Άθροισμα όρων αριθμητικής εξέλιξης

Ενας αριθμητική εξέλιξη (PA) είναι ένα αλληλουχία αριθμητικός στον οποίο κάθε όρος είναι το άθροισμα του προηγούμενου με μια σταθερά, που ονομάζεται λόγος. Υπάρχουν μαθηματικές εκφράσεις για τον προσδιορισμό του όρου ενός PA και τον υπολογισμό του αθροίσματος του όχι πρώτοι όροι.

Ο τύπος που χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό του άθροισμα όρων ενός πεπερασμένου PA ή το άθροισμα του όχι οι πρώτοι όροι μιας PA έχουν ως εξής:

μικρό_όχι = στο₁ + το_όχι)
2

* n είναι ο αριθμός των όρων BP. ο₁ είναι ο πρώτος όρος, και το_όχι είναι το τελευταίο.

Προέλευση του αθροίσματος των όρων της PA

Λέγεται ότι ο Γερμανός μαθηματικός Carl Friederich Gauss, σε ηλικία περίπου 10 ετών, τιμωρήθηκε με την τάξη του στο σχολείο. Ο δάσκαλος είπε στους μαθητές να προσθέσουν όλους τους αριθμούς που εμφανίζονται στο αλληλουχία από 1 έως 100.

Ο Gauss δεν ήταν μόνο ο πρώτος που τερμάτισε σε πολύ σύντομο χρονικό διάστημα, ήταν επίσης ο μόνος που πήρε το αποτέλεσμα σωστά (5050). Επιπλέον, δεν έδειξε υπολογισμούς. Αυτό που έκανε ήταν να επισκευάσει την ακόλουθη ιδιότητα:

Το άθροισμα δύο όρων σε απόσταση από τα άκρα ενός πεπερασμένου PA είναι ίσο με το άθροισμα των άκρων.

Δεν υπήρχε καμία γνώση ΤΗΓΑΝΙ τότε, αλλά ο Gauss είδε τη λίστα των αριθμών και συνειδητοποίησε ότι η προσθήκη του πρώτου στο τελευταίο θα είχε ως αποτέλεσμα 101. προσθέτοντας το δεύτερο στο προτελευταίο, το αποτέλεσμα θα ήταν επίσης 101 και ούτω καθεξής. Ως άθροισμα όλων των ζευγών όρων αυτός που απέχει εξίσου από τα άκρα έφτασε στο 101, ο Gauss έπρεπε να πολλαπλασιάσει μόνο αυτόν τον αριθμό με τους μισούς διαθέσιμους όρους για να βρει το αποτέλεσμα 5050.

Σημειώστε ότι από τον αριθμό 1 έως τον αριθμό 100, υπάρχουν ακριβώς 100 αριθμοί. Ο Gauss συνειδητοποίησε ότι αν τους προσθέσει δύο με δύο, θα πάρει 50 αποτελέσματα ίσο με 101. Επομένως, αυτός ο πολλαπλασιασμός έγινε με τους μισούς από τους συνολικούς όρους.

Επίδειξη του συνόλου των όρων ενός PA

Αυτό το επίτευγμα προκάλεσε την έκφραση που χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό του άθροισμα όχι οι πρώτοι όροι της PA. Η τακτική που χρησιμοποιήθηκε για να φτάσει σε αυτήν την έκφραση έχει ως εξής:

δοθεί ένα ΤΗΓΑΝΙ οποιοδήποτε, θα προσθέσουμε τους πρώτους ν όρους του. Μαθηματικά, θα έχουμε:

μικρό_όχι = το₁ + το₂ + το₃ +… + Το_{n - 2} + το_{n - 1} + το_όχι

Ακριβώς κάτω από αυτό άθροισμα όρων, θα γράψουμε έναν άλλο, με τους ίδιους όρους με τον προηγούμενο, ωστόσο, με φθίνουσα έννοια. Σημειώστε ότι το άθροισμα των όρων στο πρώτο είναι το άθροισμα των όρων στο δεύτερο. Επομένως, και οι δύο εξισώθηκαν με το S_όχι.

μικρό_όχι = το₁ + το₂ + το₃ +… + Το_{n - 2} + το_{n - 1} + το_όχι

μικρό_όχι = το_όχι + το_{n - 1} + το_{n - 2} +… + Το₃ + το₂ + το₁

Σημειώστε ότι αυτές οι δύο εκφράσεις λήφθηκαν από ένα ΤΗΓΑΝΙ και ότι οι ισοδύναμοι όροι ευθυγραμμίζονται κάθετα. Επομένως, μπορούμε να προσθέσουμε τις εκφράσεις για να λάβουμε:

μικρό_όχι = το₁ + το₂ + το₃ +… + Το_{n - 2} + το_{n - 1} + το_όχι

+ μικρό_όχι = το_όχι + το_{n - 1} + το_{n - 2} +… + Το₃ + το₂ + το₁

2S_όχι = (το₁ + το_όχι) + (α₂ + το_{n - 1}) +… + (Α_{n - 1} + το₂) + (α_όχι + το₁)

Να θυμάστε ότι το άθροισμα των όρων που είναι ίσο με τα άκρα είναι ίσο με το άθροισμα των άκρων. Επομένως, κάθε παρένθεση μπορεί να αντικατασταθεί από το άθροισμα των άκρων, όπως θα κάνουμε στη συνέχεια:

2S_όχι = (το₁ + το_όχι) + (α₁ + το_όχι) +... + (το₁ + το_όχι) + (α₁ + το_όχι)

Η ιδέα του Gauss ήταν να προσθέσουμε τους ισοδύναμους όρους μιας ακολουθίας. Έλαβε λοιπόν το μισό από τους όρους ΤΗΓΑΝΙ στα αποτελέσματα 101. Το κάναμε έτσι ώστε κάθε όρος του αρχικού BP να προστίθεται στην ισοδύναμη τιμή του, διατηρώντας τον αριθμός όρων. Έτσι, καθώς το PA είχε n όρους, μπορούμε να αλλάξουμε το άθροισμα, στην παραπάνω έκφραση, με πολλαπλασιασμό και να λύσουμε το εξίσωση να βρω:

2S_όχι = (το₁ + το_όχι) + (α₁ + το_όχι) +... + (το₁ + το_όχι) + (α₁ + το_όχι)

2S_όχι = n (α₁ + το_όχι)

μικρό_όχι = στο₁ + το_όχι)
2

Αυτός είναι ακριβώς ο τύπος που χρησιμοποιείται για την προσθήκη του όχι οι πρώτοι όροι της PA.

Παράδειγμα

Δεδομένου του P.A (1, 2, 3, 4), προσδιορίστε το άθροισμα των πρώτων 100 όρων του.

Λύση:

Θα πρέπει να βρούμε τον όρο α₁₀₀. Για αυτό, θα χρησιμοποιήσουμε το γενικός τύπος τύπου ενός PA:

ο_όχι = το₁ + (n - 1) r

ο₁₀₀ = 1 + (100 – 1)1

ο₁₀₀ = 1 + 99

ο₁₀₀ = 100

Τώρα ο τύπος για το άθροισμα των πρώτων n όρων:

μικρό_όχι = στο₁ + το_όχι)
2

μικρό₁₀₀ = 100(1 + 100)
2

μικρό₁₀₀ = 100(101)
2

μικρό₁₀₀ = 10100
2

μικρό₁₀₀ = 5050

Του Luiz Paulo Moreira
Αποφοίτησε στα Μαθηματικά

Πηγή: Σχολείο της Βραζιλίας - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/soma-dos-termos-uma-progressao-aritmetica.htm