Στη μελέτη των κύκλων, μια σημαντική έννοια που πρέπει να μελετηθεί είναι αυτή των εφαπτομένων γραμμών σε έναν κύκλο. Για τη διεξαγωγή αυτής της μελέτης, είναι απαραίτητο να κατανοήσουμε τις σχετικές θέσεις ενός σημείου σε σχέση με έναν κύκλο. Εάν δεν έχετε μελετήσει κάτι που σχετίζεται με αυτό το θέμα, ρίξτε μια ματιά στο άρθρο Σχετικές θέσεις μεταξύ ενός σημείου και ενός κύκλου.
Παρατηρώντας τη θέση ενός σημείου σε σχέση με έναν κύκλο, μπορούμε να συμπεράνουμε ορισμένα γεγονότα που σχετίζονται με εφαπτόμενες γραμμές. Είναι γνωστό ότι υπάρχουν τρεις σχετικές θέσεις από ένα σημείο σε έναν κύκλο. Για κάθε θέση αυτού, μπορούμε να συμπεράνουμε κάτι σχετικά με την εφαπτομένη γραμμή που περνά από αυτό το σημείο.
• Σημείο μέσα στον κύκλο: Δεν μπορείτε να σχεδιάσετε μια εφαπτομένη γραμμή από αυτό το σημείο.
• Σημείο που ανήκει στον κύκλο: μέσω αυτού του σημείου μπορούμε να έχουμε μόνο μια εφαπτομένη, καθώς είναι το σημείο εφαπτομένης.
• Σημείο έξω από τον κύκλο: από αυτό το σημείο μπορούμε να σχεδιάσουμε δύο γραμμές εφαπτόμενες στον κύκλο.
Επομένως, για να προσδιορίσουμε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραμμής σε έναν κύκλο μέσω ενός δεδομένου σημείου, πρέπει απαραίτητα να προσδιορίσουμε τη σχετική θέση αυτού του σημείου. Αυτή η θέση εξαρτάται από την απόσταση από το σημείο έως το κέντρο του κύκλου.
Πρέπει να θυμόμαστε ορισμένα σημαντικά γεγονότα σχετικά με την αναλυτική γεωμετρία:
• Η μικρότερη απόσταση από ένα σημείο σε μια γραμμή είναι ένα τμήμα κάθετο προς αυτήν τη γραμμή.
• Η εφαπτόμενη γραμμή θα είναι πάντα κάθετη προς την ακτίνα στο εφαπτόμενο σημείο της.
Σε σχέση με τα δύο προηγούμενα γεγονότα, μπορεί να δηλωθεί ότι η απόσταση από την εφαπτομένη γραμμή στο κέντρο πρέπει να είναι ίση με την ακτίνα.
Επομένως, για να προσδιορίσουμε την εξίσωση της εφαπτομένης γραμμής, πρέπει να αναλύσουμε τη θέση του σημείου που θα σχεδιάσουμε στη γραμμή και έτσι υπολογίστε την απόσταση της γραμμής που περιέχει αυτό το σημείο σε σχέση με το κέντρο του περιφέρεια.
Για καλύτερη κατανόηση όλων αυτών των εννοιών, θα εργαστούμε με παραδείγματα που χρειάζονται αυτές τις σκέψεις.
1) Προσδιορίστε την εξίσωση (ες) της εφαπτόμενης γραμμής με τον δεδομένο κύκλο, που σχεδιάζεται από το σημείο P.
α) ισοδ. περιφέρεια: x2+ ε2 - 6x - 8y = 0 P (0,0)
Με αυτό, μπορούμε να εξαγάγουμε τις απαραίτητες πληροφορίες για το πρόβλημά μας:
C (3,4), r = 5.
Πρέπει τώρα να βρούμε τη σχετική θέση του σημείου P (0,0):
Επομένως, το σημείο P είναι το σημείο εφαπτομένης.
Ας προσδιορίσουμε την εξίσωση της ευθείας γραμμής μέσω του σημείου P.
Για να προσδιορίσουμε πραγματικά την εξίσωση της γραμμής, πρέπει να μάθουμε ποια είναι η κλίση αυτής της γραμμής. Ένα από τα γεγονότα που είδαμε στην αρχή αυτού του άρθρου ήταν η κάθετη γραμμή της εφαπτομένης προς την ακτίνα του κύκλου. Το σημείο P είναι ένα σημείο εφαπτομένης, οπότε η κλίση της γραμμής που διέρχεται από το σημείο P και το κέντρο πρέπει να είναι κάθετη προς τη γραμμή εφαπτομένης. Γι 'αυτό έχουμε μια σχέση μεταξύ κάθετων πλαγιών.
Με άλλα λόγια, το προϊόν των πλαγιών κάθετων γραμμών είναι ίσο με -1.
Για να προσδιορίσουμε την κλίση του τμήματος του υπολογιστή, πρέπει να χρησιμοποιήσουμε την ακόλουθη έκφραση:
Με αυτό, λαμβάνουμε την εξίσωση της εφαπτομένης γραμμής:
Ένας άλλος τρόπος για να προσδιορίσετε την τιμή του m θα ήταν να υπολογίσετε την απόσταση από το κέντρο έως τη γραμμή. Αυτή η απόσταση είναι ίση με την ακτίνα. Ας δούμε:
Όταν το σημείο είναι έξω από τον κύκλο, θα πρέπει να βρούμε το σημείο εφαπτομένης χρησιμοποιώντας την απόσταση από το κέντρο του κύκλου έως το εφαπτομενική γραμμή, οπότε θα προσδιορίσουμε την τιμή του γωνιακού συντελεστή της εφαπτομένης γραμμής, η οποία, με τη σειρά της, θα καθορίσει την εξίσωση της γραμμής εφαπτομένος.
Από τον Gabriel Alessandro de Oliveira
Αποφοίτησε στα Μαθηματικά
Σχολική ομάδα της Βραζιλίας
Πηγή: Σχολείο της Βραζιλίας - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/tangencia-circunferencia.htm
