ΕΝΑ μήτρα ταυτότητας είναι ένα ιδιαίτερο είδος αρχηγείο. Γνωρίζουμε ως μήτρα ταυτότητας In ο τετραγωνικός πίνακας της τάξης n που έχει όλους τους όρους στη διαγώνιο ίσους με 1 και όρους που δεν ανήκουν στην κύρια διαγώνιο ίσο με 0. Ο πίνακας ταυτότητας θεωρείται το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού, δηλαδή αν πολλαπλασιάσουμε έναν πίνακα Μ από τον πίνακα ταυτότητας, βρίσκουμε ως αποτέλεσμα τον ίδιο τον πίνακα Μ.
Δείτε επίσης: Ποια είναι η ορίζουσα ενός πίνακα;
Σύνοψη σχετικά με τον πίνακα ταυτότητας
Ο πίνακας ταυτότητας είναι ο τετράγωνος πίνακας με στοιχεία στην κύρια διαγώνιο ίσα με 1 και με τα άλλα στοιχεία ίσα με 0.
Υπάρχουν πίνακες ταυτότητας διαφορετικών τάξεων. Αντιπροσωπεύουμε τον πίνακα ταυτότητας της τάξης n από Ι n.
Ο πίνακας ταυτότητας είναι το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού του πίνακα, δηλαδή, \( A\cdot I_n=A.\)
Το γινόμενο ενός τετραγωνικού πίνακα και του αντίστροφου πίνακα του είναι ο πίνακας ταυτότητας.
Τι είναι η μήτρα ταυτότητας;
Ο πίνακας ταυτότητας είναι α ειδικός τύπος τετράγωνου πίνακα
. Ένας τετραγωνικός πίνακας είναι γνωστός ως πίνακας ταυτότητας εάν έχει όλα τα στοιχεία στην κύρια διαγώνιο ίσα με 1 και όλα τα άλλα στοιχεία ίσα με 0. Στη συνέχεια, σε κάθε μήτρα ταυτότητας:
➝ Τύποι μήτρας ταυτότητας
Υπάρχουν πίνακες ταυτότητας διαφορετικών τάξεων. η σειρά n εκπροσωπείται από τον Ιn. Ας δούμε παρακάτω μερικούς πίνακες άλλων παραγγελιών.
Πίνακας ταυτότητας παραγγελίας 1:
\(I_1=\αριστερά[1\δεξιά]\)
Πίνακας ταυτότητας παραγγελίας 2:
\(I_2=\αριστερά[\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}\right]\)
Πίνακας ταυτότητας παραγγελίας 3:
\(I_3=\αριστερά[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right]\)
Πίνακας ταυτότητας παραγγελίας 4:
\(I_4=\αριστερά[\begin{matrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{matrix}\right]\)
Πίνακας ταυτότητας παραγγελίας 5:
\(I_5=\αριστερά[\αρχή{μήτρας}1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\\end{μήτρας}\δεξιά]\)
Διαδοχικά, μπορούμε να γράψουμε πίνακες ταυτότητας διαφορετικών τάξεων.
Ιδιότητες μήτρας ταυτότητας
Ο πίνακας ταυτότητας έχει μια σημαντική ιδιότητα, καθώς είναι το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού μεταξύ των πινάκων. Αυτό σημαίνει ότι οποιοσδήποτε πίνακας πολλαπλασιαζόμενος με τον πίνακα ταυτότητας είναι ίσος με τον εαυτό του. Έτσι, δεδομένου του πίνακα M της τάξης n,έχουμε:
\(I_n\cdot M=M\cdot I_n=M\)
Μια άλλη σημαντική ιδιότητα του πίνακα ταυτότητας είναι ότι το γινόμενο τετραγωνικού πίνακα και του αντίστροφη μήτρα είναι η μήτρα ταυτότητας. Δίνεται ένας τετραγωνικός πίνακας M τάξης n, το γινόμενο του M με το αντίστροφό του δίνεται από:
\(M\cdot M^{-1}=I_n\)
Διαβάστε επίσης: Τι είναι ένας τριγωνικός πίνακας;
Πολλαπλασιασμός του πίνακα ταυτότητας
Όταν πολλαπλασιάζουμε έναν πίνακα M με τον πίνακα ταυτότητας της τάξης n, παίρνουμε τον πίνακα M ως αποτέλεσμα. Ας δούμε, παρακάτω, ένα παράδειγμα του γινόμενου του πίνακα M τάξης 2 με τον πίνακα ταυτότητας της τάξης 2.
\(A\ =\ \αριστερά(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrix}\right) \) είναι \(I_n=\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}\right)\)
Υποθέτοντας ότι:
\(A\cdot I_n=B\)
Εχουμε:
\(B\ =\αριστερά(\αρχή{matrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\\\end{matrix}\right)\)
Άρα το γινόμενο του Α κατά \(Σε\) θα είναι:
\(b_{11}=1\cdot a_{11}\cdot1+0\cdot a_{12}=a_{11}\)
\(b_{12}=0\cdot a_{11}+1\cdot a_{12}=a_{12}\)
\(b_{21}=1\cdot a_{21}+0\cdot a_{22}=a_{21}\)
\(b_{22}=0\cdot a_{21}+1\cdot a_{22}=a_{22}\)
Σημειώστε ότι οι όροι του πίνακα Β είναι πανομοιότυποι με τους όρους του πίνακα Α, δηλαδή:
\(A\cdot I_n=\αριστερά[\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrix}\right]=A\)
Παράδειγμα:
Να εισαι Μ Η μήτρα \(M=\ \αριστερά[\αρχή{μήτρας}1&4&0\\2&5&3\\-3\ &-2&1\\\end{μήτρας}\δεξιά]\), υπολογίστε το γινόμενο μεταξύ του πίνακα Μ και η μήτρα \(I_3\).
Ανάλυση:
Κάνοντας τον πολλαπλασιασμό έχουμε:
\(M\cdot I_3=\left[\begin{matrix}1&4&0\\2&5&3\\-3\ &-2&1\\\end{matrix}\right]\cdot\left[\begin{matrix}1&0&0\\ 0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right]\)
\(M\cdot I_3=\left[\begin{matrix}1\ \cdot\ 1\ +\ 0\ \cdot\ 4\ +\ 0\ \cdot\ 0&1\cdot0\ +\ 4\ \cdot\ 1 \ +\ 0\cdot\ 0&1\cdot0+4\cdot0+0\cdot1\\2\cdot\ 1\ +\ 5\ \cdot\ 0\ +\ 3\ \cdot\ 0&2\ \cdot\ 0\ +\ 5\cdot1+3\cdot0&2\cdot0+5\cdot0+3\cdot1\\-3\cdot1+\left(-2\right)\cdot0+1\cdot0&-3\cdot0+\left(-2\right)\ cdot1+1\cdot0&-3\cdot0+\left(-2\right)\cdot0+1\cdot1\\\end{matrix}\right]\)
\(M\cdot I_3=\αριστερά[\begin{matrix}1&4&0\\2&5&3\\-3\ &-2&1\\\end{matrix}\right]\)
Λυμένες ασκήσεις στον πίνακα ταυτότητας
ερώτηση 1
Υπάρχει ένας τετραγωνικός πίνακας τάξης 3 που ορίζεται από \(a_{ij}=1 \) πότε \(i=j\) είναι \(a_{ij}=0\) είναι πότε \(i\neq j\). Αυτός ο πίνακας είναι σαν:
ΕΝΑ) \( \αριστερά[\begin{matrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\\\end{matrix}\right]\)
ΣΙ) \( \αριστερά[\begin{matrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\\\end{matrix}\right]\)
W) \( \αριστερά[\begin{matrix}0&1&1\\0&0&1\\0&0&1\\\end{matrix}\right]\)
ΡΕ) \( \αριστερά[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right]\)
ΚΑΙ) \( \αριστερά[\begin{matrix}1&0&0\\1&1&0\\1&1&1\\\end{matrix}\right]\)
Ανάλυση:
Εναλλακτική Δ
Αναλύοντας τον πίνακα, έχουμε:
\(a_{12}=a_{13}=a_{21}=a_{23}=a_{31}=a_{32}=0\)
\(a_{11}=a_{22}=a_{33}=1\)
Άρα, ο πίνακας είναι ίσος με:
\(\αριστερά[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right]\)
Ερώτηση 2
(UEMG) Αν ο αντίστροφος πίνακας του \(A=\αριστερά[\begin{matrix}2&3\\3&x\\\end{matrix}\right]\) é \( \αριστερά[\begin{matrix}5&-3\\-3&2\\\end{matrix}\right]\), η τιμή του x είναι:
Α) 5
Β) 6
Γ) 7
Δ) 9
Ανάλυση:
Εναλλακτική Α
Πολλαπλασιάζοντας τους πίνακες, συνειδητοποιούμε ότι το γινόμενο τους είναι ίσο με τον πίνακα ταυτότητας. Υπολογίζοντας το γινόμενο της δεύτερης σειράς του πίνακα με την πρώτη στήλη του αντιστρόφου του, έχουμε:
\(3\cdot5+x\cdot\αριστερά(-3\δεξιά)=0\)
\(15-3x=0\)
\(-\ 3x=0-15\ \)
\(-\ 3x=-\ 15\)
\(x=\frac{-15}{-3}\)
\(x=5\ \)
Του Ραούλ Ροντρίγκες ντε Ολιβέιρα
Καθηγητής μαθηματικών
Πηγή: Σχολείο Βραζιλίας - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-identidade.htm