ΕΝΑ ριζοβολία Είναι μια μαθηματική πράξη, όπως η πρόσθεση, η αφαίρεση, ο πολλαπλασιασμός, η διαίρεση και η ενίσχυση. Με τον ίδιο τρόπο που η αφαίρεση είναι η αντίστροφη πράξη της πρόσθεσης και η διαίρεση είναι το αντίστροφο του πολλαπλασιασμού, η ακτινοβολία είναι η αντίστροφη πράξη της ενίσχυσης. Έτσι, για πραγματικά θετικά x και y και ακέραιο n (μεγαλύτερο ή ίσο με 2), αν το x ανυψωθεί στο n είναι ίσο με y, μπορούμε να πούμε ότι η ν η ρίζα του y είναι ίση με x. Σε μαθηματική σημειογραφία: \(x^n=y\Δεξί βέλος\sqrt[n]{y}=x\).
Διαβάστε επίσης:Ενίσχυση και ακτινοβολία κλασμάτων — πώς να το κάνουμε;
Σύνοψη για το rooting
Η ριζοβολία είναι μια μαθηματική πράξη.
Η ακτινοβολία και η ενίσχυση είναι αντίστροφες πράξεις, δηλαδή για θετικά x και y, \(x^n=y\Δεξί βέλος\sqrt[n]{y}=x\).
Ο υπολογισμός της νης ρίζας ενός αριθμού y σημαίνει ότι βρίσκουμε τον αριθμό x έτσι ώστε το x ανυψωμένο στο n να είναι ίσο με το y.
Η ανάγνωση μιας ρίζας εξαρτάται από τον δείκτη n. Αν n = 2, την ονομάζουμε τετραγωνική ρίζα και αν n = 3, την ονομάζουμε κυβική ρίζα.
Σε πράξεις με ρίζες, χρησιμοποιούμε όρους με τον ίδιο δείκτη.
Η ακτινοβολία έχει σημαντικές ιδιότητες που διευκολύνουν τον υπολογισμό της.
Μάθημα βίντεο για το rooting
Αναπαράσταση ρίζας
Για να αναπαραστήσετε μια ριζοβολία, πρέπει να εξετάσουμε τα τρία στοιχεία που εμπλέκονται: radicand, index και root. Το σύμβολο \(√\) ονομάζεται ριζικό.
\(\sqrt[n]{y}=x\)
Σε αυτό το παράδειγμα, y είναι το ριζικό, n είναι ο δείκτης και x είναι η ρίζα. Διαβάζει "η ρίζα του y είναι x". Ενώ τα x και y αντιπροσωπεύουν θετικούς πραγματικούς αριθμούς, το n αντιπροσωπεύει έναν ακέραιο αριθμό ίσο ή μεγαλύτερο από 2. Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι για n = 2, ο δείκτης μπορεί να παραλειφθεί. Έτσι, για παράδειγμα, \(\sqrt[2]{9}=\sqrt9\).
Μπορούμε να αναπαραστήσουμε μια ακτινοβολία χρησιμοποιώντας το ριζικό με κλασματικό εκθέτη. Τυπικά, λέμε ότι η ν η ρίζα του \(y^m\) μπορεί να γραφτεί ως y αυξημένο στον κλασματικό εκθέτη \(\frac{m}n\).
\(\sqrt[n]{y^m}=y^\frac{m}{n}\)
Δείτε τα παραδείγματα:
\(√5=5^\frac{1}{2}\)
\(\sqrt[3]{2^4}=2^\frac{4}{3}\)
Διαφορές μεταξύ ακτινοβολίας και ενίσχυσης
Ενίσχυση και ακτινοβολία είναι αντίστροφες μαθηματικές πράξεις. Αυτό σημαίνει ότι εάν \(x^n=y\), έπειτα \(\sqrt[n]{y}=x\). Φαίνεται δύσκολο; Ας δούμε μερικά παραδείγματα.
Αν \(3^2=9\), έπειτα \(\sqrt[2]{9}=3\).
Αν \(2^3=8\), έπειτα \(\sqrt[3]{8}=2\).
Αν \(5^4=625\), έπειτα \(\sqrt[4]{625}=5\).
Πώς να διαβάσετε μια ρίζα;
Για να διαβάσετε μια ρίζα, πρέπει να εξετάσουμε τον δείκτη n. Αν n = 2, το λέμε τετραγωνική ρίζα. Αν n = 3, το ονομάζουμε κυβική ρίζα. Για τις τιμές των n μεγαλύτερο, χρησιμοποιούμε την ονοματολογία για τακτικούς αριθμούς: τέταρτη ρίζα (αν n = 4), πέμπτη ρίζα (αν n = 5) και ούτω καθεξής. Δείτε μερικά παραδείγματα:
\(\sqrt[2]{9}\) – τετραγωνική ρίζα 9.
\(\sqrt[3]{8}\) – κυβική ρίζα του 8.
\(\sqrt[4]{625}\) – τέταρτη ρίζα του 625.
Πώς να υπολογίσετε τη ρίζα ενός αριθμού;
Θα δούμε παρακάτω πώς να υπολογίσουμε τη ρίζα ενός θετικού πραγματικού αριθμού. Για να υπολογίσετε τη ρίζα ενός αριθμού, πρέπει να εξετάσουμε τη σχετική αντίστροφη πράξη. Δηλαδή, αν αναζητήσουμε την nη ρίζα ενός αριθμού y, θα πρέπει να αναζητήσουμε έναν αριθμό x έτσι ώστε \(x^n=y\).
Ανάλογα με την τιμή του y (δηλαδή του radicand), αυτή η διαδικασία μπορεί να είναι απλή ή επίπονη. Ας δούμε μερικά παραδείγματα για τον τρόπο υπολογισμού της ρίζας ενός αριθμού.
Παράδειγμα 1:
Ποια είναι η τετραγωνική ρίζα του 144;
Ανάλυση:
Ας καλέσουμε τον αριθμό που ψάχνουμε x, δηλαδή, \(\sqrt{144}=x\). Σημειώστε ότι αυτό σημαίνει ότι αναζητάτε έναν αριθμό x έτσι ώστε \(x^2=144\). Ας δοκιμάσουμε μερικές πιθανότητες με φυσικούς αριθμούς:
\(9^2=81\)
\(10^2=100\)
\(11^2=121\)
\(12^2=144\)
Επομένως, \(\sqrt{144}=12\).
Παράδειγμα 2:
Ποια είναι η κυβική ρίζα του 100;
Ανάλυση:
Ας καλέσουμε τον αριθμό που ψάχνουμε x, δηλαδή, \(\sqrt[3]{100}=x\). Αυτό σημαίνει ότι \(x^3=100\). Ας δοκιμάσουμε μερικές πιθανότητες:
\(2^3=8\)
\(3^3=27\)
\(4^3=64\)
\(5^3=125\)
Σημειώστε ότι αναζητούμε έναν αριθμό που είναι μεταξύ 4 και 5, όπως \(4^3=64\) είναι \(5^3=125\). Λοιπόν, ας δοκιμάσουμε μερικές πιθανότητες με αριθμούς μεταξύ 4 και 5:
\(4,1^3=68,921\)
\(4,2^3=74,088\)
\(4,3^3=79,507\)
\(4,4^3=85,184\)
\(4,5^3=91,125\)
\(4,6^3=97,336\)
\(4,7^3=103,823\)
Οπως και \(4,6^3 \) είναι ένας αριθμός κοντά και μικρότερος από το 100, μπορούμε να πούμε ότι το 4,6 είναι μια προσέγγιση της κυβικής ρίζας του 100. Επομένως, \(\sqrt[3]{100}≈4,6\).
Σπουδαίος:Όταν η ρίζα είναι ρητός αριθμός, λέμε ότι η ρίζα είναι ακριβής. διαφορετικά, η ρίζα δεν είναι ακριβής. Στο παραπάνω παράδειγμα, προσδιορίζουμε ένα εύρος μεταξύ των ακριβών ριζών όπου βρίσκεται η ρίζα που αναζητήθηκε:
\(\sqrt[3]{64}
\(4
Αυτή η στρατηγική είναι πολύ χρήσιμη για τον υπολογισμό των προσεγγίσεων μιας ρίζας.
Επιχειρήσεις με ριζοσπάστες
Σε πράξεις με ρίζες, χρησιμοποιούμε όρους με τον ίδιο δείκτη. Λαμβάνοντας υπόψη αυτό, διαβάστε προσεκτικά τις ακόλουθες πληροφορίες.
→ Πρόσθεση και αφαίρεση μεταξύ ριζών
Για να λύσουμε μια πρόσθεση ή αφαίρεση μεταξύ ριζών, πρέπει να υπολογίσουμε τη ρίζα κάθε ρίζας χωριστά.
Παραδείγματα:
\(\sqrt[3]{27}+\sqrt[3]{216}=3+6=9\)
\(\sqrt{400}-\sqrt{169}=20-13=7\)
Σπουδαίος: Δεν είναι δυνατός ο χειρισμός ριζών σε πράξεις πρόσθεσης και αφαίρεσης. Σημειώστε ότι, για παράδειγμα, η λειτουργία \(\sqrt4+\sqrt9\) έχει ως αποτέλεσμα διαφορετικό αριθμό \(\sqrt{13}\), ακόμα κι αν \(4+9=13\).
\(\sqrt4+\sqrt9=2+3=5\)
\(\sqrt{13}≈3,6\)
→ Πολλαπλασιασμός και διαίρεση μεταξύ ριζών
Για να λύσουμε έναν πολλαπλασιασμό ή διαίρεση μεταξύ ριζών, μπορούμε να υπολογίσουμε τη ρίζα κάθε ρίζας ξεχωριστά, αλλά μπορούμε επίσης να χρησιμοποιήσουμε τις ιδιότητες ακτινοβολίας, που θα δούμε παρακάτω.
Παραδείγματα:
\(\sqrt{121}⋅\sqrt{49}=11⋅49=539\)
\(\sqrt[3]{512}÷\sqrt[3]{64}=8÷4=2\)
Ποιες είναι οι ιδιότητες της ακτινοβολίας;
→ Ιδιότητα 1 της ακτινοβολίας
Αν το y είναι θετικός αριθμός, τότε η ν η ρίζα του \(y^n\) ισούται με y.
\(\sqrt[n]{y^n}=y\)
Δείτε το παράδειγμα:
\(\sqrt[3]{2^3}=\sqrt[3]{8}=2\)
Αυτή η ιδιότητα χρησιμοποιείται ευρέως για την απλοποίηση εκφράσεων με ρίζες.
→ Ιδιότητα 2 της ακτινοβολίας
Η ν η ρίζα του προϊόντος \(y⋅z\) ισούται με το γινόμενο της νης ρίζας των y και z.
\(\sqrt[n]{y\cdot z}=\sqrt[n]{y}\cdot \sqrt[n]{z}\)
Δείτε το παράδειγμα:
\(\sqrt{36 ⋅ 196}=\sqrt{36}⋅\sqrt{196}=6⋅14=84\)
Σπουδαίος: Όταν υπολογίζουμε τη ρίζα ενός μεγάλου αριθμού, είναι πολύ χρήσιμο συντελεστής (διασπάστε) το ριζικό σε πρώτους αριθμούς και εφαρμόστε τις ιδιότητες 1 και 2. Δείτε το παρακάτω παράδειγμα, στο οποίο θέλουμε να υπολογίσουμε \(\sqrt{7744}\):
\(7744=2^2⋅2^2⋅2^2⋅11^2\)
Σαν αυτό,
\(\sqrt{2^2⋅2^2⋅2^2⋅11^2}=\sqrt{2^2}⋅\sqrt{2^2}⋅\sqrt{2^2}⋅\sqrt{11 ^2}= 2⋅2 ⋅2⋅11 = 88\)
→ Ιδιότητα 3της ριζοβολίας
Η ν η ρίζα του πηλίκου \(\frac{y}z\), με \(z≠0\), ισούται με το πηλίκο των ντων ριζών του y και του z.
\(\sqrt[n]{\frac{y}{z}}=\frac{\sqrt[n]{y}}{\sqrt[n]{z}}\)
Δείτε το παράδειγμα:
\(\sqrt[a]{\frac{125}{64}}=\frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{64}}=\frac{5}4\)
→ Ιδιότητα 4 της ακτινοβολίας
Η nη ρίζα του y αυξημένη σε έναν εκθέτη m είναι ίση με την nη ρίζα του \(y^m\).
\((\sqrt[n]{y})^m=\sqrt[n]{y^m}\)
Δείτε το παράδειγμα:
\((\sqrt[3]{8})^2=\sqrt[3]{8^2}=\sqrt[3]{64}=4\)
Δείτε επίσης: Ποιες είναι οι ιδιότητες της ενίσχυσης;
Λυμένες ασκήσεις για την ακτινοβολία
ερώτηση 1
(FGV) Απλοποίηση \(2\sqrt3+2\sqrt12-2\sqrt{75}\), παίρνετε:
Α) 0
Β) - 23
Γ) - 43
Δ) - 63
Δ) - 83
Ανάλυση:
Εναλλακτική Γ.
Σημειώστε ότι χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες ακτινοβολίας, έχουμε
\(2\sqrt{12}=2⋅\sqrt{3⋅ 4}=2⋅\sqrt3⋅\sqrt4=2⋅\sqrt3⋅2=4\sqrt3\)
\(2\sqrt{75}=2⋅\sqrt{25⋅3}=2⋅\sqrt{25}⋅\sqrt3=2⋅5⋅\sqrt3=10\sqrt3\)
Έτσι, μπορούμε να ξαναγράψουμε την έκφραση της δήλωσης ως
\(2\sqrt3+4\sqrt3-10\sqrt3\)
Βάζοντας τον όρο \(\sqrt3\) αποδεικτικά στοιχεία, συμπεραίνουμε ότι
\(2\sqrt3+4\sqrt3-10\sqrt3=(2+4-10)⋅\sqrt3=-4\sqrt3\)
Ερώτηση 2
(Cefet) Με ποιον αριθμό πρέπει να πολλαπλασιάσουμε τον αριθμό 0,75 ώστε η τετραγωνική ρίζα του γινομένου που προκύπτει να είναι ίση με 45;
Α) 2700
Β) 2800
Γ) 2900
Δ) 3000
Ανάλυση:
Εναλλακτική Α.
Ο αριθμός που αναζητείται είναι x. Έτσι, σύμφωνα με την ανακοίνωση,
\(\sqrt{0,75⋅x}=45\)
Επομένως,
\(0,75⋅x=45^2\)
\(0,75⋅x=2025\)
\(x=\frac{2025}{0,75}\)
\(x = 2700\)
