Ο αποθεμα ενός πολυγώνου είναι ένα τμήμα με άκρα στο κέντρο του πολυγώνου και στο μέσο μιας από τις πλευρές του. Αυτό το τμήμα σχηματίζει γωνία 90° με την αντίστοιχη πλευρά του πολυγώνου.
Για τον υπολογισμό του μέτρου του αποθέματος, είναι απαραίτητο να ληφθούν υπόψη τα χαρακτηριστικά του εν λόγω πολυγώνου. Ανάλογα με το γεωμετρικό σχήμα, είναι δυνατό να κατασκευαστεί ένας τύπος για να ληφθεί αυτό το μέτρο. Μια σημαντική παρατήρηση είναι ότι το μέτρο του αποθέματος ενός κανονικού πολυγώνου είναι ίσο με το μέτρο της ακτίνας της περιφέρειας που εγγράφεται στο πολύγωνο.
Διαβάστε επίσης: Τι είναι η διχοτόμος;
Θέματα αυτού του άρθρου
- 1 - Σύνοψη για το αποθέμα
- 2 - Παραδείγματα αποθέματος
-
3 - Ποιοι είναι οι τύποι του αποθέματος;
- Τύπος αποθέματος ισόπλευρου τριγώνου
- Apothem of the Square Formula
- Κανονικός τύπος εξάγωνου αποθέματος
- Φόρμουλα Pyramid Apothem
- 4 - Πώς υπολογίζεται το απόθεμα;
- 5 - Λυμένες ασκήσεις για το απόθεμα
Σύνοψη για το αποθέμα
Το απόθεμα είναι το τμήμα ενός πολυγώνου που συνδέει το κέντρο (σημείο συνάντησης κάθετων διχοτόμων) με το μέσο μιας από τις πλευρές.
Η γωνία μεταξύ του αποθέματος και της αντίστοιχης πλευράς του πολυγώνου είναι 90°.
Το μέτρο του αποθέματος ενός κανονικού πολυγώνου είναι ίσο με το μέτρο της ακτίνας του κύκλου που εγγράφεται στο πολύγωνο.
Το απόθεμα ΟΜ ισόπλευρου τριγώνου πλευράς μεγάλο δίνεται από τον τύπο
\(OM = \frac{l\sqrt3}6\)
Το απόθεμα ΟΜ ενός τετραγώνου πλευράς μεγάλο δίνεται από τον τύπο
\(OM = \frac{l}2\)
Το απόθεμα ΟΜ ενός κανονικού εξαγώνου στη μία πλευρά μεγάλο δίνεται από τον τύπο
\(OM = \frac{l\sqrt3}2\)
Το απόθεμα μιας πυραμίδας είναι το τμήμα που ενώνει την κορυφή με το μέσο ενός από τα άκρα της βάσης και το μέτρο του μπορεί να ληφθεί από το Πυθαγόρειο θεώρημα.
Μη σταματάς τώρα… Υπάρχουν περισσότερα μετά τη δημοσιότητα ;)
Παραδείγματα αποθέματος
Για να βρούμε το απόθεμα ενός πολυγώνου, πρέπει να κατασκευάσουμε το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει το κέντρο του πολυγώνου με το μέσο μιας από τις πλευρές. Θυμηθείτε ότι το κέντρο ενός πολυγώνου είναι εκεί που συναντώνται οι διχοτόμοι.
Σε αυτά τα παραδείγματα, το απόθεμα θεωρήθηκε σε επίπεδα πολύγωνα. Ωστόσο, υπάρχει ένα διαστημικό αντικείμενο που έχει ένα διαφορετικό είδος αποθέματος: η πυραμίδα.
Σε μια πυραμίδα, υπάρχουν δύο τύποι αποθέματος: το απόθεμα της βάσης, που είναι το απόθεμα του πολυγώνου που σχηματίζει τη βάση της πυραμίδας, και το απόθεμα της πυραμίδας, που είναι το τμήμα που ενώνει την κορυφή με το μέσο μιας ακμής βάσης (δηλαδή είναι το ύψος μιας πλευρικής όψης της βάσης). πυραμίδα).
Στο παράδειγμα της τετραγωνικής βάσης παρακάτω, το τμήμα OM είναι το απόθεμα της βάσης και το τμήμα VM είναι το απόθεμα της πυραμίδας, με το M να είναι το μέσο του BC.
Ποιοι είναι οι τύποι του αποθέματος;
Γνωρίζοντας τα χαρακτηριστικά ενός πολυγώνου, ειδικά των κανονικών πολυγώνων, μπορούμε να αναπτύξουμε τύπους για τον υπολογισμό του μέτρου του αποθέματος. Ας δούμε ποιοι είναι αυτοί οι τύποι για τα κύρια κανονικά πολύγωνα.
Τύπος αποθέματος ισόπλευρου τριγώνου
Στο περίπτωση ισόπλευρου τριγώνου, το ύψος και η διάμεσος σε σχέση με μια δεδομένη πλευρά είναι τα ίδια. Αυτό σημαίνει ότι το κέντρο του πολυγώνου συμπίπτει με το barycenter του τριγώνου. Έτσι, το σημείο Ο διαιρεί το ύψος ΑΜ ως εξής:
\(AO = \frac{2}3 π.μ.\) είναι \(OM=\frac{1}3 π.μ.\)
Να θυμάστε ότι το μέτρο του ύψος ισόπλευρου τριγώνου μεγάλο δίνεται από:
\(Ύψος\ τρίγωνο\ ισόπλευρο=\frac{l\sqrt3}2\)
Επομένως, καθώς ΑΜ είναι το ύψος του ισόπλευρου τριγώνου ABC και το τμήμα ΟΜ είναι το απόθεμα του τριγώνου, μπορούμε να επεξεργαστούμε την ακόλουθη έκφραση για το μέτρο του ΟΜ, λαμβάνοντας υπόψη ότι η πλευρά του τριγώνου μετρά μεγάλο:
\(OM =\frac{1}3 AM = \frac{1}3 ⋅\frac{l\sqrt3}2\)
\(OM = \frac{l\sqrt3}6\)
Apothem of the Square Formula
Στην περίπτωση της πλατείας, το μέτρο του αποθέματος αντιστοιχεί στο μισό μήκος της πλευράς. Έτσι, αν το Ο είναι το κέντρο του τετραγώνου, το M είναι το μέσο μιας από τις πλευρές και μεγάλο είναι το μήκος της πλευράς του τετραγώνου, οπότε ο τύπος για το απόθεμα ΟΜ είναι
\(OM=\frac{l}2\)
Κανονικός τύπος εξάγωνου αποθέματος
Στο κανονικό εξάγωνο, το απόθεμα αντιστοιχεί στο ύψος ενός ισόπλευρου τριγώνου με κορυφές στα δύο άκρα μιας από τις πλευρές και στο κέντρο του πολυγώνου. Στο παρακάτω παράδειγμα, το απόθεμα OM του κανονικού εξαγώνου είναι το ύψος του ισόπλευρου τριγώνου OCD, όπου M είναι το μέσο του CD.
Όπως προαναφέραμε, το υψόμετρο ενός ισόπλευρου τριγώνου είναι γνωστό. Έτσι, αν μετράει η πλευρά ενός κανονικού εξαγώνου μεγάλο, τότε ο τύπος για το απόθεμα OM είναι
\(OM =\frac{l\sqrt3}2\)
Φόρμουλα Pyramid Apothem
Το μέτρο του αποθέματος της πυραμίδας μπορεί να ληφθεί με το Βοήθεια του Πυθαγόρειου Θεωρήματος. Στο παρακάτω παράδειγμα, σε μια τετράγωνη πυραμίδα, το τρίγωνο VOM είναι ένα ορθογώνιο, με σκέλη VO και OM και υποτείνουσα VM. Σημειώστε ότι το VO είναι το ύψος της πυραμίδας, το OM είναι το απόθεμα της βάσης και το VM είναι το απόθεμα της πυραμίδας.
Έτσι, για να προσδιορίσουμε το μέτρο του αποθέματος της πυραμίδας, πρέπει να εφαρμόσουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα:
\((VM)^2=(VO)^2+(OM)^2\)
Προσεκτικός! Το VM είναι το ύψος ενός ισοσκελούς τριγώνου, όχι ενός ισόπλευρου τριγώνου. Άρα, σε αυτή την περίπτωση, δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για το ύψος ενός ισόπλευρου τριγώνου.
Πώς υπολογίζεται το απόθεμα;
Για να υπολογίσουμε το απόθεμα ενός πολυγώνου ή της πυραμίδας, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τους κατασκευασμένους τύπους ή να συσχετίσουμε το απόθεμα με την ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου.
Παράδειγμα 1: Ας υποθέσουμε ότι ένας κύκλος ακτίνας 3 cm είναι εγγεγραμμένος σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο. Ποιο είναι το μέτρο του αποθέματος αυτού του τριγώνου;
Καθώς το απόθεμα ενός πολυγώνου έχει το ίδιο μέτρο με την ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου, το απόθεμα του τριγώνου είναι 3 cm.
Παράδειγμα 2: Ποιο είναι το μέτρο του αποθέματος ενός κανονικού εξαγώνου με πλευρά 4 cm;
Χρησιμοποιώντας τον τύπο για το απόθεμα ενός κανονικού εξαγώνου με \(l=4\) cm, πρέπει
\(Μέτρηση\ του\ apothem=\frac{4\sqrt3}2=2\sqrt3\ cm\)
Διαβάστε επίσης: Όλα για τα αξιοσημείωτα σημεία ενός τριγώνου
Λυμένες ασκήσεις για το απόθεμα
ερώτηση 1
Εάν μια πυραμίδα ύψους 4 cm έχει αποθέτη βάσης 3 cm, τότε η μέτρηση του αποθέματος της πυραμίδας είναι
α) 5 cm
β) 6 cm
γ) 7 cm
δ) 8 cm
ε) 9 cm
Ανάλυση:
Σε μια πυραμίδα, μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο στο οποίο το ένα πόδι είναι το απόθεμα της βάσης, το άλλο σκέλος είναι το ύψος της πυραμίδας και η υποτείνουσα είναι το απόθεμα της πυραμίδας. Έτσι, εφαρμόζοντας το Πυθαγόρειο θεώρημα στην υποτείνουσα του μέτρου x,
\(x^2=3^2+4^2\)
\(x = 5\ cm\)
Εναλλακτική Α.
Ερώτηση 2
Αν το απόθεμα ενός τετραγώνου είναι y cm, τότε η πλευρά του τετραγώνου είναι
Ο) \(\frac{1}3 χρόνια \) εκ
ΣΙ) \(\frac{1}2y \) εκ
γ) y cm
δ) 2y cm
ε) 3y cm
Ανάλυση
Το απόθεμα ενός τετραγώνου είναι το ήμισυ του μήκους της πλευράς του τετραγώνου. Επομένως, αν το απόθεμα είναι y cm, το τετράγωνο είναι 2y cm.
Εναλλακτική Δ.
Της Maria Luiza Alves Rizzo
Μαθηματικός
Θα θέλατε να αναφερθείτε σε αυτό το κείμενο σε σχολική ή ακαδημαϊκή εργασία; Κοίτα:
RIZZO, Maria Luiza Alves. "Apothem"; Σχολή Βραζιλίας. Διαθέσιμο σε: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/apotema.htm. Πρόσβαση στις 16 Μαΐου 2023.
Κατανοήστε τι είναι το βαρύκεντρο ενός τριγώνου και πώς να το υπολογίσετε στο καρτεσιανό επίπεδο, εκτός από τον έλεγχο των ιδιοτήτων του.
Κάντε κλικ και μάθετε πώς να δημιουργείτε περιγεγραμμένα πολύγωνα και μάθετε περισσότερα για αυτήν τη σχέση με την περιφέρεια.
Κατανοήστε τι είναι ένα εξάγωνο και γνωρίστε τις ταξινομήσεις, τα χαρακτηριστικά και τις ιδιότητές του. Μάθετε επίσης τους τύπους για να υπολογίσετε το εμβαδόν και την περίμετρό του.
Κάντε κλικ εδώ, μάθετε ποια είναι η κάθετη διχοτόμος και μάθετε πώς να την κατασκευάσετε. Μάθετε επίσης τις διαφορές μεταξύ της κάθετης διχοτόμου, της μέσης, της διχοτόμου και του ύψους ενός τριγώνου.
Κατανοήστε τι είναι μια πυραμίδα και δείτε τα κύρια στοιχεία της. Δείτε τους διαφορετικούς τύπους πυραμίδων και πώς να υπολογίσετε τον όγκο και το εμβαδόν τους.
Μάθετε τι είναι ένα κανονικό πολύγωνο και διαφοροποιήστε τα κανονικά πολύγωνα από τα ακανόνιστα πολύγωνα. Επίσης, να υπολογίσετε το εμβαδόν και την περίμετρο ενός κανονικού πολυγώνου.
Μάθετε πώς να υπολογίζετε το μέσο ενός ευθύγραμμου τμήματος χρησιμοποιώντας Αναλυτική Γεωμετρία!
Δείτε εδώ τα αξιοσημείωτα σημεία ενός τριγώνου και μάθετε τις κύριες ιδιότητές του. Δείτε επίσης πώς αυτά τα σημεία μπορούν να διευκολύνουν την επίλυση ορισμένων προβλημάτων.
Κάντε κλικ για να μάθετε τι είναι τα τετράγωνα, τα κοινά χαρακτηριστικά τους με άλλα γεωμετρικά σχήματα και τις συγκεκριμένες ιδιότητές τους.
Το Πυθαγόρειο θεώρημα είναι ένα από τα πιο σημαντικά εργαλεία στη μελέτη των τριγώνων. Κάντε κλικ εδώ, μάθετε για τη φόρμουλα του και μάθετε πώς να το εφαρμόσετε!
