Φυσικοί αριθμοί: μάθετε περισσότερα για αυτό το σετ!

Εσείς φυσικοί αριθμοί ήταν το πρώτο αριθμητικό σύνολο που λήφθηκε υπόψη, ιστορικά. Αναδύθηκαν από το πρέπει να μετρήσω του ανθρώπου. Το σύνολο των φυσικών αριθμών έχει ως στοιχεία το θετικοί αριθμοί και ακέραιοι αριθμοί, όπως 1, 2, 3, 4,…. Αυτό το σετ έχει τις λειτουργίες προσθήκης, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός, διαίρεση, ενίσχυση και ακτινοβολία.

Τι είναι οι φυσικοί αριθμοί;

οι φυσικοί αριθμοί είναι αριθμοί αυστηρά θετικό που δεν έχουν κόμμα, δηλαδή αντιπροσωπεύουν ποσότητες ολόκληρος. Το σύνολο των φυσικών αριθμών μπορεί να αναπαρασταθεί ως εξής:

Το σύνολο των φυσικών αριθμών είναι ένα άπειρο σετ, δηλαδή, δεδομένου κάθε φυσικού αριθμού, υπάρχει τουλάχιστον ένας αριθμός μεγαλύτερος από αυτόν. Δείτε μερικά παραδείγματα στοιχείων που ανήκουν και δεν ανήκουν σε αυτό το σύνολο.

Από το παραπάνω παράδειγμα, έχουμε ότι οι αριθμοί 10, 2 και 100 ανήκουν στο φυσικό σετ και οι αριθμοί 1,65, –2 και 0 δεν ανήκουν στο φυσικό σετ.

Διαβάστε επίσης: Διασκεδαστικά γεγονότα σχετικά με τη διαίρεση των φυσικών αριθμών

instagram story viewer

Διάδοχος ενός φυσικού αριθμού

Το σύνολο των φυσικών αριθμών είναι το πρώτο που μάθαμε στο σχολείο.

Όπως είπαμε παραπάνω, το σύνολο των φυσικών αριθμών είναι ένα άπειρο σύνολο, δηλαδή, δεδομένου κάθε αριθμού όχι φυσικά, υπάρχει πάντα n + 1, επίσης φυσικό. Ο αριθμός n + 1 ονομάζεται διάδοχος του ν. Για να προσδιορίσετε τον διάδοχο οποιουδήποτε φυσικού αριθμού, απλά Προσθήκη 1 σε αυτόν τον αριθμό. Για παράδειγμα, ας προσδιορίσουμε τους διαδόχους των αριθμών 3, 1, 5 και 2p + 1.

Ο διάδοχος του αριθμού 3 δίνεται από το 3 + 1, δηλαδή τον αριθμό 4. Ομοίως, οι διάδοχοι των 1 και 5 είναι, αντίστοιχα, 2 και 6. Ακολουθώντας τον ορισμό του διαδόχου, ας υποθέσουμε ότι ο διάδοχος του 2p + 1 είναι 2p + 1 + 1, δηλαδή 2p + 2.

Με τον ορισμό του διαδόχου, η ιδέα ότι το σύνολο των φυσικών αριθμών είναι άπειρο γίνεται σαφέστερη, καθώς είναι πάντα δυνατό να βρεθεί οποιοσδήποτε διάδοχος ενός φυσικού αριθμού.

Προγονικός φυσικός αριθμός

Ο προκάτοχος ενός φυσικού αριθμού όχι είναι αυτό που προηγείται αυτού του αριθμού όχι. Μπορούμε να γράψουμε το προκάτοχος του όχι σαν n - 1. Για παράδειγμα, ας προσδιορίσουμε τους προκατόχους των αριθμών 2, 5, 1000 και 2p + 1.

Ο προκάτοχος του 2 δίνεται από το 2 - 1, οπότε είναι ο αριθμός 1. Ομοίως, οι προκάτοχοι των 5 και 1000 είναι, αντίστοιχα, οι αριθμοί 4 και 999. Ο προκάτοχος του αριθμού 2p + 1 είναι 2p + 1 - 1, δηλαδή, ο προκάτοχος του 2p +1 είναι ο αριθμός 2p.

Είναι σημαντικό να το πούμε αυτό Όχι κάθε φυσικός αριθμός έχει προκάτοχο, είναι η περίπτωση του αριθμού 1. Εφαρμόζοντας τον ορισμό του προγόνου, έχουμε ότι ο προκάτοχος του αριθμού 1 είναι 1 - 1 = 0, αλλά ο αριθμός Το μηδέν δεν ανήκει στους φυσικούς αριθμούς. Επομένως, κάθε φυσικός αριθμός έχει έναν προκάτοχο, με εξαίρεση τον αριθμό 1. Για το λόγο αυτό, ο αριθμός 1 ονομάζεται το ελάχιστο στοιχείο των φυσικών, δηλαδή, είναι ο μικρότερος φυσικός αριθμός. Μπορούμε να γράψουμε αυτές τις πληροφορίες ως εξής:

Υποσύνολο φυσικών αριθμών

Γνωρίζουμε ότι το σύνολο των φυσικών αριθμών αποτελείται από αυστηρά θετικούς αριθμούς, δηλαδή αριθμούς μεγαλύτερους από το μηδέν. Από τη θεωρία του σκηνικά, το έχουμε αυτό, λαμβάνοντας υπόψη τα σύνολα Α και Β, το λέμε αυτό Το Β είναι ένα υποσύνολο του Α εάν κάθε στοιχείο του Β είναι ένα στοιχείο του Α, δηλαδή, το Β περιέχεται στο A (B ⸦ A).

Έτσι, κάθε σύνολο που σχηματίζεται από φυσικούς αριθμούς θα είναι ένα υποσύνολο των φυσικών αριθμών. Δείτε μερικά παραδείγματα:

Εξετάστε τα σετ:

A = {2, 4, 6, 8, 10, 12,…}

B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,…}

C = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23}

Δ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

Τα σύνολα A, B και C είναι υποσύνολα των φυσικών αριθμών, καθώς όλα τα στοιχεία αυτών των συνόλων είναι επίσης στοιχεία των φυσικών αριθμών, δηλαδή μπορούμε να πούμε ότι:

Τώρα κοιτάξτε το σετ D. Σημειώστε ότι, σε αυτό το σύνολο, δεν ανήκουν όλα τα στοιχεία στο σύνολο των φυσικών αριθμών. Αυτό συμβαίνει με τον αριθμό 0. Επομένως, Δ δεν είναι υποσύνολο φυσικών αριθμών, δηλαδή, το D δεν περιλαμβάνεται στο σύνολο των φυσικών αριθμών. Δηλώνουμε αυτό το γεγονός ως εξής:

Διαβάστε επίσης: Πρωταρχικοί αριθμοί: τι είναι και πώς να τα βρείτε;

ακόμη και φυσικοί αριθμοί

Λέμε ότι ένας αριθμός είναι ακόμη και αν είναι πολλαπλάσιο του αριθμού 2, που ισοδυναμεί με το να πούμε ότι αυτός ο αριθμός διαιρείται με το 2. Κοίτα:

{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20,…}

Επειδή το σύνολο των φυσικών αριθμών είναι ένα άπειρο σύνολο, έτσι και το σύνολο των ζυγών αριθμών. Σημειώστε επίσης ότι κάθε στοιχείο του συνόλου των ζυγών αριθμών είναι επίσης ένα στοιχείο των φυσικών αριθμών και επομένως το σύνολο των ζυγοί αριθμοί είναι ένα υποσύνολο των φυσικών..

Δες αυτό:

2 = 2 · 1

4 = 2 · 2

6 = 2 · 3

8 = 2 · 4

10 = 2 ·5

12 = 2 · 6

Το σύνολο των ζυγών αριθμών μπορεί να ληφθεί πολλαπλασιάζοντας όλους τους φυσικούς αριθμούς με τον αριθμό 2. Έτσι, λαμβάνοντας υπόψη έναν φυσικό αριθμό όχι, μπορούμε να γράψουμε έναν ζυγό αριθμό χρησιμοποιώντας την έκφραση 2n, έτσι ώστε το σύνολο των ζυγών αριθμών μπορεί να γραφτεί γενικά από:

Για παράδειγμα, ας δούμε αν οι αριθμοί 1000, 2098 και 55 είναι ίσοι.

Δεδομένου ότι 1000 = 2 · 500 και 2098 = 2 · 1049, είναι ακόμη και επειδή υπάρχει ένας φυσικός αριθμός που τους πολλαπλασιάζεται με το 2, τους δίνει. Τώρα, το 55 δεν είναι ομοιόμορφο, καθώς δεν υπάρχει κανένας φυσικός αριθμός που, πολλαπλασιασμένος επί 2, οδηγεί σε 55. Κοίτα:

54 = 2 · 27

56 = 2 · 28

Όπως γνωρίζουμε καλά, δεν υπάρχει φυσικός αριθμός μεταξύ 27 και 28, οπότε το 55 δεν είναι ζυγό.

Περίεργοι φυσικοί αριθμοί

Ένας αριθμός είναι περίεργος εάν δεν είναι ζυγός, δηλαδή όταν δεν είναι ούτε πολλαπλάσιο ούτε διαιρείται με το 2. Έτσι, το σύνολο των οι περίεργοι φυσικοί αριθμοί είναι φυσικοί αριθμοί που δεν είναι πολλαπλάσιοι των 2. Αυτό το σετ μπορεί να γραφτεί ως εξής:

{3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21,…}

Ανάλογα με αυτό που κάναμε στο σύνολο των ζυγών αριθμών, έχουμε:

3 = 2 · 1 + 1
5 = 2 · 2 + 1
7 = 2 · 3 + 1
9 = 2 · 4 + 1
11 = 2 · 5 + 1
13 = 2 · 6 + 1

Το σύνολο των μονών αριθμών μπορεί να ληφθεί πολλαπλασιάζοντας όλους τους φυσικούς αριθμούς με 2 και προσθέτοντας 1. λαμβάνοντας υπόψη έναν φυσικό αριθμό όχι Όχι, μπορούμε να γράψουμε οποιονδήποτε περίεργο αριθμό χρησιμοποιώντας την έκφραση 2n + 1. Σε γενικές γραμμές, αντιπροσωπεύουμε το σύνολο των μονών αριθμών από:

Σημειώστε ότι το σύνολο των μονών αριθμών είναι επίσης ένα άπειρο σύνολο, καθώς για να λάβουμε τους μονούς αριθμούς πολλαπλασιάζουμε τους φυσικούς αριθμούς με 2 και στη συνέχεια προσθέτουμε 1. Για το λόγο αυτό, το το σύνολο των μονών αριθμών είναι επίσης ένα υποσύνολο των φυσικών., επειδή κάθε στοιχείο αυτού του συνόλου είναι επίσης ένα στοιχείο των φυσικών.

Δείτε επίσης: Ιδιότητες ομοιόμορφων και μονών αριθμών

Οι ασκήσεις λύθηκαν

ερώτηση 1 - Αναφέρετε μόνο τους φυσικούς αριθμούς των παρακάτω αριθμών:

0, 1, 2, 0,43; -1, - 0,5 και 98,765

Λύση

Γνωρίζουμε ότι το σύνολο των φυσικών αριθμών αποτελείται από αυστηρά θετικούς αριθμούς που δεν έχουν κόμμα, έτσι οι φυσικοί αριθμοί στη λίστα είναι: 1, 2 και 98.765.

Ερώτηση 2 - Λαμβάνοντας υπόψη τη γενική μορφή ενός ζυγού αριθμού, είναι αλήθεια ότι, προσθέτοντας δύο ζυγούς αριθμούς, το αποτέλεσμα είναι ακόμα ομοιόμορφο; Το ίδιο ισχύει και για περίεργους αριθμούς;

Λύση

Γνωρίζουμε ότι ένας ζυγός αριθμός μπορεί να γραφτεί γενικά πολλαπλασιάζοντας οποιονδήποτε φυσικό αριθμό με 2. Εξετάστε δύο διαφορετικούς φυσικούς αριθμούς, 2n και 2m, όπου Μ και όχι τυχόν φυσικούς αριθμούς, το άθροισμα των δύο καθορίζεται από:

2n + 2μ

Βάζοντας τον αριθμό 2 σε αποδεικτικά στοιχεία, έχουμε:

2 · (n + m)

Σαν όχι και Μ είναι δύο φυσικοί αριθμοί, το άθροισμά τους είναι επίσης, έτσι n + m = k, όπου κ έναν φυσικό αριθμό.

2 · (n + m)

2 · κ

Επομένως, το άθροισμα δύο ακόμη και φυσικών αριθμών είναι επίσης ένας ζυγός αριθμός, καθώς το άθροισμα είχε ως αποτέλεσμα ένα πολλαπλάσιο των 2.

Τώρα γνωρίζουμε ότι ένας μονός αριθμός δίνεται πολλαπλασιάζοντας έναν φυσικό αριθμό με 2 που προστίθεται στον αριθμό 1. Τώρα, σκεφτείτε δύο διαφορετικούς αριθμούς μονών, 2n +1 και 2m + 1, με Μ και όχι φυσικός. Προσθέτοντας αυτούς τους αριθμούς μαζί, έχουμε:

2n + 1 + 2μ +1

2n + 2m +2

Βάζοντας πάλι τον αριθμό 2 ως αποδεικτικά στοιχεία, έχουμε:

2 (n + m + 1)

Σημειώστε ότι το n + m + 1 είναι ένας φυσικός αριθμός και μπορούμε να τον αντιπροσωπεύσουμε με p, δηλαδή, n + m + 1 = σελ, σύντομα:

2 ·(n + m + 1)

2 · Π

Σημειώστε ότι το αποτέλεσμα της προσθήκης δύο μονών αριθμών είχε ως αποτέλεσμα πολλαπλάσιο των 2, δηλαδή, ακόμη και. Επομένως, το άθροισμα των δύο μονών αριθμών είναι ένας ζυγός αριθμός.

Ερώτηση 3 - (Προσφορά / Νομός από Itaboraí) Το πηλίκο μεταξύ δύο φυσικών αριθμών είναι 10. Πολλαπλασιάζοντας το μέρισμα με 5 και μειώνοντας το διαιρέτη στο μισό, το πηλίκο του νέου τμήματος θα είναι:

Α2

β) 5

γ) 25

δ) 50

ε) 100

Λύση

Σύμφωνα με τη δήλωση, το πηλίκο (διαίρεση) μεταξύ δύο φυσικών αριθμών είναι 10. Καθώς δεν γνωρίζουμε ακόμα ποιοι είναι αυτοί οι αριθμοί, ας τους ονομάσουμε Μ και όχι, έπειτα: