αριμητική εξέλιξη είναι μια αριθμητική ακολουθία στην οποία προκύπτει πάντα η διαφορά μεταξύ ενός όρου και του προκατόχου του την ίδια τιμή, που ονομάζεται λόγος. Για παράδειγμα, εξετάστε την ακόλουθη ακολουθία:
(2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20...)
Ας δούμε τι συμβαίνει στην αφαίρεση οποιουδήποτε όρου από τους προκατόχους του:
20 – 18 = 2
18 – 16 = 2
16 – 14 = 2
14 – 12 = 2
.
.
.
4 – 2 = 2
Μπορούμε τότε να πούμε ότι το λόγος (r) αυτής της ακολουθίας αριθμών είναι 2. Εξετάστε την ακόλουθη αριθμητική ακολουθία:
(Ο1, ένα2, ένα3, ένα4, …, Ον-1, έναόχι,...)
Αυτή η αριθμητική ακολουθία μπορεί να ταξινομηθεί ως α Αριθμητική Πρόοδος (AP) αν για οποιοδήποτε στοιχείο της ακολουθίας διατηρεί:
οόχι = τον-1 + r, είναι αυτό ρ και το λόγος του PA
Μια αριθμητική εξέλιξη μπορεί να ταξινομηθεί ως:
Αύξουσα PA
Ένα PA ονομάζεται ανερχόμενο εάν κάθε όρος στην ακολουθία είναι μεγαλύτερος από τον προηγούμενο όρο. Αυτό συμβαίνει πάντα όταν το ο λόγος είναι μεγαλύτερος από το μηδέν. Παραδείγματα:
(1, 2, 3, 4, 5, 6,…) → r = 1
(-20, -10, 0, 10, 20, 30, ...) → r = 10
Σταθερό PA
Ένα PA θεωρείται σταθερό εάν κάθε όρος στην ακολουθία είναι ίσος με τον προηγούμενο ή τον επόμενο όρο. Αυτό συμβαίνει πάντα όταν το η αναλογία ισούται με μηδέν. Παραδείγματα:
(1, 1, 1, 1, 1, 1,…) → r = 0
(30, 30, 30, 30, 30, 30, ...) → r = 0
Φθίνουσα PA
Λέμε ότι ένα PA μειώνεται εάν κάθε όρος στη σειρά είναι μικρότερος από τον προηγούμενο όρο. Αυτό συμβαίνει πάντα όταν το η αναλογία είναι μικρότερη από το μηδέν. Παραδείγματα:
(-5, -6, -7, -8, -9, -10, -11,…) → r = -1
(15, 10, 5, 0, -5, -10, ...) → r = -5
Λαμβάνοντας υπόψη οποιαδήποτε αριθμητική εξέλιξη, γνωρίζοντας τον πρώτο όρο της ακολουθίας και τον λόγο για την εξέλιξη, καταφέραμε να εντοπίσουμε οποιοδήποτε άλλο στοιχείο αυτού του BP. Σημειώστε ότι ένας όρος που αφαιρείται από τον προκάτοχό του οδηγεί πάντα σε λογικό. Σε ένα PA, μπορούμε να γράψουμε όχιισοτιμίες που ακολουθούν αυτό το μοτίβο, το οποίο επιτρέπει τη συναρμολόγηση ενός συστήματος εξισώσεων. Προσθήκη του (ν - 1) εξισώσεις δίπλα-δίπλα, θα έχουμε:
ο2 – ο1 = r
ο3 - ένα2 = r
ο4 - ένα3 = r
ο5 - ένα4 = r
.
.
.
οόχι - έναν-1 = r
οόχι - ένα1 = (n - 1) .r
οόχι = το1 + (n - 1) .r
Αυτός ο τύπος ονομάζεται Γενική διάρκεια ενός ΠΠ και μέσω αυτού μπορούμε να εντοπίσουμε οποιονδήποτε όρο αριθμητικής προόδου.
Εάν θέλουμε να προσδιορίσουμε το Άθροισμα των όρων ενός πεπερασμένου PA, μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι, σε οποιαδήποτε πεπερασμένη αριθμητική εξέλιξη, το άθροισμα του πρώτου και του τελευταίου όρου ισούται με το άθροισμα του δεύτερου όρου και του προτελευταίου όρου, και ούτω καθεξής. Ας δούμε ένα σχήμα παρακάτω για να δείξουμε αυτό το γεγονός. μικρόόχιαντιπροσωπεύει το άθροισμα των όρων.
μικρόόχι = το1 + το2 + το3 +… + Τον-2 + τον-1 + τοόχι,
ο1 + τοόχι= το2 + τον-1 = το3 + τον-2
Κατά την προσθήκη κάθε ζεύγους όρων, βρίσκουμε πάντα την ίδια τιμή. Μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η τιμή του μικρόόχι Θα είναι το προϊόν αυτού του αθροίσματος με τον αριθμό των στοιχείων που έχει το PA, διαιρούμενο με δύο, καθώς προσθέτουμε τα στοιχεία "δύο με δύο". Έχουμε λοιπόν τον ακόλουθο τύπο:
μικρόόχι = (Ο1 + τοόχι). ν
2
Από την Amanda Gonçalves
Αποφοίτησε στα Μαθηματικά
Πηγή: Σχολείο της Βραζιλίας - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-progressao-aritmetica.htm
