την κατανόηση του σκηνικά είναι η κύρια βάση για τη μελέτη του άλγεβρα και έννοιες μεγάλης σημασίας στα Μαθηματικά, όπως λειτουργίες και ανισότητες. Η σημειογραφία που χρησιμοποιούμε για σύνολα είναι πάντα ένα κεφαλαίο γράμμα από το αλφάβητό μας (π.χ. σετ Α ή σετ Β).
Όσον αφορά το αναπαράσταση συνόλων, μπορεί να γίνει από διάγραμμα του βενν, απλώς περιγράφοντας τα χαρακτηριστικά των στοιχείων του, απαριθμώντας τα στοιχεία ή περιγράφοντας τις ιδιότητές τους. Όταν εργάζεστε με προβλήματα που περιλαμβάνουν σύνολα, υπάρχουν καταστάσεις που απαιτούν την απόδοση του λειτουργίες μεταξύ σετ, είναι η ένωση, η διασταύρωση και η διαφορά. Θα μελετήσουμε όλα αυτά λεπτομερώς;
Δείτε επίσης: Αριθμητικές εκφράσεις - μάθετε να τις λύνετε!
Σημείωση και αναπαράσταση συνόλων
Για αναπαράσταση ενός συνόλου, χρησιμοποιούμε πάντα ένα κεφαλαίο γράμμα του αλφαβήτου, και τα στοιχεία είναι πάντα μεταξύ κλειδιά και διαχωρίζονται με κόμμα. Για να αντιπροσωπεύσουμε το σύνολο ζυγών αριθμών μεγαλύτερο από 1 και μικρότερο από 20, για παράδειγμα, χρησιμοποιούμε την ακόλουθη σημείωση: P = {2,4,6,8,10,12,14,16,18}.
Μορφές αναπαράστασης συνόλων
αναπαράσταση με απαρίθμηση: μπορούμε να απαριθμήσουμε τα στοιχεία του, δηλαδή να δημιουργήσουμε μια λίστα, πάντα ανάμεσα σε τιράντες. Δείτε ένα παράδειγμα:
Α = {1,5,9,12,14,20}
περιγράφοντας τα χαρακτηριστικά: μπορούμε απλά να περιγράψουμε το χαρακτηριστικό του σετ. Για παράδειγμα, ας είναι το X ένα σύνολο, έχουμε το X = {x είναι ένας θετικός αριθμός πολλαπλάσιος των 5}. Y: είναι το σύνολο των μηνών του έτους.
Διάγραμμα του βενν: Τα σύνολα μπορούν επίσης να αναπαρασταθούν με τη μορφή διαγράμματος, γνωστή ως διάγραμμα του βενν, η οποία είναι μια πιο αποτελεσματική αναπαράσταση για την εκτέλεση λειτουργιών.
Παράδειγμα:
Δεδομένου του συνόλου A = {1,2,3,4,5}, μπορούμε να το αντιπροσωπεύσουμε στο ακόλουθο διάγραμμα Venn:
Στοιχεία ενός συνόλου και σχέσης μέλους
Λαμβάνοντας υπόψη οποιοδήποτε στοιχείο, μπορούμε να πούμε ότι το στοιχείο ανήκει στο σετ ή δεν ανήκει σε αυτό το σετ. Για να αντιπροσωπεύσουμε αυτήν τη σχέση μέλους πιο γρήγορα, χρησιμοποιούμε τα σύμβολα
(διαβάζεται ως ανήκει) και ∉ (διαβάζεται ως ανήκει). Για παράδειγμα, ας είναι το P του συνόλου αριθμοί ζευγών, μπορούμε να πούμε ότι το 7 ∉ P και το 12 Π.
Ισότητα συνόλων
Η σύγκριση μεταξύ συνόλων είναι αναπόφευκτη, οπότε μπορούμε να πούμε ότι δύο σύνολα είναι ίσα ή όχι, ελέγχοντας κάθε ένα από τα στοιχεία του. Ας το A = {0,1,3,4,8} και το B = {8,4,3,1,0}, ακόμη και αν τα στοιχεία είναι σε διαφορετική σειρά, μπορούμε να πούμε ότι τα σύνολα A και B είναι ίδια: Α = Β.
Σχέση ένταξης
Κατά τη σύγκριση δύο συνόλων, μπορούμε να συναντήσουμε πολλές σχέσεις, και ένα από αυτά είναι η σχέση ένταξης. Για αυτήν τη σχέση, πρέπει να γνωρίζουμε μερικά σύμβολα:
⊃ → περιέχει ⊂→ περιέχεται
⊅ → δεν περιέχει ⊄→δεν περιέχεται
Συμβουλή: Η ανοιχτή πλευρά του συμβόλου θα βλέπει πάντα το μεγαλύτερο σετ. |
Όταν όλα τα στοιχεία ενός συνόλου Α ανήκουν επίσης σε ένα σύνολο Β, λέμε ότι το Α ⊂ B ή ότι το A περιέχεται στο B. Για παράδειγμα, A = {1,2,3} και B = {1,2,3,4,5,6}. Είναι επίσης δυνατό να εκτελέσετε την αναπαράσταση από διάγραμμα του βενν, θα μοιάζει με αυτό:
Το A περιέχεται στο B:
Α ⊂ Β
Υποσύνολα
Όταν ένα σχέση ένταξης, δηλαδή, το σετ Α περιέχεται στο σύνολο Β, μπορούμε να πούμε ότι το Α είναι υποσύνολο του Β. Το υποσύνολο παραμένει ένα σύνολο, και a Το σετ μπορεί να έχει πολλά υποσύνολα, χτισμένο από τα στοιχεία που του ανήκουν.
Για παράδειγμα: A: {1,2,3,4,5,6,7,8} έχει ως υποσύνολα τα σύνολα B: {1,2,3}; Γ: {1,3,5,7}; D: {1} και ακόμη και το σύνολο A {1,2,3,4,5,6,7,8}, δηλαδή, το Α είναι ένα υποσύνολο του.
ενιαίο σύνολο
Όπως ήδη υποδηλώνει το όνομα, αυτό είναι αυτό έχει μόνο ένα στοιχείο, όπως το σετ D: {1} εμφανίζεται νωρίτερα. Δεδομένου του συνόλου B: {1,2,3}, έχουμε τα υποσύνολα {1}, {2} και {3}, τα οποία είναι όλα σύνολα μονάδων.
ΠΡΟΣΟΧΗ: Το σύνολο E: {0} είναι επίσης ένα ενιαίο σύνολο, καθώς έχει ένα μόνο στοιχείο, "0" και δεν είναι ένα κενό σύνολο.
Διαβάστε επίσης: Σύνολο ακέραιων στοιχείων και στοιχείων
άδειο σετ
Με ένα ακόμη πιο προκλητικό όνομα, το κενό σύνολο δεν έχει στοιχεία και είναι ένα υποσύνολο οποιουδήποτε συνόλου. Για να αντιπροσωπεύσετε το κενό σύνολο, υπάρχουν δύο πιθανές παραστάσεις, είναι V: {} ή το σύμβολο Ø.
Σετ ανταλλακτικών
Γνωρίζουμε ως σύνολα μερών όλα τα πιθανά υποσύνολα ενός δεδομένου συνόλου. Ας το Α: {1,2,3,4}, μπορούμε να παραθέσουμε όλα τα υποσύνολα αυτού του συνόλου Α ξεκινώντας από τα σύνολα που δεν έχουν στοιχεία (άδειο) και μετά εκείνα που έχουν ένα, δύο, τρία και τέσσερα στοιχεία, αντίστοιχα.
άδειο σετ: { };
Σετ μονάδων: {1}; {2};{3}; {4}.
Σετ με δύο στοιχεία: {1,2}; {1,3}; {1,4}; {2,3}; {2,4}; {3,4}.
σύνολα με τρία στοιχεία: {1,2,3}; {1,3,4}; {1,2,4}; {2,3,4}.
Σετ με τέσσερα στοιχεία: {1,2,3,4}.
Επομένως, μπορούμε να περιγράψουμε το σύνολο των μερών του Α με αυτόν τον τρόπο:
P: {{}, {1}, {2}, {3}, {4}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4 }, {3,4}, {1,2,3}, {1,3,4}, {1,2,4}, {2,3,4}, {1,2,3,4}}
Για να μάθουμε πόσα μέρη είναι δυνατόν να διαιρέσουμε ένα σύνολο, χρησιμοποιούμε τον τύπο:
n [P (A)] = 2όχι
Ο αριθμός των μερών του Α υπολογίζεται με το a δραστικότητα η βάση 2 ανυψώθηκε σε όχι, σε τι όχι είναι ο αριθμός των στοιχείων στο σύνολο.
Εξετάστε το σετ Α: {1,2,3,4}, το οποίο έχει τέσσερα στοιχεία. Το σύνολο των πιθανών υποομάδων αυτού του συνόλου είναι 24 =16.
Διαβάστε επίσης: Ποιο είναι το σύνολο των παράλογων αριθμών;
Πεπερασμένο και άπειρο σετ
Όταν δουλεύουμε με σετ, βρίσκουμε σετ που είναι περιορισμένη (πεπερασμένη) και αυτοί που είναι απεριόριστο (άπειρο). Το σύνολο των ζυγός ή μονός αριθμός, για παράδειγμα, είναι άπειρο και, για να το αναπαραστήσουμε, περιγράφουμε μερικά από τα στοιχεία του στη σειρά, έτσι ώστε να μπορούμε να προβλέψουμε ποια θα είναι τα επόμενα στοιχεία και θα βάλουμε ελλείψεις στο Τελικός.
I: {1,3,5,7,9,11 ...}
Ρ: {2,4,6,8,10, ...}
Σε ένα πεπερασμένο σύνολο, ωστόσο, δεν βάζουμε τις ελλείψεις στο τέλος, καθώς έχει μια καθορισμένη αρχή και τέλος.
Α: {1,2,3,4}.
σύνολο σύμπαντος
Ο σύνολο σύμπαντος, συμβολίζεται με Ε, ορίζεται ως το σύνολο που σχηματίζεται από όλα τα στοιχεία που πρέπει να ληφθούν υπόψη σε ένα πρόβλημα. Κάθε στοιχείο ανήκει στο σύνολο του σύμπαντος και κάθε σύνολο περιέχεται στο σύνολο του σύμπαντος.
Λειτουργίες με σετ
Οι λειτουργίες με σύνολα είναι: ένωση, διασταύρωση και διαφορά.
Διατομή σετ
Μια διασταύρωση συμβαίνει όταν τα στοιχεία ανήκουν ταυτόχρονα σε ένα ή περισσότερα σύνολα. Όταν γράφουμε A∩B, ψάχνουμε για στοιχεία που ανήκουν τόσο στο σύνολο A όσο και στο σύνολο B.
Παράδειγμα:
Εξετάστε το A = {1,2,3,4,5,6} και το B = {2,4,6,7,8}, τα στοιχεία που ανήκουν τόσο στο σύνολο Α όσο και στο σύνολο Β είναι:, 4,6}. Η αναπαράσταση αυτής της λειτουργίας γίνεται ως εξής:
Α∩Β
Όταν τα σύνολα δεν έχουν κοινά στοιχεία, είναι γνωστά ως διαχωριστικά σύνολα.
A∩B = Ø
διαφορά μεταξύ των σετ
υπολογίστε το διαφορά μεταξύ δύο σετ είναι να αναζητήσετε στοιχεία που ανήκουν μόνο σε ένα από τα δύο σύνολα. Για παράδειγμα, το Α - Β έχει ως απάντηση ένα σύνολο που αποτελείται από στοιχεία που ανήκουν στο σύνολο Α και δεν ανήκουν στο σύνολο Β.
Παράδειγμα: Α: {1,2,3,4,5,6} και Β: {2,4,6,7,8}. Σημειώστε ότι A ∩ B = {2,4,6}, οπότε έχουμε αυτό:
α) Α - Β = {1,3,5}
β) Β - Α = {7,8}
Ενότητα
Η ένωση δύο ή περισσότερων συνόλων είναι το εγγραφείτε στους όρους σας. Εάν υπάρχουν στοιχεία που επαναλαμβάνονται και στα δύο σύνολα, γράφονται μόνο μία φορά. Για παράδειγμα: A = {1,2,3,4,5} και B = {4,5,6,7,10,14}. Για να αντιπροσωπεύσουμε το συνδικάτο, χρησιμοποιούμε το σύμβολο (διαβάζει: Ένωση με Β).
A U B = {1,2,3,4,5,6,7,10,14}
Για να μάθετε περισσότερα σχετικά με αυτές τις λειτουργίες και να δείτε αρκετές λύσεις, διαβάστε: Λειτουργίες με σετ.
Οι νόμοι του Μόργκαν
Αφήστε τα A και B να είναι δύο σύνολα και ας U είναι το σύμπαν σύνολο, υπάρχουν δύο ιδιότητες που δίνονται από τους νόμους του Morgan, δηλαδή:
(Α U Β)ντο = Αντο ∩Βντο
(Α ∩ Β)ντο = Αντο U Βντο
Παράδειγμα:
Λαμβάνοντας υπόψη τα σύνολα:
U: {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}
Α: {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}
Β: {5.10,15,20}
Ας το ελέγξουμε (A U B)ντο = Αντο ∩Βντο. Έτσι, πρέπει:
A U B = {2,4,5,6,8,10,12,14,15,16,18,20}
Επομένως, (A U B)ντο={1,3,7,9,11,13,17,19}
Για να ελέγξουμε την αλήθεια της ισότητας, ας αναλύσουμε τη λειτουργία Αντο ∩Βντο:
Οντο:{1,3,5,7,9,11,13,15,17,19}
σιντο:{1,2,3,4,6,7,8,9,11,12,13,14,16,17,18,19}
Επειτα, Οντο ∩Βντο ={1,3,7,9,11,13,15,17,19}.
(Α U Β)ντο = Αντο ∩Βντο
λύσεις ασκήσεις
01) Εξετάστε το U: {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, A: {1,2,3,4,5,6} και B: {4,5,6, 7,8,9}. Δείξτε ότι (A ∩ B)ντο = Αντο U Βντο.
Ανάλυση:
1ο βήμα: εύρεση (A ∩ B)ντο. Για αυτό, έχουμε αυτό A ∩ B = {4,5,6}, έτσι (A ∩ B)ντο ={1,2,3,7,8,9,10}.
2ο βήμα: βρες έναντο U Βντο. Οντο: {7,8,9,10} και Βντο: {1,2,3,10}, οπότε Αντο U Βντο = {1,2,3,7,8,9,19}.
Αποδεικνύεται ότι (A ∩ B)ντο = Αντο U Βντο.
02) Γνωρίζοντας ότι το Α είναι το σύνολο των ζυγών αριθμών από το 1 έως το 20, ποιος είναι ο συνολικός αριθμός υποομάδων που μπορούμε να δημιουργήσουμε από τα στοιχεία αυτού του συνόλου;
Ανάλυση:
Ας είναι το P που περιγράφεται, έχουμε αυτό το P: {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}. Επομένως, ο αριθμός των στοιχείων του P είναι 10.
Με το σύνολο των θεωρητικών μερών, ο αριθμός πιθανών υποομάδων του P είναι:
210=1024
Του Raul Rodrigues de Oliveira
Καθηγητής μαθηματικών
