Οι τριγωνομετρικές εξισώσεις είναι ισότητες που περιλαμβάνουν τριγωνομετρικές συναρτήσεις άγνωστων τόξων. Η επίλυση αυτών των εξισώσεων είναι μια μοναδική διαδικασία που χρησιμοποιεί τεχνικές μείωσης σε απλούστερες εξισώσεις. Ας καλύψουμε τις έννοιες και τους ορισμούς των εξισώσεων στη μορφή cosx = α.
Οι τριγωνομετρικές εξισώσεις με τη μορφή cosx = α έχουν λύσεις στο διάστημα –1 ≤ x ≤ 1. Ο προσδιορισμός των τιμών του x που ικανοποιούν αυτόν τον τύπο εξίσωσης θα ακολουθήσει την ακόλουθη ιδιότητα: Εάν δύο τόξα έχουν ίσα συνημίτονα, τότε είναι ταυτόχρονα ή συμπληρωματικά..
Αφήστε το x = α να είναι μια λύση της εξίσωσης cos x = α. Οι άλλες πιθανές λύσεις είναι τα τόξα που αντιστοιχούν στο τόξο α ή στο τόξο - α (ή στο τόξο 2π - α). Έτσι: cos x = cos α. Σημειώστε την αναπαράσταση στον τριγωνομετρικό κύκλο:
Καταλήξαμε ότι:
x = α + 2kπ, με k Є Z ή x = - α + 2kπ, με k Є Z
Παράδειγμα 1
Λύστε την εξίσωση: cos x = √2 / 2.
Από τον πίνακα των τριγωνομετρικών αναλογιών, το que2 / 2 αντιστοιχεί σε γωνία 45º. Επειτα:
cos x = √2 / 2 → cos x = π / 4 (π / 4 = 180º / 4 = 45º)
Έτσι, η εξίσωση cosx = √2 / 2 έχει ως λύση όλα τα τόξα που αντιστοιχούν στο τόξο π / 4 ή –π / 4 ή ακόμα και 2π - π / 4 = 7π / 4. Σημειώστε την εικόνα:
Καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι οι πιθανές λύσεις της εξίσωσης cos x = √2 / 2 είναι:
x = π / 4 + 2kπ, με k Є Z ή x = - π / 4 + 2kπ, με k Є Z
Παράδειγμα 2
Λύστε την εξίσωση: cos 3x = cos x
Όταν τα τόξα 3x και x είναι συμβατά:
3x = x + 2kπ
3x - x = 2kπ
2x = 2kπ
x = kπ
Όταν τα τόξα 3x και x είναι συμπληρωματικά:
3x = –x + 2kπ
3x + x = 2kπ
4x = 2kπ
x = 2kπ / 4
x = kπ / 2
Η λύση της εξίσωσης cos 3x = cos x είναι {x Є R / x = kπ ή x = kπ / 2, με k Є Z}.
από τον Mark Noah
Αποφοίτησε στα Μαθηματικά
Πηγή: Σχολείο της Βραζιλίας - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacoes-tipo-cos-x-a.htm