Ο Διάγραμμα του βενν, επίσης γνωστό ως διάγραμμα Venn-Euler, είναι τρόπος γραφήματος ενός συνόλου, για αυτό χρησιμοποιούμε μια κλειστή γραμμή που δεν έχει αυτο-διασταύρωση και αντιπροσωπεύουμε τα στοιχεία του σετ μέσα σε αυτήν τη γραμμή. Η ιδέα του διαγράμματος είναι να διευκολύνει την κατανόηση στο βασικές λειτουργίες σετ, όπως: σχέση ένταξης και συμμετοχής, ένωση και διασταύρωση, διαφορά και συμπληρωματικό σύνολο.
Διαβάστε επίσης: Λειτουργίες μεταξύ ακέραιων: γνωρίστε τις ιδιότητες
Παραστάσεις διαγράμματος Venn
Όπως φαίνεται, το διάγραμμα Venn αποτελείται από μια κλειστή (μη διασυνδεδεμένη) γραμμή στην οποία «τοποθετούμε» τα στοιχεία του εν λόγω σετ, έτσι μπορούμε αντιπροσωπεύουν ένα ή περισσότερα σύνολα ΤΑΥΤΟΧΡΟΝΑ. Δείτε τα παραδείγματα:
• Μονό σετ
Μπορούμε να σας εκπροσωπήσουμε χρησιμοποιώντας μια κλειστή γραμμή, για παράδειγμα, ας αντιπροσωπεύσουμε το σύνολο A = {1, 3, 5, 7, 9}:
• Μεταξύ δύο σετ
Πρέπει να φτιάξουμε δύο γραφήματα όπως αυτό για την αναπαράσταση του ενιαίου συνόλου. Ωστόσο, από τις λειτουργίες με σύνολα γνωρίζουμε ότι: με δύο σύνολα, μπορεί ή όχι να τέμνονται. Εάν τα δύο σύνολα δεν τέμνονται, ονομάζονται
διαχωριστικά σύνολα.Παράδειγμα 1
Σχεδιάστε, χρησιμοποιώντας το διάγραμμα Venn, τα σύνολα A = {a, b, c, d, e, f} και B = {d, e f, g, h, i}.
Σημειώστε ότι η τομή είναι το τμήμα του διαγράμματος που ανήκει στα δύο σύνολα, όπως ακριβώς στον ορισμό.
A ∩ B = {d, e, f}
Παράδειγμα 2
Σχεδιάστε τα σύνολα C = {a, b, c, d} και D = {e, f, g, h}.
Σημειώστε ότι η τομή αυτών των συνόλων είναι κενή, καθώς δεν έχει κανένα στοιχείο που να ανήκει ταυτόχρονα και στα δύο, δηλαδή:
Γ ∩ Δ = {}
• Μεταξύ τριών σετ
Η ιδέα πίσω από την αναπαράσταση χρησιμοποιώντας το διάγραμμα Venn για τρία σύνολα είναι παρόμοια με την αναπαράσταση μεταξύ δύο σετ. Υπό αυτήν την έννοια, τα σύνολα μπορούν να χωρίζονται ένα προς ένα, δηλαδή δεν έχουν τομή. ή μπορεί να είναι δύο προς δύο χωριστά, δηλαδή μόνο δύο από αυτά τέμνονται. ή όλα τέμνονται.
Παράδειγμα
Αναπαράσταση, χρησιμοποιώντας το διάγραμμα Venn, των συνόλων A = {a, b, c, d}, B = {d, e, f, g} και C = {d, e, c, h}.
Δείτε επίσης: Σημαντικές συνόψεις
σχέση μέλους
Η σχέση μέλους μας επιτρέπει να πούμε αν ένα στοιχείο ανήκει ή όχι σε ένα συγκεκριμένο σύνολο. Για αυτό, χρησιμοποιούμε τα σύμβολα:
Εξετάστε το σύνολο A = {a, b, c, d}. Αναλύοντας το, το συνειδητοποιούμε αυτό σολ, για παράδειγμα, δεν ανήκει σε αυτόν, έτσι στο διάγραμμα Venn, έχουμε:
Σχέση ένταξης
Η σχέση ένταξης μας επιτρέπει να πούμε εάν ένα σετ περιέχεται σε άλλο σετ ή όχι. Όταν ένα σετ περιέχεται σε άλλο, λέμε ότι είναι ένα υποσύνολο. Για αυτό χρησιμοποιούμε τα σύμβολα:
Ένα παράδειγμα αυτού είναι η σχέση μεταξύ του συνόλου φυσικοί αριθμοί και σύνολο ολόκληροι αριθμοί. Γνωρίζουμε ότι το σύνολο των φυσικών αριθμών είναι ένα υποσύνολο του συνόλου ακέραιων αριθμών, δηλαδή, το σύνολο των φυσικών περιέχει το σύνολο των ακέραιων αριθμών.
Λειτουργίες μεταξύ συνόλων
Οι βασικές λειτουργίες μεταξύ δύο ή περισσότερων συνόλων είναι: ενότητα, σημείο τομής και διαφορά μεταξύ δύο σετ.
• Ένωση
Η ένωση μεταξύ δύο συνόλων σχηματίζεται συνδέοντας τα στοιχεία που περιέχονται σε κάθε σύνολο, με άλλα λόγια: λαμβάνονται υπόψη όλα τα στοιχεία των δύο συνόλων. Κοίτα:
Εξετάστε τα σύνολα A = {1, 2, 3, 4} και B = {3, 4, 5, 6, 7}. Η ένωση μεταξύ τους δίνεται από:
A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Στο διάγραμμα Venn, σκιάσαμε το τμήμα ένωσης, δηλαδή, και τα δύο σύνολα, ελέγξτε:
• Σημείο τομής
Η διασταύρωση είναι ένα νέο αριθμητικό σύνολο που σχηματίζεται από στοιχεία που ανήκουν ταυτόχρονα σε άλλα σύνολα. Σε γενικές γραμμές, η τομή μεταξύ των συνόλων στο διάγραμμα Venn δίνεται από το κοινό μέρος των σχετικών γραφημάτων. Κοίτα:
Λαμβάνοντας υπόψη και πάλι τα σύνολα A = {1, 2, 3, 4} και B = {3, 4, 5, 6, 7}, έχουμε ότι τα στοιχεία που ανήκουν στο σύνολο Α και στο σύνολο Β, ταυτόχρονα, είναι :
A ∩ B = {3,4}
• Διαφορά μεταξύ δύο σετ
Εξετάστε τα δύο σύνολα C και D, η διαφορά μεταξύ τους (C - D) θα είναι ένα νέο σετ που σχηματίζεται από στοιχεία που ανήκουν στο C και δεν ανήκουν στο D. Σε γενικές γραμμές, μπορούμε να αντιπροσωπεύσουμε αυτήν τη διαφορά, χρησιμοποιώντας το διάγραμμα Venn, ως εξής:
λύσεις ασκήσεις
ερώτηση 1 - (Ufal) Στην ακόλουθη εικόνα, απεικονίστηκαν τα σύνολα Α, Β και Γ που δεν αποσυνδέονται. Η έγχρωμη περιοχή αντιπροσωπεύει το σετ:
α) C - (A ∩ B)
β) (A ∩ B) - Γ
γ) (A U B) - Γ
δ) A U B U C
ε) Α ∩ Β ∩ Γ
Λύση
Εναλλακτική β.
Θυμόμαστε τις λειτουργίες με σύνολα, γνωρίζουμε ότι η διασταύρωση μεταξύ δύο συνόλων στο διάγραμμα Venn δίνεται από το κοινό μέρος σε αυτά. Λαμβάνοντας υπόψη τα σύνολα A, B και C και χρωματίζοντας τη διασταύρωση A ∩ B, έχουμε:
Τίτλος: Ερώτηση λύσης 1 - μέρος 1
Σημειώστε ότι εάν αφαιρέσουμε τα στοιχεία από το σύνολο C, λαμβάνουμε το χρωματιστό μέρος που ζητά η άσκηση, δηλαδή, πρέπει πρώτα να επισημάνουμε τη διασταύρωση και στη συνέχεια να αφαιρέσουμε τα στοιχεία από το C.
(A ∩ B) - Γ
Ερώτηση 2 - (Uerj) Τα παιδιά σε ένα σχολείο συμμετείχαν σε μια εκστρατεία εμβολιασμού κατά της βρεφικής παράλυσης και της ιλαράς. Μετά την εκστρατεία, διαπιστώθηκε ότι το 80% των παιδιών έλαβαν το εμβόλιο παράλυσης, το 90% έλαβε το εμβόλιο κατά της ιλαράς και το 5% δεν έλαβε κανένα.
Προσδιορίστε το ποσοστό των παιδιών σε αυτό το σχολείο που έλαβαν και τα δύο εμβόλια.
Λύση
Καθώς το ποσοστό των παιδιών που έλαβαν και τα δύο εμβόλια είναι άγνωστο, ας το ονομάσουμε αρχικά x. Θυμηθείτε ότι δεν πρέπει να λειτουργούμε με το σύμβολο%, αλλά γράψτε τα ποσοστά άσκησης με δεκαδική ή κλασματική μορφή.
80 % → 0,8
90% → 0,9
5% → 0,05
100% → 1
Για να μάθουμε τον συνολικό αριθμό παιδιών που έλαβαν μόνο το εμβόλιο παράλυσης, αφαιρέσαμε το επαληθευμένο ποσοστό (80%) του ποσοστού εκείνων που έλαβαν και τα δύο (x), και το ίδιο πρέπει να γίνει για παιδιά που έλαβαν μόνο το εμβόλιο κατά του ιλαρά. Ετσι:
Συμμετοχή σε όλα τα παιδιά, το ποσοστό θα είναι 100%, επομένως:
0,9 - x + x + 0,8 - x + 0,05 = 1
1,75 - x = 1
- x = 1 - 1,75
(–1) · - x = - 0,75 · (–1)
x = 0,75
x = 75%
Ως εκ τούτου, το 75% των παιδιών στο σχολείο είχαν και τα δύο εμβόλια.
Από τον L.do Robson Luiz
Καθηγητής μαθηματικών
Πηγή: Σχολείο της Βραζιλίας - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/diagrama-de-venn.htm
