Για τον υπολογισμό των καθοριστικών τετραγωνικών πινάκων τάξης μικρότερης ή ίσης με 3 (n≤3), έχουμε ορισμένους πρακτικούς κανόνες για την εκτέλεση αυτών των υπολογισμών. Ωστόσο, όταν η παραγγελία είναι μεγαλύτερη από 3 (n> 3), πολλοί από αυτούς τους κανόνες δεν ισχύουν.
Έτσι θα δούμε το θεώρημα του Laplace, το οποίο, χρησιμοποιώντας την έννοια του συν-παράγοντα, οδηγεί τον υπολογισμό των καθοριστικών παραγόντων σε κανόνες που ισχύουν για κάθε τετράγωνο πίνακα.
Το θεώρημα του Laplace συνίσταται στην επιλογή μιας από τις σειρές (σειρά ή στήλη) του πίνακα και προσθήκη των προϊόντων των στοιχείων αυτής της σειράς από τους αντίστοιχους συντελεστές τους.
Αλγεβρική απεικόνιση:
Ας δούμε ένα παράδειγμα:
Υπολογίστε τον καθοριστικό παράγοντα του πίνακα C χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Laplace:
Σύμφωνα με το θεώρημα του Laplace, πρέπει να επιλέξουμε μια σειρά (γραμμή ή στήλη) για τον υπολογισμό του καθοριστικού παράγοντα. Ας χρησιμοποιήσουμε την πρώτη στήλη:
Πρέπει να βρούμε τις τιμές του συμπαράγοντα:
Έτσι, από το θεώρημα του Laplace, ο καθοριστής του πίνακα C δίνεται από την ακόλουθη έκφραση:
Σημειώστε ότι δεν ήταν απαραίτητο να υπολογιστεί ο συντελεστής του στοιχείου μήτρας που ήταν ίσος με το μηδέν, τελικά, όταν πολλαπλασιάζουμε τον συμπαράγοντα, το αποτέλεσμα θα ήταν ούτως ή άλλως μηδέν. Επομένως, όταν συναντάμε πίνακες που έχουν πολλά μηδενικά σε μία από τις σειρές τους, το Η χρήση του θεώρηματος του Laplace γίνεται ενδιαφέρουσα, καθώς δεν θα είναι απαραίτητο να υπολογιστούν πολλά συμπαράγοντες.
Ας δούμε ένα παράδειγμα αυτού του γεγονότος:
Υπολογίστε τον καθοριστικό παράγοντα του πίνακα B χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Laplace:
Σημειώστε ότι η δεύτερη στήλη είναι η σειρά που έχει τη μεγαλύτερη ποσότητα μηδενικών, οπότε θα χρησιμοποιήσουμε αυτήν τη σειρά για να υπολογίσουμε τον καθοριστικό πίνακα μέσω του θεώρημα του Laplace.
Επομένως, για να προσδιορίσετε τον καθοριστικό παράγοντα της μήτρας Β, απλώς βρείτε τον συμπαράγοντα Α22.
Επομένως, μπορούμε να ολοκληρώσουμε τους υπολογισμούς του καθοριστικού παράγοντα:
αποτ σι = (- 1). (- 65) = 65
Από τον Gabriel Alessandro de Oliveira
Αποφοίτησε στα Μαθηματικά
Σχολική ομάδα της Βραζιλίας
Πηγή: Σχολείο της Βραζιλίας - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-laplace.htm
