Υπερβολή. ορισμός της υπερβολής

Τι είναι η υπερβολή;
Ορισμός: Αφήστε τα F1 και F2 να είναι δύο σημεία στο επίπεδο και αφήστε το 2c να είναι η απόσταση μεταξύ τους, το hyperbola είναι το σετ των σημείων στο επίπεδο των οποίων η διαφορά (στη μονάδα) των αποστάσεων προς F1 και F2 είναι η σταθερά 2a (0 <2a <2c).
Στοιχεία του Hyperbole:

Οι F1 και F2 → είναι οι εστίες της υπερβολής
→ είναι το κέντρο της υπερβολής
2c → εστιακό μήκος
2η μέτρηση πραγματικού ή εγκάρσιου άξονα
2β → μέτρηση φανταστικού άξονα
c / a → εκκεντρότητα
Υπάρχει σχέση μεταξύ a, b και c → c² = το² + β²

Μειωμένη εξίσωση υπερβολής
1η περίπτωση: Hyperbola με εστίαση στον άξονα x.

Είναι σαφές ότι σε αυτήν την περίπτωση οι εστίες θα έχουν συντεταγμένες F1 (-c, 0) και F2 (c, 0).
Έτσι, η μειωμένη εξίσωση της έλλειψης με το κέντρο στην αρχή του καρτεσιανού επιπέδου και εστιάζει στον άξονα x θα είναι:

2η περίπτωση: Hyperbola με εστίες στον άξονα y.

Σε αυτήν την περίπτωση, οι εστίες θα έχουν συντεταγμένες F1 (0, -c) και F2 (0, c).
Έτσι, η μειωμένη εξίσωση της έλλειψης με το κέντρο στην αρχή του καρτεσιανού επιπέδου και εστιάζει στον άξονα y θα είναι:

Παράδειγμα 1. Βρείτε τη μειωμένη εξίσωση της υπερβολής με πραγματικό άξονα 6, εστίες F1 (-5, 0) και F2 (5, 0).
Λύση: Πρέπει
2α = 6 → α = 3
F1 (-5, 0) και F2 (5, 0) → c = 5
Από την αξιοσημείωτη σχέση, αποκτούμε:
ντο² = το² + β^2 → 5² = 3² + β² → β² = 25 - 9 → β² = 16 → b = 4
Έτσι, η μειωμένη εξίσωση θα δοθεί από:

Παράδειγμα 2. Βρείτε τη μειωμένη εξίσωση υπερβολής που έχει δύο εστίες με συντεταγμένες F2 (0, 10) και φανταστικό άξονα μέτρησης 12.
Λύση: Πρέπει
F2 (0, 10) → c = 10
2b = 12 → b = 6
Χρησιμοποιώντας την αξιοσημείωτη σχέση, αποκτούμε:
10² = το² + 6² → 100 = α² + 36 → α² = 100 - 36 → α² = 64 → α = 8.
Έτσι, η μειωμένη εξίσωση υπερβάλλων θα δοθεί από:

Παράδειγμα 3. Προσδιορίστε το εστιακό μήκος της υπερβολής με εξίσωση
Λύση: Δεδομένου ότι η εξίσωση υπερβολή είναι τύπου  Πρεπει να
ο² = 16 και b² =9
Από την αξιοσημείωτη σχέση που έχουμε
ντο² = 16 + 9 → γ² = 25 → c = 5
Το εστιακό μήκος δίνεται από 2c. Ετσι,
2c = 2 * 5 = 10
Έτσι, το εστιακό μήκος είναι 10.

Από τον Marcelo Rigonatto
Ειδικός στη Στατιστική και Μαθηματική Μοντελοποίηση
Σχολική ομάδα της Βραζιλίας

Αναλυτική Γεωμετρία - Μαθηματικά - Σχολείο της Βραζιλίας