε το χώρο δείγματος για αυτό το πείραμα. Σημειώστε ότι η καταγραφή όλων των δυνατοτήτων δεν είναι πλέον απλή εργασία, πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τη θεμελιώδη αρχή της μέτρησης (PFC). Η εκδήλωση μπορεί να πραγματοποιηθεί σε τρία στάδια, σε καθένα από αυτά έχουμε έξι δυνατότητες, αφού ένας κύβος έχει έξι πρόσωπα, όπως αυτό:
1ο στάδιο → έξι δυνατότητες
2ο στάδιο → έξι δυνατότητες
3ο στάδιο → έξι δυνατότητες
Από το PFC, έχουμε ότι το σύνολο των δυνατοτήτων είναι:
6 · 6 · 6
216
Μπορούμε λοιπόν να πούμε ότι ο χώρος δειγματοληψίας αυτής της εκδήλωσης είναι 216.
Δείτε ότι για τη μελέτη πιθανότητας είναι Μια βασική γνώση της συνδυαστικής ανάλυσης είναι απαραίτητη., επειδή, χωρίς να προσδιοριστεί ο χώρος δειγματοληψίας ενός πειράματος, είναι αδύνατο να επιλυθεί η συντριπτική πλειονότητα των ασκήσεων πιθανότητας. Για περισσότερες πληροφορίες σχετικά με αυτό το πεδίο των μαθηματικών, διαβάστε το κείμενο:Πιθανότητα.
λύσεις ασκήσεις
ερώτηση 1 - Προσδιορίστε τον αριθμό των αναγραμμάτων της λέξης κάστρο. Στη συνέχεια, προσδιορίστε τον αριθμό των αναγραμμάτων που ξεκινούν με το γράμμα c.
Ανάλυση
Για να προσδιορίσουμε τον αριθμό των αναγραμμάτων, πρέπει να υπολογίσουμε τη σύνθεση του αριθμού των γραμμάτων, όπως αυτό:
Π7 = 7!
Π7 = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
Π7 = 5040
Η λέξη έχει 5040 αναγράμματα. Τώρα, για να προσδιορίσουμε τον αριθμό των αναγραμμάτων που ξεκινούν με το γράμμα c, πρέπει να διορθώσουμε το γράμμα και να υπολογίσουμε το γράφημα των άλλων, δείτε:
ΝΤΟ__ __ __ __ __ __
Όταν διορθώνουμε το γράμμα c, σημειώστε ότι απομένουν έξι πεδία για τον υπολογισμό της παραλλαγής, όπως αυτό:
Π6 = 6!
Π6 = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
Π6 = 720
Έχουμε λοιπόν 720 αναγράμματα της λέξης κάστρο που ξεκινούν με το γράμμα γ.
Ερώτηση 2 - Σε μια τάξη, υπάρχουν πέντε άνδρες και επτά γυναίκες. Πόσες ομάδες τριών ανδρών και τεσσάρων γυναικών μπορούν να σχηματιστούν;
Ανάλυση
Πρώτον, δείτε ότι η σειρά με την οποία επιλέγουμε άτομα δεν έχει σημασία, για παράδειγμα η ομάδα που σχηματίστηκε από τον João, Ο Μάρκος και ο Χοσέ είναι το ίδιο συγκρότημα που σχηματίζουν οι Μάρκος, ο Γιόο και ο Χοσέ, επομένως, πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τον συνδυασμό για υπολογισμός.
Ας υπολογίσουμε χωριστά τον αριθμό των ομάδων που μπορούν να σχηματιστούν από άνδρες και γυναίκες και σε Τότε ας πολλαπλασιάσουμε αυτά τα αποτελέσματα, γιατί κάθε ομάδα ανδρών μπορεί να αναμειχθεί με κάθε ομάδα γυναίκες.
Οι άνδρες
Σύνολο → 5
Ποσότητα σε ομάδα → 3
γυναίκες
Σύνολο → 7
Ποσότητα σε ομάδα → 4
Επομένως, ο συνολικός αριθμός ομάδων που μπορούν να σχηματιστούν από τρεις άνδρες και τέσσερις γυναίκες είναι:
ΝΤΟ5,3 · ΝΤΟ7,4
10 · 35
350
από τον Robson Luiz
Καθηγητής μαθηματικών
Πηγή: Σχολείο της Βραζιλίας - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/analise-combinatoria.htm