Ο Ενταση ΗΧΟΥ της σφαίραςυπολογίζεται με βάση τη μέτρηση της ακτίνας του. Η σφαίρα είναι ένα γεωμετρικό σχήμα που έχει τρεις διαστάσεις. Τα κύρια στοιχεία μιας σφαίρας είναι η ακτίνα και η διάμετρός της. Ο όγκος της σφαίρας υπολογίζεται χρησιμοποιώντας έναν συγκεκριμένο τύπο που θα παρουσιαστεί παρακάτω. Εκτός από τον όγκο, μπορούμε να υπολογίσουμε την επιφάνεια της σφαίρας.
Διαβάστε επίσης: Πώς να υπολογίσετε τον όγκο ενός κυλίνδρου
Περίληψη όγκου σφαίρας
- Αρκετά αντικείμενα στην καθημερινότητά μας έχουν σφαιρικό σχήμα, όπως μια μπάλα ποδοσφαίρου.
- Τα κύρια στοιχεία της σφαίρας είναι η ακτίνα και η διάμετρός της.
- Για να υπολογίσουμε τον όγκο της σφαίρας, χρησιμοποιούμε τον τύπο:
\(V=\frac{4\pi R^3}{3}\)
- Υπάρχουν και άλλοι σημαντικοί τύποι, όπως ο τύπος για το εμβαδόν μιας σφαίρας: \(A=4\pi r^2\).
Μάθημα βίντεο για την ένταση της σφαίρας
Τι είναι μια σφαίρα;
Μια σφαίρα είναι ένα ενιαίο τρισδιάστατο σχήμα, που ορίζεται ως ένα τρισδιάστατο σχήμα που τα σημεία του απέχουν εξίσου από το κέντρο του. Είναι ένα από τα πιο συμμετρικά σχήματα και υπάρχει στον κόσμο μας με πολλούς τρόπους. Μπορούμε να αντιληφθούμε την παρουσία της σφαίρας στη φύση, στο ανθρώπινο σώμα, στη μελέτη των πλανητών, μεταξύ άλλων καταστάσεων στην καθημερινότητά μας.
Μια σφαίρα είναι ένα γεωμετρικό στερεό. Το μπιλιάρδο, το ποδόσφαιρο και η μπάλα του μπάσκετ είναι παραδείγματα σφαιρών. Αποτελείται από όλα τα σημεία που βρίσκονται σε σταθερή απόσταση από ένα κεντρικό σημείο που ονομάζεται κέντρο της σφαίρας. Και αυτή η σταθερή απόσταση είναι γνωστή ως ακτίνα της σφαίρας.
Στοιχεία σφαίρας
Η σφαίρα έχει μερικά ενδιαφέροντα μέρη:
- Κέντρο: όπως υποδηλώνει το όνομα, είναι το σημείο που βρίσκεται στο κέντρο της σφαίρας.
- Διάμετρος: ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει δύο αντίθετα σημεία της σφαίρας, περνώντας από το κέντρο.
- Ακτίνα: τμήμα που πηγαίνει από το κέντρο σε οποιοδήποτε σημείο της επιφάνειας.
- Επιφάνεια: εξωτερικό στρώμα της σφαίρας.
- Μέσα: χώρο μέσα στη σφαίρα.
Πώς υπολογίζετε τον όγκο της σφαίρας;
Υπολογίζεται ο όγκος της σφαίρας από τον τύπο:
\(V=\frac{4}{3}\pi R^3\)
- V: είναι ο όγκος της σφαίρας.
- ΕΝΑ: είναι η ακτίνα της σφαίρας.
- π: είναι μια σταθερά.
Οσταθερή τιμή ππου χρησιμοποιείται πιο συχνά είναι περίπου 3,14, αλλά μπορούμε να εξετάσουμε π ίσο με περίπου 3, ή περίπου 3,1, ή ακόμα και περίπου 3,1415, ανάλογα με το πόσα δεκαδικά ψηφία θέλουμε να λάβουμε υπόψη, αφού το π είναι ένας παράλογος αριθμός και οι παράλογοι αριθμοί έχουν άπειρα δεκαδικά ψηφία.
- Παράδειγμα:
Μια σφαίρα έχει ακτίνα 6 cm. Ποιος είναι ο όγκος αυτής της σφαίρας, λαμβάνοντας υπόψη ότι π=3?
Ανάλυση:
Υπολογίζοντας τον όγκο της σφαίρας, έχουμε:
\(V=\frac{4\pi R^3}{3}\)
\(V=\frac{4\cdot3\cdot6^3}{3}\)
\(V=\frac{12\cdot216}{3}\)
\(V=\frac{2592}{3}\)
\(V=864\ cm^3\)
Άρα, ο όγκος αυτής της σφαίρας είναι 864 cm³.
Άλλος τύπος σφαίρας
Εκτός από τον τύπο που παρουσιάζεται για τον υπολογισμό του όγκου της σφαίρας, υπάρχει ένας άλλος σημαντικός τύπος, ο οποίος είναι ο τύπος επιφάνειας. Για τον υπολογισμό της επιφάνειας της σφαίρας, ο τύπος είναι:
\(A=4\pi r^2\)
ΕΝΑ επιφάνεια της σφαίρας δεν είναι τίποτα άλλο από την περιοχή που περιβάλλει τη σφαίρα. Για παράδειγμα, σε μια πλαστική μπάλα, η σφαίρα είναι ολόκληρη η μπάλα και η επιφάνεια είναι η περιοχή του πλαστικού που είναι το περίγραμμα αυτής της μπάλας.
- Παράδειγμα:
Ποια είναι η επιφανειακή μέτρηση μιας σφαίρας που έχει ακτίνα 5 cm;
Ανάλυση:
Ως αξία του π, δεν θα το αντικαταστήσουμε με καμία τιμή, οπότε:
\(A=4\cdot\pi\cdot5^2\)
\(A=4\cdot\pi\cdot25\)
\(A=100\pi\ cm²\)
Η περιοχή αυτής της σφαίρας είναι σε 100πcΜ2.
Μάθετε περισσότερα: Ποια είναι η διαφορά μεταξύ περιφέρειας, κύκλου και σφαίρας;
Λυμένες ασκήσεις για τον όγκο σφαίρας
ερώτηση 1
Ένα σφαιρικό αντικείμενο έχει ακτίνα 6 cm. Στη συνέχεια, ο όγκος αυτού του αντικειμένου (χρησιμοποιώντας π=3,14) είναι περίπου ίσο με:
Α) 314,42 cm³
Β) 288,00 cm³
Γ) 424,74 cm³
Δ) 602,38 cm³
Ε) 904,32 cm³
Ανάλυση:
Εναλλακτική Ε
Αντικατάσταση των τιμών που δίνονται στη δήλωση στον τύπο \(V=\frac{4}{3}\pi R^3\), έχουμε:
\(V=\frac{4}{3}\pi6^3\)
\(V=\frac{4}{3}\pi216\)
\(V=288\pi\approx288\cdot3,14=904,32{\cm}^3\)
Ερώτηση 2
Ένα δοχείο έχει σφαιρικό σχήμα. Είναι γνωστό ότι έχει όγκο σε 288π cm³. Γνωρίζοντας τον όγκο του, μπορούμε στη συνέχεια να δηλώσουμε ότι η μέτρηση της ακτίνας αυτού του δοχείου είναι:
Α) 3 cm
Β) 4 εκ
Γ) 5 εκ
Δ) 6 εκ
Ε) 7 εκ
Ανάλυση:
Εναλλακτική Δ
Ξέρουμε ότι \(V=288\pi\).
Αντικατάσταση των τιμών που δίνονται στη δήλωση στον τύπο \(V=\frac{4}{3}\pi R^3\), έχουμε \(288\pi=\frac{4}{3}\pi R^3\).
Ακύρωση του π και στις δύο πλευρές και πολλαπλασιασμός:
\({4R}^3=864\)
\(R^3=216\)
\(R=\sqrt[3]{216}\)
\(R=\sqrt[3]{6^3}\)
\(R=6\ cm\)
Πηγές
DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau. Βασικές αρχές μαθηματικών στοιχειώδους: Χωρική Γεωμετρία, τόμ. 10, 6. εκδ. São Paulo: Current, 2005.
ΛΙΜΑ, Ε. et. al. Μαθηματικά Γυμνασίου. τόμος 2. Ρίο ντε Τζανέιρο: SBM, 1998.
