Είναι γνωστό ως ρητός αριθμός κάθε αριθμό που μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένα μη αναρρίψιμο κλάσμα. Σε όλη την ανθρώπινη ιστορία, η ιδέα του αριθμού αναπτύχθηκε σταδιακά σύμφωνα με τις ανθρώπινες ανάγκες. Η αναπαράσταση αριθμών σε κλάσματα, για παράδειγμα, έλυσε προβλήματα που επιλύθηκαν μόνο με ολόκληροι αριθμοί.
Ένας λογικός αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί από ένα κλάσμα, οπότε υπάρχουν μέθοδοι για τον μετασχηματισμό ολόκληρων αριθμών, δεκαδικοί αριθμοί ακριβή και περιοδικά δεκαδικά σε κλάσματα.
Διαβάστε επίσης: Λειτουργίες με κλάσματα - πώς να λυθεί;
Τι είναι οι λογικοί αριθμοί;
Οι λογικοί αριθμοί είναι επέκταση του συνόλου ακέραιων αριθμών, τότε, εκτός από ολόκληρους τους αριθμούς, προστέθηκαν όλα τα κλάσματα. Ο σειρά των λογικών αριθμών αντιπροσωπεύεται από:
Αυτό που λέει αυτή η αναπαράσταση είναι ότι ένας αριθμός είναι λογικός αν μπορεί να αναπαρασταθεί ως το κλάσμα ο σχετικά με σι, έτσι ο είναι ακέραιος και σι είναι ακέραιος μη μηδενικός. Αλλά αν θέλουμε να ορίσουμε τους λογικούς αριθμούς λιγότερο αυστηρά, μπορούμε να πούμε τα εξής:
Οι λογικοί αριθμοί είναι όλοι οι αριθμοί που μπορούν να αναπαρασταθούν ως κλάσμα. |
Γνωρίστε αυτόν τον ορισμό:
εσείς ακέραιοιs, για παράδειγμα: -10, 7, 0;
εσείς ακριβείς δεκαδικοί αριθμοί, για παράδειγμα: 1,25; 0,1; 3,1415;
στο απλοί περιοδικοί δεκάδες, για παράδειγμα: 1.424242…;
στο σύνθετα περιοδικά δέκατα, για παράδειγμα: 1.0288888…
Οχι είναι λογικοί αριθμοί:
Στο μη περιοδικά δέκατα, για παράδειγμα: 4.1239489201…;
Στο ρίζεςόχι ακριβές, για παράδειγμα:
;- Ο βάτραχοςΕγώζ πλατεία του αρνητικοί αριθμοί, για παράδειγμα:
.
Παρατήρηση: Η ύπαρξη μη ορθολογικών αριθμών προκαλεί την εμφάνιση άλλων συνόλων, όπως παράλογοι αριθμοί και σύνθετοι αριθμοί.
Αναπαράσταση λογικών αριθμών
Κατανόηση ότι το κλάσμα είναι διαίρεση δύο ακέραιων αριθμών, για να είναι λογικός αριθμός, μπορείτε να αντιπροσωπεύσετε αυτόν τον αριθμό ως κλάσμα. Επομένως, καθεμία από τις περιπτώσεις που αναφέρονται παραπάνω ως λογικοί αριθμοί (ακέραιοι αριθμοί, ακριβή δεκαδικά και περιοδικά δεκαδικά) μπορούν να αναπαρασταθούν ως κλάσμα.
ακέραιοι
Υπάρχουν άπειρες δυνατότητες για αναπαράσταση ενός ακέραιου ως κλάσμα, καθώς ένα κλάσμα μπορεί να αναπαρασταθεί σε αναρίθμητη μορφή ή όχι.
Παραδείγματα:
ακριβή δεκαδικά
Για να μετατρέψετε έναν ακριβή δεκαδικό αριθμό σε α κλάσμα, μετράμε τον αριθμό των αριθμών στο δεκαδικό του μέρος, δηλαδή μετά το δεκαδικό σημείο. Εάν υπάρχει ένας αριθμός μετά το κόμμα, θα γράψουμε το ακέραιο μέρος συν το δεκαδικό μέρος χωρίς το κόμμα πάνω από 10. Εάν υπάρχουν δύο αριθμοί στο δεκαδικό μέρος πάνω από 100, στην πράξη, το ποσό των αριθμών στο δεκαδικό μέρος θα είναι το ποσό των μηδενικών που έχουμε στον παρονομαστή. Δείτε το παράδειγμα:
περιοδικά δέκατα
Η εύρεση της κλασματικής αναπαράστασης ενός δεκάτου δεν είναι πάντα εύκολη υπόθεση, αυτό που ονομάζουμε παράγοντας κλάσμα. Για να διευκολυνθεί αυτή η εργασία, παρατηρήθηκε ότι, στην εξίσωση που βρήκαμε το κλάσμα παραγωγής, υπάρχουν κανονικότητες, οι οποίες επέτρεψαν την ανάπτυξη μιας πρακτικής μεθόδου.
Πρώτον, πρέπει να καταλάβουμε ότι υπάρχουν δύο τύποι περιοδικών δεκάτων, απλοί και σύνθετοι. Ενας το δέκατο είναι απλό εάν, στο δεκαδικό του μέρος, υπάρχει μόνο το μέρος που επαναλαμβάνεται, δηλαδή η περίοδος. Ενας το δέκατο είναι σύνθετο εάν, στο δεκαδικό του μέρος, υπάρχει ένα μη περιοδικό μέρος.
Παράδειγμα:
9,323232… → απλό περιοδικό δεκαδικό
Το ακέραιο μέρος ισούται με 9.
Η περίοδος ισούται με 32.
8,7151515… → σύνθετο περιοδικό δέκατο
Το ακέραιο μέρος ισούται με 8.
Το μη περιοδικό δεκαδικό μέρος είναι ίσο με 7.
Η περίοδος ισούται με 15.
Δείτε επίσης: Ισοδύναμα κλάσματα - κλάσματα που αντιπροσωπεύουν το ίδιο ποσό
→ 1η περίπτωση: δημιουργία κλάσματος απλού περιοδικού δεκαδικού
Στην πρώτη περίπτωση, να μετατρέψτε ένα απλό περιοδικό δεκαδικό σε κλάσμα με την πρακτική μέθοδο, απλώς γράψτε ολόκληρο το μέρος συν την τελεία χωρίς το κόμμα στον αριθμητή. Στον παρονομαστή, για κάθε στοιχείο στο περιοδικό μέρος, προσθέτουμε ένα 9.
Παράδειγμα:
Το κλάσμα δημιουργίας 9.323232…, όπως έχουμε δει, έχει μια περίοδο ίση με 32, δηλαδή, δύο αριθμούς στην περίοδο του, οπότε ο παρονομαστής είναι 99. Το ακέραιο μέρος συν το περιοδικό μέρος χωρίς κόμμα είναι 932, που είναι ο αριθμητής. Έτσι, το κλάσμα παραγωγής αυτού του δεκάτου είναι:
→ 2η περίπτωση: δημιουργία κλάσματος σύνθετου περιοδικού δεκαδικού
Το περιοδικό σύνθετο δέκατο είναι λίγο πιο επίπονο. Ας βρούμε το παραγόμενο κλάσμα του δεκάτου που εργαστήκαμε στο παράδειγμα.
8,7151515… → σύνθετο περιοδικό δεκαδικό.
Το ακέραιο μέρος ισούται με 8.
Το μη περιοδικό δεκαδικό μέρος είναι ίσο με 7.
Το δεκαδικό μέρος της περιόδου ισούται με 15.
Ο αριθμητής θα είναι το αφαίρεση 8715 - 87, δηλαδή, η διαφορά μεταξύ του αριθμού που πηγαίνει από ολόκληρο το μέρος στο περιοδικό μέρος με το μη επαναλαμβανόμενο μέρος του δεκάτου.
Ο αριθμητής θα είναι ίσος με 8715 - 87 = 8628.
Για να βρείτε τον παρονομαστή, ας αναλύσουμε το δεκαδικό μέρος. Πρώτα ας δούμε το μη περιοδικό και περιοδικό δεκαδικό μέρος. Σε αυτήν την περίπτωση, το δεκαδικό μέρος του αριθμού είναι 715. Για κάθε αριθμό που βρίσκεται στο περιοδικό μέρος, ας προσθέσουμε ένα 9 στην αρχή του παρονομαστή. Δεδομένου ότι το περιοδικό μέρος σε αυτήν την περίπτωση έχει δύο αριθμούς (15), θα υπάρχουν δύο 9s στον παρονομαστή. Για κάθε αριθμό στο δεκαδικό μέρος που δεν είναι περιοδικό, θα προσθέσουμε ένα 0 στο τέλος του παρονομαστή, που θα είναι 990.
Σύντομα, το παράγοντας κλάσμα του δεκάτου θα είναι:
Ιδιότητες λογικών αριθμών
Μεταξύ δύο λογικών αριθμών, θα υπάρχει πάντα ένας άλλος λογικός αριθμός
Είναι ενδιαφέρον να σκεφτούμε αυτήν την ιδιοκτησία, η οποία συζητήθηκε πολύ από τους αρχαίους λαούς, που έγινε παράδοξο. Επιλέγοντας δύο λογικούς αριθμούς, θα υπάρχει πάντα ένας αριθμός μεταξύ τους.
Παράδειγμα:
Μεταξύ 1 και 2, υπάρχει 1,5. μεταξύ 1 και 1,5, υπάρχει 1,25. μεταξύ του 1 και του 1,25, υπάρχει το 1,125 και ούτω καθεξής. Όσο επιλέγω δύο λογικούς αριθμούς με πολύ μικρή διαφορά μεταξύ τους, είναι πάντα δυνατό να βρούμε έναν λογικό αριθμό μεταξύ τους. Αυτό το ακίνητο κάνει αδύνατο να οριστεί διάδοχος και προκάτοχος σε λογικούς αριθμούς.
Οι τέσσερις πράξεις στο σύνολο των λογικών αριθμών είναι κλειστές
Λέμε ότι το σετ είναι κλειστό για το άθροισμα, για παράδειγμα, εάν το άθροισμα δύο λογικών αριθμών δημιουργεί πάντα έναν άλλο λογικό αριθμό ως απάντηση. Αυτό συμβαίνει με τις τέσσερις λειτουργίες στο Q.
Ο Επιπλέον, αφαίρεση, διαίρεση και πολλαπλασιασμός μεταξύ δύο λογικών αριθμών θα οδηγούν πάντα σε έναν λογικό αριθμό. Στην πραγματικότητα, ακόμη και το ενίσχυση ενός λογικού αριθμού θα παράγει πάντα έναν λογικό αριθμό ως απόκριση.
Το σύνολο των λογικών αριθμών δεν είναι κλειστό στο ακτινοβολία. Ετσι, Μαφού το 2 είναι λογικός αριθμός, η τετραγωνική ρίζα του 2 είναι α παράλογος αριθμός.
Δείτε επίσης: Ισοδύναμα κλάσματα - κλάσματα που αντιπροσωπεύουν το ίδιο ποσό
Υποσύνολα λογικών αριθμών
Ξέρουμε πώς υποσύνολα ή σχέση συμπερίληψης τα σύνολα που σχηματίζονται από στοιχεία που ανήκουν στο σύνολο λογικών αριθμών. Υπάρχουν πολλά πιθανά υποσύνολα, ως το σύνολο ακέραιων αριθμών ή φυσικός, επειδή κάθε ακέραιος αριθμός είναι λογικός, όπως κάθε φυσικός αριθμός είναι λογικός.
Παράδειγμα:
Σύνολο ακέραιων αριθμών: Z = {… -3, -2, -1, 0.1, 2, 3,…}.
Όταν συμβαίνει αυτό, το λέμε αυτό Ζ ⸦ Ε (Αναφέρει: Το Z περιέχεται στο Q ή το σύνολο ολόκληρων αριθμών περιέχεται στο σύνολο λογικών αριθμών.)
Υπάρχουν μερικά σύμβολα που είναι απαραίτητα για τη δημιουργία υποομάδων του Q, είναι: +, - και *, που σημαίνουν, αντίστοιχα, θετικά, αρνητικά και μη μηδενικά.
Παραδείγματα:
Q * → (διαβάζει: σύνολο μη μηδενικών λογικών αριθμών.)
Ερ+ → (διαβάζει: σύνολο θετικών λογικών αριθμών.)
Ερ- → (διαβάζει: σύνολο αρνητικών λογικών αριθμών.)
Ερ*+ → (διαβάζει: σύνολο θετικών και μη μηδενικών λογικών αριθμών.)
Ερ*- → (διαβάζει: σύνολο αρνητικών και μη μηδενικών λογικών αριθμών.)
Σημειώστε ότι όλα αυτά τα σύνολα είναι υποσύνολα του Q, καθώς όλα τα στοιχεία ανήκουν στο σύνολο λογικών αριθμών. Εκτός από τα σύνολα που παρουσιάζονται, μπορούμε να δουλέψουμε με πολλά υποσύνολα στο Q, όπως το σύνολο που σχηματίζεται από περιττούς αριθμούς ή ξαδερφια, ή ζευγάρια, τέλος, υπάρχουν πολλές και πολλές δυνατότητες υποσύνολων.
Του Raul Rodrigues de Oliveira
Καθηγητής μαθηματικών
Πηγή: Σχολείο της Βραζιλίας - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-racionais.htm
