Πολλαπλασιασμός μήτρας: τρόπος υπολογισμού, παραδείγματα

Ο Μπολλαπλασιασμός μήτρας γίνεται μέσω ενός αλγορίθμου που απαιτεί πολλή προσοχή. Για να υπάρχει το προϊόν μεταξύ της μήτρας Α και της μήτρας Β, είναι απαραίτητο ο αριθμός των στήλες δίνει πρώτα αρχηγείο, σε περίπτωση Α, ισούται με τον αριθμό γραμμές δίνει Δευτέρα αρχηγείο, στην περίπτωση Β.

Από τον πολλαπλασιασμό μεταξύ πινάκων, είναι δυνατόν να κατανοήσουμε τι είναι ο πίνακας ταυτότητας, που είναι ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού της μήτρας, και ποιος είναι ο αντίστροφος πίνακας του πίνακα M, που είναι ο πίνακας M^-1 του οποίου το προϊόν του M by M^-1 είναι ίσο με τον πίνακα ταυτότητας. Είναι επίσης δυνατό να πολλαπλασιαστεί ένας πίνακας με έναν πραγματικό αριθμό - σε αυτήν την περίπτωση, πολλαπλασιάζουμε κάθε έναν από τους όρους του αρχηγείο ανά αριθμό.

Διαβάστε επίσης: Τι είναι μια τριγωνική μήτρα;

κατάσταση ύπαρξης

Ο πολλαπλασιασμός μεταξύ πινάκων είναι μια διαδικασία που απαιτεί πολλή προσοχή.

Για να πολλαπλασιάσετε δύο πίνακες, πρώτα πρέπει να ελέγξετε την κατάσταση ύπαρξης. Για να υπάρχει το προϊόν,

ο αριθμός των στηλών στον πρώτο πίνακα πρέπει να είναι ίσος με τον αριθμό των γραμμών στη δεύτερη μήτρα. Επιπλέον, το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού είναι ένας πίνακας που έχει τον ίδιο αριθμό σειρών με τον πρώτο πίνακα και τον ίδιο αριθμό στηλών με τον δεύτερο πίνακα.

Για παράδειγμα, το προϊόν ΑΒ μεταξύ των πινάκων Α_3x2 και Β_2x5 υπάρχει επειδή ο αριθμός των στηλών στο Α (2 στήλες) είναι ίσος με τον αριθμό των σειρών στο Β (2 σειρές) και το αποτέλεσμα είναι ο πίνακας AB_3x5. Ήδη προϊόν μεταξύ των πινάκων C_3x5 και πίνακας D_2x5 δεν υπάρχει, καθώς το C έχει 5 στήλες και το D έχει 3 σειρές.

Πώς να υπολογίσετε το προϊόν μεταξύ δύο πινάκων;

Για να εκτελέσετε πολλαπλασιασμό μήτρας, είναι απαραίτητο να ακολουθήσετε μερικά βήματα. Θα κάνουμε ένα παράδειγμα του πολλαπλασιασμού μιας αλγεβρικής μήτρας Α_2x3 από τον πίνακα Β_3x2

Γνωρίζουμε ότι το προϊόν υπάρχει, επειδή ο πίνακας Α έχει 3 στήλες και τον πίνακα Β, 3 σειρές. Θα ονομάσουμε C το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού A · B. Επιπλέον, γνωρίζουμε επίσης ότι το αποτέλεσμα είναι ένας πίνακας C._2x2, επειδή ο πίνακας Α έχει 2 σειρές και τον πίνακα Β, 2 στήλες.

Για τον υπολογισμό του προϊόντος της μήτρας Α_2x3 και μήτρα Β_3Χ2, ας ακολουθήσουμε μερικά βήματα.

Πρώτα θα βρούμε καθέναν από τους όρους του πίνακα C_2x2:

Για να βρείτε τους όρους, ας να συσχετίζετε πάντα τις σειρές του πίνακα A με τις στήλες του πίνακα B:

ντο₁₁ → 1η γραμμή Α και 1η στήλη Β
ντο₁₂ → 1η γραμμή Α και 2η στήλη Β
ντο₂₁ → 2η γραμμή Α και 1η στήλη Β
ντο₂₂ → 2η γραμμή Α και 2η στήλη Β

Υπολογίζουμε κάθε έναν από τους όρους πολλαπλασιάζοντας τους όρους στη σειρά του Α και τους όρους στη στήλη Β. Τώρα πρέπει να προσθέσουμε αυτά τα προϊόντα, ξεκινώντας από ντο_11:

1η γραμμή Α
1η στήλη Β

ντο₁₁ = ο₁₁·ΣΙ₁₁ + ο₁₂·ΣΙ₂₁+ ο₁₃·ΣΙ₃₁

υπολογιστικός ντο₁₂:

1η γραμμή Α
2η στήλη Β

ντο₁₂ = ο₁₁·ΣΙ₁₂ + ο₁₂·ΣΙ₂₂+ο₁₃·ΣΙ₃₂

υπολογιστικός ντο₂₁:

2η γραμμή Α
1η στήλη Β

ντο₂₁ = ο₂₁·ΣΙ₁₁ + ο₂₂·ΣΙ₂₁+ο₂₃·ΣΙ₃₁

τον υπολογισμό του όρου ντο₂₂:

2η γραμμή Α
2η στήλη Β

ντο₂₂ = ο₂₁·ΣΙ₁₂ + ο₂₂·ΣΙ₂₂+ο₂₃·ΣΙ₃₂

Έτσι, ο πίνακας C σχηματίζεται από τους όρους:

Παράδειγμα:

Ας υπολογίσουμε τον πολλαπλασιασμό μεταξύ των πινάκων A και B.

Το γνωρίζουμε αυτό στο Α_2x2 και Β_2x3, ο αριθμός των στηλών στην πρώτη είναι ίσος με τον αριθμό των γραμμών στη δεύτερη, επομένως το προϊόν υπάρχει. Έτσι θα φτιάξουμε C = A · B και ξέρουμε ότι C_2x3.

Πολλαπλασιάζοντας, πρέπει:

Δείτε επίσης: Τι είναι η μήτρα που έχει μεταφερθεί;

μήτρα ταυτότητας

Σε πολλαπλασιασμό μεταξύ πινάκων, υπάρχουν μερικές ειδικές περιπτώσεις, όπως ο πίνακας ταυτότητας, που είναι το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού μεταξύ των πινάκων.. Ο πίνακας ταυτότητας είναι ένας τετραγωνικός πίνακας, δηλαδή ο αριθμός των γραμμών είναι πάντα ίσος με τον αριθμό των στηλών. Επιπλέον, μόνο οι όροι της διαγώνιας είναι ίσοι με 1 σε αυτό, και οι άλλοι όροι είναι όλοι ίσοι με μηδέν. Όταν πολλαπλασιάζουμε έναν πίνακα M με τον πίνακα ταυτότητας I_όχι, Πρεπει να:

Μ · εγώ_όχι = Μ

Πίνακες ταυτότητας από τη σειρά 2 έως τη σειρά 5

Παράδειγμα:

Τι είναι η αντίστροφη μήτρα;

Δεδομένου ενός πίνακα M, το γνωρίζουμε ως αντίστροφο πίνακα του M. η μήτρα Μ^-1του οποίου το προϊόν M · M^-1 ισούται à μήτρα ταυτότητας I_όχι. Για να έχει μια μήτρα ένα αντίστροφο, πρέπει να είναι τετράγωνο και καθοριστικός πρέπει να είναι διαφορετικό από το 0. Ας δούμε παραδείγματα πινάκων που είναι αντίστροφα:

Υπολογίζοντας το προϊόν A · B, πρέπει:

Σημειώστε ότι το προϊόν μεταξύ της μήτρας Ι και του παραγόμενου Β₂. Όταν συμβαίνει αυτό, λέμε ότι το Β είναι ο αντίστροφος πίνακας του Α. Για να μάθετε περισσότερα σχετικά με αυτόν τον τύπο μήτρας, διαβάστε: Αντίστροφη μήτρα.

Πολλαπλασιασμός μήτρας με πραγματικό αριθμό

Σε αντίθεση με τον πολλαπλασιασμό μεταξύ πινάκων, υπάρχει επίσης πολλαπλασιασμός μήτρας κατά έναν πραγματικός αριθμός, η οποία είναι μια πολύ απλούστερη λειτουργία για την εύρεση της λύσης.

Δεδομένου ενός πίνακα M, πολλαπλασιάζοντας τον πίνακα με έναν πραγματικό αριθμό κ είναι ίσο με τον πίνακα κΜ. Για να βρείτε αυτόν τον πίνακα κΜ, αρκετά πολλαπλασιάστε όλους τους όρους στη μήτρα με τη σταθερά κ.

Παράδειγμα:

αν κ = 5 και λαμβάνοντας υπόψη τον πίνακα M παρακάτω, βρείτε τον πίνακα 5M.

Πολλαπλασιασμός:

Οι ασκήσεις λύθηκαν

Ερώτηση 1 - (Unitau) Δεδομένα πίνακες Α και Β,

η τιμή του στοιχείου γ₁₁ του πίνακα C = AB είναι:

Α) 10.

Β) 28.

Γ) 38.

Δ) 18.

Ε) 8.

Ανάλυση

Εναλλακτική Α.

Πώς θέλουμε τον όρο γ₁₁, ας πολλαπλασιάσουμε τους όρους στην πρώτη σειρά και το Α με τους όρους στην πρώτη στήλη του B.

υπολογισμός γ₁₁ = 1 · 3 + 2 · 2 + 3 · 1 = 3 + 4 + 3 = 10

Ερώτηση 2 - (Enem 2012) Ένας μαθητής κατέγραψε τους διμηνιαίους βαθμούς ορισμένων από τα θέματα του σε έναν πίνακα. Σημείωσε ότι οι αριθμητικές καταχωρήσεις στον πίνακα δημιούργησαν έναν πίνακα 4 × 4 και ότι μπορούσε να υπολογίσει τους ετήσιους μέσους όρους για αυτούς τους κλάδους χρησιμοποιώντας το προϊόν των πινάκων. Όλες οι δοκιμές είχαν το ίδιο βάρος και ο πίνακας που πήρε φαίνεται παρακάτω.

Για να αποκτήσει αυτούς τους μέσους όρους, πολλαπλασίασε τον πίνακα που αποκτήθηκε από τον πίνακα με τον πίνακα:

Ανάλυση

Εναλλακτική Ε.

Ο μέσος όρος δεν είναι τίποτα περισσότερο από το άθροισμα των στοιχείων διαιρούμενο με τον αριθμό των στοιχείων. Σημειώστε ότι υπάρχουν 4 σημειώσεις ανά γραμμή, οπότε ο μέσος όρος θα είναι το άθροισμα αυτών των σημειώσεων διαιρούμενο με 4. Η διαίρεση με το 4 είναι η ίδια με τον πολλαπλασιασμό με κλάσμα ¼. Επίσης, ο πίνακας των βαθμών είναι ένας πίνακας 4x4, οπότε πρέπει να πολλαπλασιάσουμε με έναν πίνακα 4x1, δηλαδή έχει 4 σειρές και 1 στήλη, για να βρούμε τη μήτρα που έχει τον μέσο όρο των βαθμών.

Από τον Raul Rodrigues de Oliveira
Καθηγητής μαθηματικών

Πηγή: Σχολείο της Βραζιλίας - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/multiplicacao-matrizes.htm