Ο οικονομικά μαθηματικά είναι ένας από τους τομείς των μαθηματικών που είναι υπεύθυνοι για τις σπουδές φαινόμενα που σχετίζονται με τον οικονομικό κόσμο. Επιπλέον, η μελέτη των εννοιών τους είναι πολύ σημαντική, καθώς, στην καθημερινή μας ζωή, όλο και περισσότερο περισσότερα δώρα, για παράδειγμα, όταν λαμβάνουμε έκπτωση όταν αγοράζουμε κάτι σε μετρητά ή επιπλέον όταν αγοράζουμε κάτι δόσεις.
Η μελέτη των οικονομικών μαθηματικών απαιτεί προηγούμενη γνώση του ποσοστό, θα δούμε ότι όλες οι έννοιες βασίζονται σε αυτό το θέμα.
Διαβάστε επίσης:Υπολογισμός ποσοστού με κανόνα τριών
Τι είναι τα οικονομικά μαθηματικά;
Τα οικονομικά μαθηματικά χρησιμοποιούνται καθημερινά, για παράδειγμα, όταν πρόκειται να πραγματοποιήσουμε μια αγορά μετρητών και ο πωλητής προσφέρει ένα έκπτωση 5% επί της αξίας του προϊόντος, ή όταν επιλέγουμε να αγοράσουμε ένα προϊόν σε δόσεις και, σε αυτήν τη διαδικασία, α επιτόκιο χρεώνεται στον αγοραστή με την πάροδο του χρόνου.
Καλείται ένα παράδειγμα της σημασίας της κατανόησης των εννοιών των οικονομικών μαθηματικών
όριο υπερανάληψης. Κατά το άνοιγμα ενός λογαριασμού σε μια συγκεκριμένη τράπεζα, για παράδειγμα, προσφέρονται "επιπλέον" χρήματα, για καταστάσεις έκτακτης ανάγκης. Ωστόσο, όταν χρησιμοποιείτε αυτό το όριο ή μέρος αυτού, χρεώνεται ένα τέλος που θα καταβληθεί αργότερα, επιπλέον των χρημάτων που έχουν ληφθεί. Αυτό το επιτόκιο ονομάζεται τόκος και με την καλύτερη κατανόηση αυτών των εννοιών, μπορούμε να σχεδιάσουμε μια καλύτερη στρατηγική για τη διαχείριση των οικονομικών μας.Παράδειγμα 1
Ένα άτομο χρειάζεται 100 reais για να ολοκληρώσει την πληρωμή των μηνιαίων λογαριασμών του, ωστόσο ολόκληρος ο μισθός του έχει ήδη δαπανηθεί στους άλλους λογαριασμούς. Στην ανάλυση, αυτό το άτομο διαπίστωσε ότι είχε δύο επιλογές.
Επιλογή 1 - Χρησιμοποιήστε το όριο υπερανάληψης που προσφέρεται από την τράπεζα, με συντελεστή 0,2% ανά ημέρα, για πληρωμή σε ένα μήνα.
Επιλογή 2 - Λάβετε τα 100 reais από έναν φίλο, με συντελεστή 2% ανά μήνα, που πληρώνεται για δύο μήνες.
Χρησιμοποιώντας μόνο το ποσοστό γνώσης, ας αναλύσουμε την καλύτερη επιλογή.
αναλύοντας το Επιλογή 1, Σημειώστε ότι το επιτόκιο 0,2% χρεώνεται ανά ημέρα, δηλαδή 0,2% του ποσού του δανείου προστίθεται κάθε μέρα, ως εξής:
Πώς πρέπει να πληρωθεί το δάνειο σε ένα μήνα και λαμβάνοντας υπόψη το μήνα με 30 μέρες, το ποσό των τόκων που πρέπει να καταβληθούν είναι:
0,2 ·30
6
Έτσι, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι το ποσό που πρέπει να καταβληθεί στο τέλος ενός μήνα είναι:
100 + 6= 106 reais
100 → Ποσό που δανείστηκε από την τράπεζα
6 → Ποσό τόκου
Τώρα αναλύοντας το επιλογή 2, το τέλος που χρεώνεται είναι 2% ανά μήνα και πρέπει να καταβάλλεται εντός δύο μηνών, δηλαδή, κάθε μήνα, το 2% του δανεισμένου ποσού προστίθεται στο χρέος, ως εξής:
Σημειώστε ότι πρέπει να προστεθούν 2 reais ανά μήνα στο ποσό του χρέους:
2 · 2 = 4
Επομένως, το ποσό που πρέπει να καταβληθεί στο τέλος της περιόδου είναι:
100+ 4 = 104 reais
100 → Ποσό που δανείστηκε ο φίλος
4 → Ποσό τόκου
Μπορούμε λοιπόν να συμπεράνουμε ότι η καλύτερη επιλογή είναι να πάρετε τα χρήματα με τον φίλο σας. Αυτό είναι ένα απλό και σημαντικό εφαρμογή των οικονομικών μαθηματικώνΦυσικά υπάρχουν πιο περίπλοκα προβλήματα, εργαλεία και έννοιες, αλλά όπως όλα τα άλλα στη ζωή, πριν κατανοήσουμε το περίπλοκο μέρος, είναι απαραίτητο να κατανοήσουμε τα βασικά.
Βασικά στοιχεία των Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών
Οι βασικές έννοιες των οικονομικών μαθηματικών περιλαμβάνουν προηγούμενη γνώση σχετικά με τα ποσοστά. Στη συνέχεια, θα δούμε έννοιες όπως προσθήκη, έκπτωση, απλό ενδιαφέρον και σύνθετο ενδιαφέρον.
πρόσθεση
Η ιδέα της προσθήκης σχετίζεται με προσθήκη ή προσθήκη μέρους της τιμής στην αρχική της τιμή, δηλαδή, προσθέτουμε ένα ποσοστό μιας συγκεκριμένης τιμής στον εαυτό του. Δείτε το παράδειγμα:
Παράδειγμα 2
Ένα προϊόν κοστίζει 35 reais, με την αύξηση του δολαρίου, αυξήθηκε κατά 30%. Προσδιορίστε τη νέα τιμή για αυτό το προϊόν.
Συχνά, όταν κάνουμε υπολογισμούς που σχετίζονται με την προσθήκη, εκτελούνται λανθασμένα γράφοντας:
35 + 30%
Το ποσοστό αντιπροσωπεύει μέρος του κάτι, οπότε για να είναι σωστός αυτός ο λογαριασμός, πρέπει πρώτα να υπολογίσουμε το 30% της αρχικής τιμής, στην περίπτωση αυτή 35. Ετσι:
35 + 30% από 35
Επιλύοντας πρώτα το ποσοστό και μετά προσθέτοντας τις τιμές μαζί, θα πρέπει:
Επομένως, με την προσθήκη, η τιμή του προϊόντος θα είναι 45,5 reais (σαράντα πέντε reais και πενήντα λεπτά).
Σε γενικές γραμμές, μπορούμε να συμπεράνουμε ένα τύπος για προσθήκη. Σκεφτείτε μια τιμή x και ότι αυξάνεται κατά p%. Σύμφωνα με αυτό που μόλις ορίσαμε, μπορούμε να γράψουμε αυτήν την προσθήκη ως εξής:
x + p% του x
Αναπτύσσοντας αυτήν την έκφραση, θα πρέπει:
Ας επαναλάβουμε το παράδειγμα 2 χρησιμοποιώντας τον παραπάνω τύπο. Σημειώστε ότι x = 35 και ότι η αύξηση ήταν 30%, δηλαδή, p = 30%.
35 · (1 + 0,01 · 30)
35 · (1 + 0,3)
35 · 1,3
45,5
Σημειώστε ότι αποκτήθηκε η ίδια τιμή και είναι μια επιλογή να χρησιμοποιήσετε έναν τέτοιο τύπο.
Δείτε επίσης: Αντιστρόφως ανάλογες ποσότητες
Εκπτωση
Η ιδέα της έκπτωσης είναι παρόμοια με την ιδέα της προσθήκης, η μόνη διαφορά είναι ότι αντί να προσθέσουμε, πρέπει αφαιρώ ένα ποσοστό της αρχικής τιμής.
Παράδειγμα 3 - Ένα προϊόν που κοστίζει 60 reais, όταν αγοράζεται σε μετρητά, έχει έκπτωση 30%. Προσδιορίστε τη νέα τιμή για αυτό το προϊόν.
Παρόμοια με την προσθήκη, θα πρέπει:
Ανάλογα με την προσθήκη, μπορούμε να συμπεράνουμε α τύπος έκπτωσης. Σκεφτείτε μια τιμή x και ότι έχει μια έκπτωση p%. Σύμφωνα με αυτό που ορίσαμε, μπορούμε να γράψουμε αυτήν την προσθήκη ως εξής:
x - p% του x
Αναπτύσσοντας αυτήν την έκφραση, θα πρέπει:
Ας επαναλάβουμε το παράδειγμα 3 χρησιμοποιώντας τον παραπάνω τύπο, σημειώστε ότι x = 60 και η αύξηση ήταν 30%, δηλαδή, p = 30%.
x · (1 - 0,01 p)
60 · (1 – 0,01 · 30)
60 · (1 – 0,3)
60 · 0,7
42
Δείτε ότι, χρησιμοποιώντας τον τύπο, έχουμε το ίδιο αποτέλεσμα, οπότε στην έκπτωση έχουμε επίσης δύο επιλογές για να το προσδιορίσουμε.
απλό ενδιαφέρον
Η ιδέα πίσω από το απλό ενδιαφέρον είναι επίσης παρόμοια με την ιδέα της προσθήκης, Η διαφορά μεταξύ τους δίνεται από την περίοδο κατά την οποία υπολογίζονται. Ενώ το επιτόκιο ισχύει μία φορά, το απλό επιτόκιο είναι υπολογίζεται σε χρονικό διάστημα. Μπορούμε να υπολογίσουμε τον απλό τόκο ενός δεδομένου κεφαλαίου C, που εφαρμόζεται με δεδομένο επιτόκιο σε ένα απλό καθεστώς τόκων (i), σε μια δεδομένη χρονική περίοδο t, από τύπος:
J = C · i · t
Το ποσό που καταβάλλεται στο τέλος αυτής της επένδυσης πρέπει να δοθεί από τα χρήματα που έχουν εφαρμοστεί συν το ποσό των τόκων και ονομάζεται ποσό (Μ). Το ποσό δίνεται από την έκφραση:
Μ = C + Ι
Μ = C + C · i · t
M = C (1 + αυτό)
Η μόνη ανησυχία που πρέπει να έχουμε σε σχέση με προβλήματα που αφορούν απλό ενδιαφέρον είναι με το ποσοστά και χρονικές μονάδες μέτρησης, πρέπει να είναι πάντα σε ίσες μονάδες.
Παράδειγμα 4
Η Marta θέλει να επενδύσει 6000 R $ σε μια εταιρεία που υπόσχεται να αποφέρει κέρδη 20% ετησίως σε ένα απλό καθεστώς επιτοκίου. Η σύμβαση της Marta αναφέρει ότι μπορεί να αποσύρει τα χρήματα μόνο μετά από έξι μήνες, να καθορίσει ποια ήταν η απόδοση των χρημάτων της στο τέλος αυτής της περιόδου.
Παρατηρώντας τη δήλωση, δείτε ότι το κεφάλαιο είναι ίσο με 6000, οπότε έχουμε C = 6000. Το επιτόκιο είναι 20% ετησίως και τα χρήματα θα επενδυθούν για έξι μήνες. Σημειώστε ότι το ποσοστό δόθηκε το έτος και ο χρόνος σε μήνες και γνωρίζουμε ότι η μονάδα μέτρησης και για τα δύο πρέπει να είναι η ίδια. Ας βρούμε το μηνιαίο τέλος, δείτε:
Γνωρίζουμε ότι το ποσοστό είναι 20% ετησίως, καθώς το έτος έχει 12 μήνες, οπότε το μηνιαίο επιτόκιο θα είναι:
20%: 12
1,66% ανά μήνα
0,016 ανά μήνα
Αντικαθιστώντας αυτά τα δεδομένα στον τύπο, πρέπει:
J = C · i · t
J = 6000 · 0,016 · 6
J = 96 · 6
J = 576 reais
Επομένως, το ποσό που θα αποσυρθεί στο τέλος των έξι μηνών είναι 576 reais και το ποσό είναι:
Μ = 6000 + 576
Μ = 6576 reais
Διαβάστε περισσότερα: Κατανόηση της χρήσης ενός ντοαριθμομηχανή φάχρηματοοικονομική
Ανατοκισμός
Με απλό επιτόκιο, η τιμή του επιτοκίου υπολογίζεται πάντα πάνω από το αρχικό κεφάλαιο, τη διαφορά μεταξύ Αυτά τα δύο συστήματα (απλό και σύνθετο ενδιαφέρον) βρίσκονται ακριβώς σε αυτό το σημείο, δηλαδή με τον τρόπο που είναι το ποσοστό υπολογίστηκε. Για σύνθετο ενδιαφέρον, το επιτόκιο υπολογίζεται πάντα πάνω από το κεφάλαιο του προηγούμενου μήνα, αυτό προκαλεί το ενδιαφέρον να αυξήσει την αξία του εκθετικά. Ο τύπος για τον υπολογισμό του τόκου στο σύστημα απόσβεσης σύνθετων τόκων δίνεται από:
Μ = C · (1 + i)τ
Σε τι Μ είναι το σωρευμένο ποσό, ΝΤΟ είναι η αξία του αρχικού κεφαλαίου, Εγώ είναι το επιτόκιο που δίνεται ως ποσοστό, και τ είναι η περίοδος κατά την οποία το κεφάλαιο επενδύθηκε στο σύστημα. Όπως με το απλό ενδιαφέρον, στο σύνθετο σύστημα επιτοκίου, το επιτόκιο και ο χρόνος πρέπει να είναι στην ίδια μονάδα.
Παράδειγμα 5
Υπολογίστε το ποσό του ποσού που θα εισπράττει η Μάρτα στο τέλος των έξι μηνών εφαρμόζοντας τα 6.000 reais της με επιτόκιο 20% ετησίως στο σύνθετο σύστημα επιτοκίων.
(Δεδομένα: 1.20,5 ≈ 1,095)
Σημειώστε ότι τα δεδομένα είναι τα ίδια με το παράδειγμα 4, οπότε πρέπει:
C = 6000
i = 0,2 p.a.
t = 0,5 έτη
Αντικαθιστώντας τα δεδομένα στον τύπο σύνθετου ενδιαφέροντος, πρέπει:
Μ = 6000 · (1 + 0,2)0,5
Μ = 6000 · (1.2)0,5
Μ = 6000 · 1.095
Μ = 6572,67 reais
Επομένως, το ποσό που θα αποσύρει η Marta στο σύστημα απλού επιτοκίου είναι 6572, 67 reais. Σημειώστε ότι το ποσό στο σύνθετο επιτόκιο είναι μεγαλύτερο από αυτό του απλού συστήματος τόκων, και αυτό συμβαίνει σε όλες τις περιπτώσεις. Για να κατανοήσετε καλύτερα τον τρόπο υπολογισμού αυτού του ποσοστού, επισκεφθείτε: Αμοιβές ντοαπεναντι αποεσείς.
λύσεις ασκήσεις
ερώτηση 1 - (FGV - SP) Ένα κεφάλαιο που εφαρμόζεται σε απλούς τόκους, με ποσοστό 2,5% ανά μήνα, τριπλασιάζεται κατά:
α) 75 μήνες
β) 80 μήνες
γ) 85 μήνες
δ) 90 μήνες
ε) 95 μήνες
Ανάλυση
Εναλλακτική Β.
Πρέπει να βρούμε τη στιγμή που ο τόκος είναι ίσος με 2C, καθώς, με τον τόκο με αυτόν τον τρόπο μαζί με το αρχικά εφαρμοζόμενο κεφάλαιο του C, θα έχουμε το ποσό των 3C (τριπλό του κεφαλαίου). Ετσι:
J = 2C; C = C; i = 2,5% ανά μήνα. t =?
J = C · i · t
2C = C · 0,025 · t
Έτσι, ο χρόνος για να τριπλασιαστεί αυτό το κεφάλαιο είναι 80 μήνες.
Σημείωση: 80 μήνες ισούται με 6,6 χρόνια.
Ερώτηση 2 - Ένα εμπόρευμα, αφού υπέστη αύξηση 24%, άλλαξε την τιμή του σε 1041,60 reais. Προσδιορίστε το ποσό πριν από την προσθήκη.
Ανάλυση
Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον γενικό τύπο προσθήκης για να προσδιορίσουμε την αξία των εμπορευμάτων πριν από την προσθήκη.
x · (1 + 0,01 p)
Στον τύπο, η τιμή x είναι αυτό που ψάχνουμε και το p είναι η τιμή της προσθήκης και αυτή η έκφραση μας δίνει την αξία του προϊόντος μετά την προσθήκη, ως εκ τούτου:
1041,60 = x · (1 + 0,01 p)
1041,60 = x · (1 + 0,01 · 24)
1041,60 = x · (1 + 0,24)
1041.60 = x · 1,24
Δείτε ότι έχουμε μια εξίσωση του πρώτου βαθμού, για να το λύσουμε, πρέπει να απομονώσουμε το άγνωστο x, διαιρώντας και τις δύο πλευρές της ισότητας με 1,24 ή, απλά, περάστε το διαχωρισμό 1,24. Ετσι:
Επομένως, η αξία των εμπορευμάτων πριν από την προσθήκη ήταν 840 reais.
από τον Robson Luiz
Καθηγητής μαθηματικών
Πηγή: Σχολείο της Βραζιλίας - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matematica-financeira.htm