Ο λειτουργία ένεσης, επίσης γνωστή ως η ενέσιμη λειτουργία, είναι μια συγκεκριμένη περίπτωση λειτουργίας. Για να θεωρηθεί μια λειτουργία ενέσιμη, πρέπει να έχουμε την ακόλουθη εμφάνιση: με δύο στοιχεία, x1 και x2, ανήκει στο σύνολο τομέα, με x1 διαφορετικό από το x2, εικόνες f (x1) και f (x2) είναι πάντα διακριτοί, δηλαδή, f (x1) ≠ f (x2). Αυτή η συνάρτηση έχει συγκεκριμένα χαρακτηριστικά που επιτρέπουν την αναγνώριση του γραφήματος και επίσης την ανάλυση του νόμου σχηματισμού.
Διαβάστε επίσης: Domain, contra-domain και image - βασικοί όροι για την κατανόηση του περιεχομένου των συναρτήσεων
Τι είναι η λειτουργία ένεσης;
Για να δημιουργήσετε μερικά παραδείγματα της λειτουργίας εγχυτήρα, είναι σημαντικό να κατανοήσετε τον ορισμό αυτού του τύπου λειτουργίας. Μια συνάρτηση φά: A → B ταξινομείται ως ενέσιμο εάν, και μόνο εάν, στοιχεία διαφορετικά από το σετ Α έχουν διαφορετικές εικόνες στο σύνολο Β, δηλαδή:
Παράδειγμα 1:
Ακολουθεί ένα παράδειγμα λειτουργίας εγχυτή στο ρεδιάγραμμαόχιόχι:
Παράδειγμα 2:
Παρακάτω είναι ένα παράδειγμα μιας λειτουργίας χωρίς ένεση. Σημειώστε ότι στο σειρά Α, υπάρχουν δύο ξεχωριστά στοιχεία που έχουν την ίδια εικόνα στο σύνολο Β, το οποίο έρχεται σε αντίθεση με τον ορισμό της λειτουργίας του εγχυτήρα.
Πώς να υπολογίσετε μια λειτουργία εγχυτήρα;
Για να επαληθεύσετε εάν μια συνάρτηση πραγματοποιεί ένεση ή όχι, είναι απαραίτητο να αναλύσετε τη συμπεριφορά του νόμου σχηματισμού, καθώς και τον τομέα και τον αντίθετο τομέα στον οποίο ορίζεται η συνάρτηση.
Παράδειγμα:
δεδομένης της συνάρτησης φά: R → R, με τον νόμο σχηματισμού φά(x) = 2x, ελέγξτε αν είναι εγχυτήρας.
Από το νόμο περί σχηματισμού, μπορούμε να δούμε ότι χρειάζεται ένα πραγματικός αριθμός του τομέα και το μετατρέπει σε διπλό. Δύο διαφορετικοί πραγματικοί αριθμοί, όταν πολλαπλασιαστούν με δύο, αποφέρουν διαφορετικά αποτελέσματα. Ο κατοχήφά, όπως μπορούμε να δούμε, είναι μια συνάρτηση εγχυτήρα, αφού για δύο τιμές x1 και x2,η αξία του φά(Χ1) ≠ φά(Χ2).
Παράδειγμα 2:
δεδομένης της συνάρτησης φά: R → R, με νόμο σχηματισμού φά(x) = x², ελέγξτε αν είναι εγχυτήρας.
Μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι, για αυτόν τον τομέα, αυτή η συνάρτηση δεν είναι ενέσιμη, καθώς έχουμε ότι η εικόνα οποιουδήποτε αριθμού είναι ίση με την εικόνα του αντίθετου, για παράδειγμα:
φά( 2) = 2² = 4
φά( --2 ) = (– 2) ² = 4
σημειώστε ότι φά(2) = φά (- 2), το οποίο έρχεται σε αντίθεση με τον ορισμό της λειτουργίας εγχυτήρα.
Παράδειγμα 3:
δεδομένης της συνάρτησης φά: Ρ+ → R, με νόμο σχηματισμού φά(x) = x², ελέγξτε αν είναι εγχυτήρας.
Σημειώστε ότι τώρα ο τομέας είναι οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί και μηδέν. Η συνάρτηση μετατρέπει τον πραγματικό αριθμό στο τετράγωνό της. Σε αυτήν την περίπτωση, όταν ο τομέας είναι το σύνολο των θετικών πραγματικών αριθμών, αυτή η συνάρτηση είναι ενέσιμη, επειδή το τετράγωνο δύο διακριτών θετικών αριθμών θα παράγει πάντα διαφορετικά αποτελέσματα. Επομένως, είναι πολύ σημαντικό να θυμόμαστε ότι, εκτός από τον νόμο για τη διαμόρφωση λειτουργιών, πρέπει να αναλύσουμε τον τομέα και τον αντίθετο τομέα.
Διαβάστε επίσης: Τι είναι μια αντίστροφη συνάρτηση;
Διάγραμμα λειτουργίας έγχυσης
Για να προσδιορίσετε εάν το γράφημα είναι μια λειτουργία εγχυτήρα ή όχι, απλώς ελέγξτε αν υπάρχουν δύο ξεχωριστές τιμές x που δημιουργούν τον ίδιο ανταποκριτή y, δηλαδή, ελέγξτε την εγκυρότητα του ορισμού της λειτουργίας εγχυτήρα.
Στο εύρος όπου πρόκειται να δούμε το γράφημα, η συνάρτηση πρέπει να αυξάνεται ή να μειώνεται αποκλειστικά. Γραφικά όπως το παραβολή ή η ημιτονοειδής λειτουργία δεν είναι γραφικές παραστάσεις των λειτουργιών εγχυτήρων.
Παράδειγμα 1:
Η ανερχόμενη γραμμή είναι το γράφημα μιας συνάρτησης ένεσης. Σημειώστε ότι αυξάνεται πάντα και ότι δεν υπάρχει τιμή y που έχει δύο ξεχωριστούς ανταποκριτές.
Παράδειγμα 2:
Το γράφημα του a εκθετικη συναρτηση είναι επίσης το γράφημα μιας λειτουργίας εγχυτήρα.
Παράδειγμα 3:
Το γράφημα του a τετραγωνική λειτουργία είναι πάντα μια παραβολή. Όταν ο τομέας περιλαμβάνει τους πραγματικούς αριθμούς, είναι δυνατό να διαπιστωθεί ότι υπάρχουν διαφορετικές τιμές x που έχουν το ίδια που αντιστοιχεί στο y, όπως στα σημεία F και G, που κάνει αυτό το γράφημα μιας συνάρτησης που δεν είναι εγχυνών.
Συνοπτικά, για να γνωρίζετε εάν το γράφημα είναι ή όχι μιας λειτουργίας εγχυτήρα, αρκεί να ελέγξετε αν ο ορισμός μιας συνάρτησης εγχυτήρα είναι έγκυρος ή όχι για αυτήν τη συνάρτηση.
Οι ασκήσεις λύθηκαν
Ερώτηση 1 - (Enem 2017 - PPL) Κατά το πρώτο έτος του γυμνασίου σε ένα σχολείο, είναι σύνηθες για τους μαθητές να χορεύουν τετραγωνικούς χορούς στο πάρτι του Ιουνίου. Φέτος, υπάρχουν 12 κορίτσια και 13 αγόρια στην τάξη, και 12 διαφορετικά ζευγάρια δημιουργήθηκαν για τη συμμορία, αποτελούμενη από ένα κορίτσι και ένα αγόρι. Ας υποθέσουμε ότι τα κορίτσια είναι τα στοιχεία που συνθέτουν το σετ Α και τα αγόρια, το σετ Β, έτσι ώστε τα ζευγάρια που σχηματίζονται να αντιπροσωπεύουν μια συνάρτηση f από το Α έως το Β.
Με βάση αυτές τις πληροφορίες, η ταξινόμηση του τύπου της συνάρτησης που υπάρχει σε αυτήν τη σχέση είναι
A) f είναι ενέσιμο, επειδή για κάθε κορίτσι που ανήκει στο σετ Α, σχετίζεται ένα διαφορετικό αγόρι που ανήκει στο σετ Β.
B) το f είναι επίθετο, αφού κάθε ζευγάρι σχηματίζεται από ένα κορίτσι που ανήκει στο σετ Α και ένα αγόρι που ανήκει στο σετ Β, αφήνοντας ένα ζευγάρι χωρίς ζεύγη.
Το C) f κάνει την ένεση, όπως και τα δύο κορίτσια που ανήκουν στο σετ Α ζευγαριού με το ίδιο αγόρι που ανήκει στο σετ Β, για να εμπλέξουν όλους τους μαθητές στην τάξη.
D) f είναι bijective, αφού δύο αγόρια που ανήκουν στο σετ B σχηματίζουν ένα ζευγάρι με το ίδιο κορίτσι που ανήκει στο σετ A.
Το E) f είναι επίθετο, καθώς αρκεί ένα κορίτσι από το σετ Α να σχηματίσει ένα ζευγάρι με δύο αγόρια από το σετ Β, έτσι ώστε κανένα αγόρι να μην είναι χωρίς ζευγάρι.
Ανάλυση
Εναλλακτική Α.
Αυτή η συνάρτηση είναι ενέσιμη επειδή, για κάθε στοιχείο του συνόλου Α, υπάρχει ένας απλός ανταποκριτής στο σύνολο Β. Σημειώστε ότι δεν υπάρχει δυνατότητα δύο κοριτσιών να χορέψουν με το ίδιο ζευγάρι, οπότε αυτή η σχέση ενέχει.
Ερώτηση 2 - (IME - RJ) Εξετάστε τα σύνολα A = {(1,2), (1,3), (2,3)} και B = {1, 2, 3, 4, 5} και αφήστε τη συνάρτηση f: A → B έτσι ώστε f (x, y) = x + y.
Είναι δυνατόν να πούμε ότι το f είναι συνάρτηση:
Α) εγχυτήρας.
Β) επίθετο.
Γ) διάχυτο.
Δ) παρ.
Ε) περίεργο.
Ανάλυση
Εναλλακτική Α.
Αναλύοντας τον τομέα, πρέπει:
f (1.2) = 1 + 2 = 3
f (1,3) = 1 + 3 = 4
f (2,3) = 2 + 3 = 5
Σημειώστε ότι για οποιουσδήποτε δύο διαφορετικούς όρους στον τομέα, σχετίζονται με διακριτούς όρους στον αντίθετο τομέα, γεγονός που καθιστά αυτή τη λειτουργία έναν εγχυτήρα.
Του Raul Rodrigues de Oliveira
Καθηγητής μαθηματικών
Πηγή: Σχολείο της Βραζιλίας - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-injetora.htm
