συμμετρική μήτρα είναι αρχηγείο στην οποία κάθε στοιχείο \(a_{ij}\) είναι ίσο με το στοιχείο \(a_{ji}\) για όλες τις τιμές των i και j. Κατά συνέπεια, κάθε συμμετρικός πίνακας είναι ίσος με τη μετάθεσή του. Αξίζει επίσης να αναφέρουμε ότι κάθε συμμετρικός πίνακας είναι τετράγωνος και ότι η κύρια διαγώνιος λειτουργεί ως άξονας συμμετρίας.
Διαβάστε επίσης:Πρόσθεση και αφαίρεση πίνακα — πώς να υπολογίσετε;
Περίληψη για τη συμμετρική μήτρα
Σε έναν συμμετρικό πίνακα, \(a_{ij}=a_{ji}\) για όλα τα i και j.
Κάθε συμμετρικός πίνακας είναι τετράγωνος.
Κάθε συμμετρικός πίνακας είναι ίσος με τη μετάθεσή του.
Τα στοιχεία ενός συμμετρικού πίνακα είναι συμμετρικά ως προς την κύρια διαγώνιο.
Ενώ στον συμμετρικό πίνακα \(a_{ij}=a_{ji}\) για όλα τα i και j? σε έναν αντισυμμετρικό πίνακα, \(a_{ij}=-a_{ji}\) για όλα τα i και j.
Τι είναι ένας συμμετρικός πίνακας;
Ένας συμμετρικός πίνακας είναι ένας τετραγωνικός πίνακας όπου \(\mathbf{a_{ij}=a_{ji}}\) για κάθε i και κάθε j. Αυτό σημαίνει ότι \(a_{12}=a_{21},a_{23}=a_{32},a_{13}=a_{13}\)
, και ούτω καθεξής, για όλες τις πιθανές τιμές των i και j. Θυμηθείτε ότι οι πιθανές τιμές του i αντιστοιχούν στις σειρές του πίνακα και οι πιθανές τιμές του j αντιστοιχούν στις στήλες του πίνακα.Παραδείγματα συμμετρικών πινάκων
\(\begin{bmatrix} 5 & 9 \\ 9 & 3 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} -2 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 3 \\ 7 & 3 & 8 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} a & b & c \\ b & d & e \\ c & e & f \\ \end{bmatrix}\)
Παραδείγματα μη συμμετρικών πινάκων (βλ \(\mathbf{b≠g}\))
\(\begin{bmatrix} 5 & 8 \\ 9 & 3 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} -2 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 3 \\ 4 & 3 & 8 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} a & g & c \\ b & d & e \\ c & e & f \\ \end{bmatrix}\)
Σπουδαίος: Το να πούμε ότι ένας πίνακας δεν είναι συμμετρικός σημαίνει να το δείχνεις αυτό \(a_{ij}≠a_{ji}\) για τουλάχιστον μερικά i και j (που μπορούμε να δούμε συγκρίνοντας τα προηγούμενα παραδείγματα). Αυτό είναι διαφορετικό από την έννοια του αντισυμμετρικού πίνακα, που θα δούμε αργότερα.
Ποιες είναι οι ιδιότητες του συμμετρικού πίνακα;
Κάθε συμμετρικός πίνακας είναι τετράγωνος
Σημειώστε ότι ο ορισμός ενός συμμετρικού πίνακα βασίζεται σε τετράγωνους πίνακες. Έτσι, κάθε συμμετρικός πίνακας έχει τον ίδιο αριθμό σειρών με τον αριθμό των στηλών.
Κάθε συμμετρικός πίνακας είναι ίσος με τη μετάθεσή του
Αν το Α είναι μήτρα, είναι μεταφέρθηκε (\(A^T\)) ορίζεται ως ο πίνακας του οποίου οι σειρές είναι οι στήλες του Α και του οποίου οι στήλες είναι οι σειρές του Α. Άρα, αν το Α είναι συμμετρικός πίνακας, έχουμε \(A=A^T\).
Στον συμμετρικό πίνακα, τα στοιχεία «αντανακλώνται» σε σχέση με την κύρια διαγώνιο
Οπως και \(a_{ij}=a_{ji}\) σε έναν συμμετρικό πίνακα, τα στοιχεία πάνω από την κύρια διαγώνιο είναι «αντανακλάσεις» των στοιχείων παρακάτω της διαγωνίου (ή αντίστροφα) σε σχέση με τη διαγώνιο, έτσι ώστε η κύρια διαγώνιος να λειτουργεί ως άξονας συμμετρία.
Ποιες είναι οι διαφορές μεταξύ του συμμετρικού πίνακα και του αντισυμμετρικού πίνακα;
Αν το Α είναι συμμετρικός πίνακας, τότε \(a_{ij}=a_{ji}\) για όλα i και όλα j, όπως μελετήσαμε. Στην περίπτωση του αντισυμμετρικού πίνακα, η κατάσταση είναι διαφορετική. Αν το Β είναι αντισυμμετρικός πίνακας, τότε \(\mathbf{b_{ij}=-b_{ji}}\) για κάθε i και κάθε j.
Σημειώστε ότι αυτό έχει ως αποτέλεσμα \(b_{11}=b_{22}=b_{33}=⋯=b_{nn}=0\), αυτό είναι, τα κύρια διαγώνια στοιχεία είναι μηδέν. Συνέπεια αυτού είναι ότι η μετάθεση ενός αντισυμμετρικού πίνακα είναι ίση με το αντίθετό του, δηλαδή εάν το Β είναι αντισυμμετρικός πίνακας, τότε \(B^T=-B\).
Παραδείγματα αντισυμμετρικών πινάκων
\(\begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & 5 & -1 \\ -5 & 0 & 4 \\ 1 & -4 & 0 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & -m & x \\ m & 0 & -y \\ -x & y & 0 \\ \end{bmatrix}\)
Δείτε επίσης: Πίνακας ταυτότητας — ο πίνακας στον οποίο τα κύρια διαγώνια στοιχεία είναι ίσα με 1 και τα υπόλοιπα στοιχεία είναι ίσα με 0
Λυμένες ασκήσεις συμμετρικού πίνακα
ερώτηση 1
(Unicentro)
αν η μήτρα \(\αρχή{bmatrix} 1 & x & y-1 \\ y-1 & 0 & x+5 \\ x & 7 & -1 \\ \end{bmatrix}\) είναι συμμετρική, οπότε η τιμή του xy είναι:
Α) 6
Β) 4
Γ) 2
Δ) 1
Ε) -6
Ανάλυση:
Εναλλακτική Α
Εάν ο δεδομένος πίνακας είναι συμμετρικός, τότε τα στοιχεία σε συμμετρικές θέσεις είναι ίσα (\(a_{ij}=a_{ji}\)). Επομένως, πρέπει:
\(x = y - 1\)
\(x + 5 = 7\)
Αντικατάσταση του πρώτου εξίσωση στο δεύτερο συμπεραίνουμε ότι \(y=3\), σύντομα:
\(x=2\) είναι \(xy=6\)
Ερώτηση 2
(UFSM) Γνωρίζοντας ότι η μήτρα \(\begin{bmatrix} Y & 36 & -7 \\ x^2 & 0 & 5x \\ 4-y & -30 & 3 \\ \end{bmatrix}\) ισούται με τη μεταφορά του, την τιμή του \(2x+y\) é:
Α) -23
Β) -11
Γ) -1
Δ) 11
Ε) 23
Ανάλυση:
Εναλλακτική Γ
Δεδομένου ότι ο δεδομένος πίνακας είναι ίσος με τη μετάθεσή του, τότε είναι ένας συμμετρικός πίνακας. Έτσι, τα στοιχεία σε συμμετρικές θέσεις είναι ίσα (\(a_{ij}=a_{ji}\)), δηλαδή:
\(x^2=36\)
\(4-ε=-7\)
\(-30=5x\)
Με την πρώτη εξίσωση, x=-6 ή x=6. Με την τρίτη εξίσωση παίρνουμε τη σωστή απάντηση: x= -6. Με τη δεύτερη εξίσωση, y=11.
Σύντομα:
\(2x+y=2.(-6)+11=-1\)
Της Maria Luiza Alves Rizzo
Μαθηματικός
Πηγή: Σχολείο Βραζιλίας - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-simetrica.htm
