Παρεμβολή γεωμετρικών μέσων

Η γεωμετρική εξέλιξη είναι μια αριθμητική ακολουθία που σέβεται τον νόμο σχηματισμού. Σε μια PG, κάθε όρος, ξεκινώντας από τον δεύτερο, λαμβάνεται κάνοντας το προϊόν μεταξύ του προηγούμενου όρου και ενός σταθερού q. Αυτή η σταθερά q ονομάζεται λόγος γεωμετρικής προόδου. Γεωμετρικά μέσα παρεμβολής μεταξύ των δύο αριθμών α₁ και το_όχι σημαίνει τον προσδιορισμό των πραγματικών αριθμών που υπάρχουν μεταξύ του₁ και το_όχι έτσι ώστε η ακολουθία αριθμών να είναι PG.
Για να εκτελέσουμε την παρεμβολή γεωμετρικών μέσων πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τον γενικό τύπο του PG:

Για την παρεμβολή γεωμετρικών μέσων, είναι επίσης απαραίτητο να γνωρίζουμε την τιμή του λόγου PG.
Παράδειγμα 1. Ένα PG σχηματίζεται με 6 όρους, όπου το₁ = 4 και το₆ = 972. Προσδιορίστε τα γεωμετρικά μέσα που υπάρχουν μεταξύ του₁ και το₆.
Λύση: Για την παρεμβολή των γεωμετρικών μέσων μεταξύ 4 και 972 πρέπει να προσδιορίσουμε την τιμή του λόγου PG. Για αυτό, θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο γενικού όρου.

Γνωρίζουμε ότι ο λόγος PG είναι 3 και ότι κάθε όρος, ξεκινώντας από τον δεύτερο, επιτυγχάνεται κάνοντας το προϊόν μεταξύ του προηγούμενου όρου και του λόγου. Έτσι, θα έχουμε:

Παράδειγμα 2. Προσδιορίστε τους όρους που λείπουν στην ακολουθία αριθμών (3, _, _, _, _, _, _, _, _, 1536) έτσι ώστε να έχουμε μια γεωμετρική πρόοδο.
Λύση: Σημειώστε ότι η εύρεση των όρων που λείπουν στην ακολουθία με τα τελικά σημεία 3 και 1536 σημαίνει παρεμβολή γεωμετρικών μέσων. Επομένως, πρέπει να προσδιορίσουμε την τιμή της αναλογίας αυτού του PG.
Από την αριθμητική ακολουθία που δίνεται, γνωρίζουμε ότι το₁ = 3 και το₁₀ = 1536 (από το 1536 καταλαμβάνει τη δέκατη θέση στη σειρά). Χρησιμοποιώντας τον γενικό τύπο, θα έχουμε:

Μόλις γίνει γνωστή η τιμή του λόγου, μπορούμε να προσδιορίσουμε τους όρους που λείπουν στη σειρά:

Παράδειγμα 3. Μια βιομηχανία παρήγαγε 100 μονάδες προϊόντος τον Ιανουάριο. Τον Ιούλιο του ίδιου έτους, παρήγαγε 6400 μονάδες αυτού του προϊόντος. Προσδιορίστε πόσες μονάδες παρήχθησαν τους μήνες Φεβρουάριο έως Ιούνιο, γνωρίζοντας ότι οι ποσότητες που παρήχθησαν από τον Ιανουάριο έως τον Ιούλιο καθορίζουν μια PG.
Λύση: Σύμφωνα με τη δήλωση προβλήματος, η ακολουθία (100, _, _, _, _, _, 6400) είναι PG. Για να λύσουμε το πρόβλημα πρέπει να προσδιορίσουμε τους όρους που λείπουν σε αυτό το PG ή τα γεωμετρικά μέσα παρεμβολής μεταξύ 100 και 6400. Πρέπει λοιπόν να προσδιορίσουμε τον λόγο για αυτό το PG, όπου₁ = 100 και το₇ = 6400.

Γνωρίζοντας την αξία του λόγου, πρέπει:

Επομένως, η παραγωγή τον Φεβρουάριο ήταν 200 μονάδες. Ο Μάρτιος ήταν 400 μονάδες. Ο Απρίλιος ήταν 800 μονάδες. Ο Μάιος ήταν 1600 μονάδες. και ο Ιούνιος ήταν 3200 μονάδες.

Από τον Marcelo Rigonatto
Ειδικός στη Στατιστική και Μαθηματική Μοντελοποίηση
Σχολική ομάδα της Βραζιλίας

Προόδους - Μαθηματικά - Σχολείο της Βραζιλίας

Πηγή: Σχολείο της Βραζιλίας - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/interpolacao-meios-geometricos.htm