υπολογίστε το παραγοντικό ενός αριθμού έχει νόημα μόνο όταν εργαζόμαστε με φυσικούς αριθμούς. Αυτή η λειτουργία είναι αρκετά κοινή στο συνδυαστική ανάλυση, διευκόλυνση του υπολογισμού των ρυθμίσεων, των παραλλαγών, των συνδυασμών και άλλων προβλημάτων που συνεπάγονται καταμέτρηση. Το παραγοντικό είναι αντιπροσωπεύεται από το σύμβολο "!". Το ορίζουμε ως n! (n παραγοντικά) έως πολλαπλασιασμός του n από όλους τους προκατόχους του μέχρι να φτάσετε στο 1. όχι! = n · (n - 1) · (n - 2) ·… · 3 · 2 · 1.
Διαβάστε επίσης: Θεμελιώδης αρχή της μέτρησης - κύρια έννοια της συνδυαστικής ανάλυσης
Τι είναι το παραγοντικό;
Το Factorial είναι μια πολύ σημαντική λειτουργία για τη μελέτη και ανάπτυξη συνδυαστικής ανάλυσης. Στα μαθηματικά, ο αριθμός που ακολουθείται από το θαυμαστικό (!) είναι γνωστό ως παραγοντικό, για παράδειγμα x! (x παραγοντικό).
Γνωρίζουμε ως παράγοντας του α φυσικός αριθμός ο πολλαπλασιάζοντας αυτόν τον αριθμό με τους προκατόχους του εκτός από το μηδέν, δηλαδή:
όχι! = n · (n-1) · (n-2)… 3 · 2 · 1 |
Αξίζει να σημειωθεί ότι, για να έχει νόημα αυτή η επιχείρηση, το n είναι ένας φυσικός αριθμός, δηλαδή, δεν υπολογίζουμε τα παραγοντικά ενός αρνητικού αριθμού, ή ακόμη και ενός δεκαδικού αριθμού, ή των κλασμάτων.
παραγοντικός υπολογισμός
Για να βρείτε το παραγοντικό ενός αριθμού, απλά υπολογίστε το προϊόν Σημειώστε επίσης ότι το παραγοντικό είναι μια λειτουργία που, όταν αύξηση της τιμής του n, το αποτέλεσμα θα αυξηθεί επίσης πολύ.
Παραδείγματα:
4! =4 · 3 · 2 · 1 = 24
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1= 120
6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720
7! = 7· 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5040
Εξ ορισμού, έχουμε:
0! = 1
1! = 1
Παράγοντες πράξεις
Για την επίλυση των παραγοντικών λειτουργιών, είναι σημαντικό να προσέχετε να μην κάνετε λάθη. Όταν πρόκειται να προσθέσουμε, να αφαιρέσουμε ή να πολλαπλασιάσουμε δύο παραγοντικά, είναι απαραίτητο να υπολογίσουμε το καθένα ξεχωριστά. Μόνο το τμήμα έχει συγκεκριμένους τρόπους για την πραγματοποίηση απλουστεύσεων. Μην κάνετε το λάθος να εκτελέσετε τη λειτουργία και να διατηρήσετε το παραγοντικό, είτε για προσθήκη και αφαίρεση είτε για πολλαπλασιασμό.
2! + 3! ≠ 5!
4! · 2! ≠ 12!
7! – 5! ≠ 2!
Κατά την επίλυση οποιασδήποτε από αυτές τις λειτουργίες, πρέπει να υπολογίσουμε κάθε ένα από τα παραγοντικά.
Παραδείγματα:
Α2! + 3! = (2 · 1) + (3 · 2 · 1) = 2 + 6 = 8
β) 4! · 2! = (4 · 3 · 2 · 1) · (2 · 1) = 24 · 2 = 48.
γ) 7! - 5! =(7 · 6· 5· 4 · 3 · 2 · 1) - (5· 4 · 3 · 2 · 1) = 5040 – 120 = 4920.
Δείτε επίσης: Πώς να λύσετε την εξίσωση με τα παραγοντικά;
Παραγοντική απλοποίηση
Οι διαιρέσεις είναι αρκετά επαναλαμβανόμενες. Σε τύπους του συνδυασμός, ρύθμιση και παραλλαγή με επανάληψη, θα καταφεύγουμε πάντοτε σε απλοποίηση για την επίλυση προβλημάτων που αφορούν παραγοντικά. Για αυτό, ας ακολουθήσουμε μερικά βήματα.
Παράδειγμα:
1ο βήμα: προσδιορίστε το μεγαλύτερο από τα παραγοντικά - σε αυτήν την περίπτωση, είναι 8! Τώρα, κοιτάζοντας τον παρονομαστή, που είναι 5!, ας γράψουμε τον πολλαπλασιασμό του 8 από τους προκατόχους του μέχρι να φτάσουμε στο 5 !.
Το παραγοντικό ενός αριθμού n, δηλαδή, n!, μπορεί να ξαναγραφεί ως ο πολλαπλασιασμός του n στο k!. Ετσι,
όχι! = n · (n -1) · (n- 2) ·… · k!, οπότε ας ξαναγράψουμε το 8! όπως ο πολλαπλασιασμός από 8 έως 5 !.
8! = 8 · 7 · 6 · 5!
Ας ξαναγράψουμε τον λόγο ως:
2ο βήμα: μετά την επανεγγραφή του λόγος, είναι δυνατή η απλοποίηση του αριθμητή με τον παρονομαστή, από το 5! είναι τόσο στον αριθμητή όσο και στον παρονομαστή. Μετά την απλοποίηση, απλώς πραγματοποιήστε τον πολλαπλασιασμό.
Παράδειγμα 2:
Συνδυαστική ανάλυση και ανάλυση παραγόντων
Κατά την εκτέλεση του Περαιτέρω μελέτη σε συνδυαστική ανάλυση, το παραγοντικό ενός αριθμού θα εμφανίζεται πάντα. Οι κύριες ομαδοποιήσεις σε συνδυαστική ανάλυση, οι οποίες είναι παραλλαγή, συνδυασμός και διάταξη, χρησιμοποιούν τον παράγοντα ενός αριθμού στους τύπους τους.
Μετάθεση
Ο μετάθεση και το αναδιάταξη όλων των στοιχείων ενός συνόλου. Για τον υπολογισμό μιας παραλλαγής, καταφεύγουμε σε παραγοντικά, καθώς η παραλλαγή των n στοιχείων υπολογίζεται από:
Πόχι = ν!
Παράδειγμα:
Πόσα αναγράμματα μπορούμε να χτίσουμε με το όνομα HEITOR;
Αυτό είναι ένα τυπικό πρόβλημα παραλλαγής. Δεδομένου ότι υπάρχουν 6 γράμματα στο όνομα, για τον υπολογισμό του αριθμού των πιθανών αναγραμμάτων, απλώς υπολογίστε το P6.
Π6 = 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720
Επίσης πρόσβαση: Παραλλαγή με επαναλαμβανόμενα στοιχεία: πώς να το λύσετε;
Ετοιμασίες
Υπολογίζω ετοιμασίες Απαιτεί επίσης να ελέγχει το παραγοντικό ενός αριθμού. Η ρύθμιση, όπως η παραλλαγή, είναι ο σχηματισμός μιας αναδιάταξης. Η διαφορά είναι, στη ρύθμιση, αναδιατάσσουμε μέρος του σετ, δηλαδή, θέλουμε να μάθουμε πόσες πιθανές αναδιατάξεις μπορούμε να κάνουμε επιλέγοντας μια ποσότητα k από μία σειρά με στοιχεία n.
Παράδειγμα:
Σε μια εταιρεία, υπάρχουν 6 υποψήφιοι για τη διαχείριση του ιδρύματος και δύο θα επιλεγούν για τις θέσεις διευθυντή και αναπληρωτή διευθυντή. Γνωρίζοντας ότι θα εκλεγούν με ψηφοφορία, πόσα πιθανά αποτελέσματα υπάρχουν;
Σε αυτήν την περίπτωση, θα υπολογίσουμε τη διευθέτηση των 6 που λαμβάνονται από 2 προς 2, καθώς υπάρχουν 6 υποψήφιοι για δύο κενές θέσεις.
Συνδυασμός
Στον συνδυασμό, όπως και στους άλλους, είναι απαραίτητο να κυριαρχήσετε το παραγοντικό ενός αριθμού. Ορίζουμε ως συνδυασμό εσείς υποσύνολα ενός συνόλου. Η διαφορά είναι ότι, σε συνδυασμό, δεν υπάρχει αναδιάταξη, γιατί η παραγγελία δεν είναι σημαντική. Υπολογίζουμε λοιπόν πόσα υποσύνολα με στοιχεία k μπορούμε να σχηματίσουμε σε ένα σύνολο στοιχείων n.
Παράδειγμα:
Μια επιτροπή 3 μαθητών θα επιλεγεί για να εκπροσωπήσει την τάξη. Γνωρίζοντας ότι υπάρχουν 5 υποψήφιοι, πόσες προμήθειες μπορούν να σχηματιστούν;
Διαβάστε επίσης: Ρύθμιση ή συνδυασμός;
λύσεις ασκήσεις
Ερώτηση 1 - Σχετικά με το παραγοντικό ενός αριθμού, κρίνετε τις ακόλουθες δηλώσεις.
ΕΓΩ). 0! + 1! = 2
II). 5! - 3! = 2!
III) 2! · 4! = 8
Α) Μόνο είμαι αλήθεια.
Β) Το μόνο II είναι αλήθεια.
Γ) Μόνο το III είναι αλήθεια.
Δ) Μόνο τα I και II είναι αλήθεια.
Ε) Αληθεύουν μόνο τα II και II.
Ανάλυση
Εναλλακτική Α.
Αληθινά.
0! = 1
1! = 1
0! + 1! = 1+1 = 2
II) Λάθος.
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1= 120
3! = 3 · 2 · 1 = 6
5! – 3! = 120 – 6 = 114
III) Λάθος.
2! = 2 · 1
4! = 4 · 3 · 2 · 1= 24
Ερώτηση 2 - (UFF) Είναι το προϊόν 20 · 18 · 16 · 14… · 6 · 4 · 2 ισοδύναμο με;
Α) 20: 2
Β) 2 · 10!
Γ) 20: 210
Δ) 210· 10!
Ε) 20!: 10!
Ανάλυση
Εναλλακτική Δ.
Κοιτάζοντας το προϊόν όλων των ζυγών αριθμών από 2 έως 20, γνωρίζουμε ότι:
20 = 2 · 10
18 = 2 · 9
16 = 2 · 8
14 = 2 · 7
12 = 2 · 6
10 = 2 · 5
8 = 2 · 4
6 = 2 · 3
4 = 2 · 2
2 = 2 · 1
Έτσι μπορούμε να ξαναγράψουμε ως 210 · 10 · 9 · … ·2 · 1 = 210 · 10!
Του Raul Rodrigues de Oliveira
Καθηγητής μαθηματικών
