Εσείς παραλληλόγραμμα είναι πολύγωνα επιπεδομετρία διερευνήθηκε ευρέως ως κοινές γεωμετρικές μορφές στην καθημερινή μας ζωή. Ορίζουμε ένα παραλληλόγραμμο ως πολύγωνο που έχει αντίθετες πλευρές παράλληλα, ένα χαρακτηριστικό που οδηγεί σε αποκλειστικές ιδιότητες.
Οι συγκεκριμένες περιπτώσεις παραλληλογράφων είναι οι τετράγωνα, ορθογώνια και διαμάντια. Για καθένα από αυτά τα πολύγωνα, υπάρχουν συγκεκριμένοι τύποι για τον υπολογισμό της περιοχής και της περιμέτρου.
Διαβάστε επίσης: Κύκλος και περιφέρεια - γεωμετρικά σχήματα με πολλά χαρακτηριστικά
Στοιχεία ενός παραλληλόγραμμου
Για να είναι παραλληλόγραμμο, το πολύγωνο πρέπει να έχει παράλληλες αντίθετες πλευρές. Ως συγκεκριμένα χαρακτηριστικά, πρέπει:
Κάθε παραλληλόγραμμο αποτελείται από τέσσερις πλευρές και οι αντίθετες πλευρές είναι παράλληλες.
Κάθε παραλληλόγραμμο έχει τέσσερις εσωτερικές γωνίες, και το άθροισμα αυτών των γωνιών είναι πάντα ίσο με 360º.
Κάθε παραλληλόγραμμο έχει δύο διαγώνιες.
Θυμηθείτε ότι τα παραλληλόγραμμα είναι συγκεκριμένες περιπτώσεις τετράπλευρα, έτσι υπάρχουν χαρακτηριστικά που κληρονομούνται από αυτά τα γεωμετρικά σχήματα, όπως η ύπαρξη δύο διαγώνων, τέσσερις πλευρές και τέσσερις γωνίες, καθώς και το άθροισμα των εσωτερικών και εξωτερικών γωνιών είναι πάντα ίσο με 360º.
Μην σταματάς τώρα... Υπάρχουν περισσότερα μετά τη διαφήμιση;)
Ιδιότητες ενός παραλληλόγραμμου
1ο ακίνητο: Οι απέναντι πλευρές ενός παραλληλόγραμμου είναι σύμφωνες, δηλαδή έχουν το ίδιο μέτρο.
2ο ακίνητο: Οι αντίθετες γωνίες ενός παραλληλόγραμμου είναι σύμφωνες, και δύο διαδοχικές γωνίες είναι πάντα συμπληρωματικές (το άθροισμα ισούται με 180 °).
Γνωρίζοντας ότι τα AB και CD είναι παράλληλα, τότε οι πλευρές BC και AD είναι εγκάρσιες σε AB και CD. κατά συνέπεια, το γωνίες σχηματισμένα (w και x) είναι συμπληρωματικά καθώς είναι εσωτερικές γωνίες ασφάλειας. Επιπλέον, είναι δυνατόν να αποδειχθεί ότι οι γωνίες x και z είναι σύμφωνες.
- 3η ιδιοκτησία: Οι διαγώνιες ενός παραλληλόγραμμου κόβονται στα μισά.
Όταν σχεδιάζουμε τις δύο διαγώνιες ενός παραλληλόγραμμου, το σημείο συνάντησής τους χωρίζει το καθένα στα μεσαία σημεία του.
ΠΜ = CM
ΒΜ = DM
Δείτε επίσης: Σημείο, γραμμή, επίπεδο και διάστημα: Βασικές έννοιες της γεωμετρίας
Περιοχή παραλληλόγραμμου
Η περιοχή ενός παραλληλόγραμμου, γενικά, υπολογίζεται από το προϊόν της βάσης και του ύψους. Υπάρχουν συγκεκριμένες περιπτώσεις (ορθογώνια, διαμάντια και τετράγωνα) που έχουν συγκεκριμένους τύπους - θα παρουσιαστούν σε ολόκληρο το κείμενο - αλλά προκύπτουν από τη γενική μορφή.
Α = β. ω
β: βάση
h: ύψος
Περίμετρος ενός παραλληλόγραμμου
Ο περίμετρος δίνεται από άθροισμα από όλες τις πλευρές. Καθώς το παραλληλόγραμμο έχει γενικά δύο ίσες πλευρές, η περίμετρος του μπορεί να προσδιοριστεί από:
Π = 2 (α + β)
Ειδικές περιπτώσεις παραλληλογράφων
Όπως γνωρίζουμε, εξ ορισμού, για να είναι παραλληλόγραμμο, το πολύγωνο πρέπει να έχει παράλληλες πλευρές. Υπάρχουν τρία τετράπλευρα που αντιμετωπίζονται ως ιδιαίτερες περιπτώσεις του παραλληλόγραμμου: το ορθογώνιο, το διαμάντι και το τετράγωνο.
τετράγωνο
καλούμε τετράγωνο ένα τετράπλευρο πολύγωνο που έχει τέσσερις πλευρές και τέσσερις συνεπείς γωνίες - κάθε γωνία είναι ακριβώς 90 μοίρες. Δεδομένου ότι το τετράγωνο είναι παραλληλόγραμμο, όλες οι ιδιότητες ισχύουν για το τετράγωνο.
Το εμβαδόν ενός τετραγώνου και η περίμετρος του υπολογίζονται παρόμοια με αυτό που γίνεται με ένα παραλληλόγραμμο, αλλά επειδή όλες οι πλευρές της πλατείας είναι ίσες, μπορούμε να αντιπροσωπεύσουμε την περιοχή και την περίμετρο του τετραγώνου ως εξής:
Α = l²
Ρ = 4.1
Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο
Ο ορθογώνιο παραλληλόγραμμο είναι ένα παραλληλόγραμμο που έχει όλες τις συγγενείς γωνίες. Παίρνει αυτό το όνομα γιατί όλες οι γωνίες σας είναι ευθείες, δηλαδή, οι τέσσερις γωνίες έχουν μέγεθος 90º. Η ορθογώνια περιοχή είναι ίδια με την περιοχή του παραλληλόγραμμου, αλλά μπορούμε να αντιμετωπίσουμε την κατακόρυφη πλευρά ως το ύψος, τελικά, είναι κάθετη προς τη βάση.
Α =α.β
Ρ = 2 (α + β)
Διαμάντι
Ο διαμάντι είναι ένα παραλληλόγραμμο που έχει όλες τις πλευρές του σύμφωνες. Σημειώστε ότι δεν υπάρχει περιορισμός στις γωνίες, μπορεί να είναι διαφορετικοί ή όχι. Διαφορετικά από τα προηγούμενα παραδείγματα, το ο υπολογισμός της περιοχής ενός διαμαντιού βασίζεται στις διαγώνιες του. Υπάρχει επίσης μια πολύ σημαντική σχέση μεταξύ των διαγώνιων του διαμαντιού και της πλευράς του.
D: μεγαλύτερη διαγώνια
δ: μικρή διαγώνια
l: πλευρά
Λαμβάνοντας υπόψη οποιοδήποτε διαμάντι, γνωρίζουμε ότι οι διαγώνιες τέμνονται στο μεσαίο σημείο, σχηματίζοντας τέσσερα δεξιά τρίγωνα. Αναλύοντας ένα από αυτά τα τρίγωνα, είναι δυνατό να δείτε ένα Πυθαγόρεια σχέση μεταξύ της πλευράς και του μισού καθενός από τις διαγώνιες.
Επίσης πρόσβαση: μήκος περιφέρειας και περιοχή κύκλου
Σχέση μεταξύ παραλληλόγραμμων
Είναι σημαντικό να κατανοήσετε τον ορισμό του παραλληλογράμματος έτσι ώστε να μην υπάρχει επιπλοκή κατά την ταξινόμηση. Είναι πάντα καλό να θυμόμαστε ότι κάθε παραλληλόγραμμο είναι τετράπλευρο, αλλά Δεν είναι κάθε τετράπλευρο παραλληλόγραμμο.
Μπορούμε επίσης να δηλώσουμε ότι κάθε ορθογώνιο, κάθε τετράγωνο και κάθε ρόμβος είναι παραλληλόγραμμα. Επιπλέον, συγκρίνοντας τις ειδικές περιπτώσεις παραλληλόγραμμων, μπορούμε να δούμε μια άλλη σχέση, επειδή το τετράγωνο έχει ομοιόμορφες γωνίες, που είναι ο ορισμός του ορθογωνίου, και επίσης οι αντίστοιχες πλευρές, που είναι ο ορισμός του διαμάντι. Κατά συνέπεια, μπορούμε να το πούμε αυτό κάθε τετράγωνο είναι ένα ορθογώνιο και επίσης ένα διαμάντι.
λύσεις ασκήσεις
Ερώτηση 1 - Γνωρίζοντας ότι το παρακάτω σχήμα είναι ένα παραλληλόγραμμο, ποια θα είναι η τιμή των x, y και z αντίστοιχα;
α) 40,140 και 180
β) 30, 100 και 100
γ) 25, 140 και 95
δ) 30, 90 και 145
ε) 45, 55 και 220
Ανάλυση
1ο βήμα: Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα παραλληλογράμματος, γνωρίζουμε ότι οι αντίθετες γωνίες είναι ίσες. Κατά την ανάλυση της εικόνας, είναι πιο βολικό να χρησιμοποιείτε αυτήν την ιδιότητα σε γωνίες κορυφών B και D, καθώς έχουν το ίδιο άγνωστο.
2ο βήμα: Γνωρίζοντας ότι οι διαδοχικές γωνίες είναι συμπληρωματικές και ότι x = 25, είναι δυνατόν να βρεθεί η τιμή του y.
3ο βήμα: Δεδομένου ότι οι γωνίες των κορυφών C και A είναι αντίθετες, είναι σύμφωνες, έτσι μπορούμε να βρούμε την τιμή του z.
Εναλλακτική Γ.
Ερώτηση 2 - Υπολογίστε την περιοχή του παραλληλόγραμμου (πλευρές μετρημένες σε εκατοστά) παρακάτω.
α) 16 cm²
β) 32 cm²
γ) 8 cm²
δ) 64 cm²
ε) 40 cm²
Ανάλυση
Για να βρείτε την περιοχή του παραλληλόγραμμου, είναι πρώτα απαραίτητο να βρείτε την τιμή του h. Σημειώστε ότι το τρίγωνο AEB είναι ορθογώνιο ορθογώνιο ίσο με 5, έτσι μπορούμε να εφαρμόσουμε το θεώρημα του Pythagoras για να βρούμε την τιμή του h.
Εναλλακτική Β.
Του Raul Rodrigues de Oliveira
Καθηγητής μαθηματικών
