Ο όγκος κύβου είναι ο χώρος που αυτό γεωμετρικό στερεό καταλαμβάνει. Ο κύβος, επίσης γνωστός ως εξάεδρο, είναι το γεωμετρικό στερεό που αποτελείται από 6 τετράγωνες όψεις. Επομένως, ο όγκος του κύβου εξαρτάται μόνο από το μέτρο της άκρης του. Ο όγκος του κύβου είναι ίσος με το μήκος της άκρης προς τη δύναμη του 3, δηλαδή V = ο³.
Δείτε επίσης: Όγκος κυλίνδρου — πώς να υπολογίσετε;
Ποιος είναι ο τύπος για τον όγκο του κύβου;
Για να κατανοήσετε τον τύπο για τον όγκο του κύβος, θα θυμηθούμε τα κύρια χαρακτηριστικά του. Ο κύβος είναι μια ειδική περίπτωση πολύεδρο. Αποτελείται από 6 τετράγωνες όψεις, 12 ακμές και 8 κορυφές. Στον κύβο, όλες οι άκρες είναι ίσες. Εκτός από πολύεδρο, ο κύβος θεωρείται α πλακόστρωτο, αφού όλα του τα πρόσωπα σχηματίζονται από τετράγωνα. Δείτε την παρακάτω εικόνα.
Ο όγκος του κύβου είναι το πολλαπλασιασμός μήκος κατά ύψος και πλάτος. Καθώς όλες οι άκρες του είναι ίσες, μετρώντας ο, ο όγκος του κύβου δεν είναι τίποτα άλλο από τον κύβο της άκρης, δηλαδή:
\(V=a^3\)
Πώς να υπολογίσετε τον όγκο του κύβου;
Για να υπολογίσετε τον όγκο του κύβου, γνωρίζοντας το μήκος της άκρης του, απλά υπολογίστε τον κύβο της άκρης.
Παράδειγμα:
Ένα δοχείο έχει σχήμα κύβου με άκρη 12 εκατοστών, οπότε ο όγκος του κύβου είναι:
Ανάλυση:
V = ο³
V = 12³
V = 1728 cm³
Ο όγκος αυτού του δοχείου είναι 1728 cm³.
Παράδειγμα 2
Ένα πολύεδρο έχει 6 όψεις, όλες τετράγωνες, με άκρες 4 μέτρα, οπότε ο όγκος αυτού του πολυέδρου είναι:
Ανάλυση:
Μπορούμε να δούμε ότι αυτό το πολύεδρο είναι ένας κύβος, οπότε απλά υπολογίστε τον όγκο του κύβου:
V = a³
V = 4³
V = 64 m³
Διαβάστε επίσης: Όγκος κώνου — πώς να υπολογίσετε;
Μονάδες μέτρησης όγκου
Ο όγκος είναι ο χώρος που καταλαμβάνει ένα δεδομένο σώμα και έχει ως θεμελιώδη μονάδα τα κυβικά μέτρα (m³). Εκτός από τα κυβικά μέτρα, υπάρχουν υποπολλαπλάσια και πολλαπλάσια αυτής της μονάδας μέτρησης.
Τα υποπολλαπλάσια είναι:
κυβικό χιλιοστό: mm³
κυβικό εκατοστό: cm³
κυβικό δεκατόμετρο: dm³
Τα πολλαπλάσια είναι:
κυβικό δεκαμέτρο: φράγμα³
κυβικό εκατόμετρο: hm³
κυβικό χιλιόμετρο: km³
Μπορούμε επίσης να συσχετίσουμε το μέτρο του όγκου με το μέτρο χωρητικότητας, το οποίο μετριέται σε λίτρα. Γενικά έχουμε:
1 m³ = 1000 μεγάλο
1 dm³ = 1 μεγάλο
1 cm³ = 1 mμεγάλο
Ασκήσεις επίλυσης όγκου κύβου
ερώτηση 1
(Enem 2010) Μια ξύλινη μολυβοθήκη κατασκευάστηκε σε κυβικό σχήμα, σύμφωνα με το μοντέλο που απεικονίζεται παρακάτω. Ο κύβος μέσα είναι άδειος. Η άκρη του μεγαλύτερου κύβου είναι 12 cm και αυτή του μικρότερου κύβου, που είναι εσωτερική, έχει μέγεθος 8 cm.
Ο όγκος του ξύλου που χρησιμοποιήθηκε για την κατασκευή αυτού του αντικειμένου ήταν
Α) 12 cm³
Β) 64 cm³
Γ) 96 cm³
Δ) 1216 cm³
Ε) 1728 cm³
Ανάλυση:
Εναλλακτική Δ
Για να υπολογίσουμε τον όγκο του ξύλου, θα υπολογίσουμε τη διαφορά μεταξύ του όγκου του μεγαλύτερου κύβου και του όγκου του μικρότερου κύβου.
Ο μικρότερος κύβος έχει μια άκρη 8 cm:
\(V_1=8^3\)
\(V_1=512\)
Ο μεγαλύτερος κύβος έχει μια άκρη 12 cm:
\(V_2={12}^3\)
\(V_2=1728\)
Υπολογίζοντας τη διαφορά μεταξύ τους, συνάγεται το συμπέρασμα ότι ο όγκος του ξύλου που χρησιμοποιήθηκε ήταν:
\(V=V_2-V_1\)
\(V=1728-512\)
\(V=1216\ cm^3\)
Ερώτηση 2
(Vunesp 2011) Τα προϊόντα μιας εταιρείας συσκευάζονται σε κυβικά κουτιά, με άκρη 20 cm. Για τη μεταφορά, αυτές οι συσκευασίες ομαδοποιούνται, σχηματίζοντας ένα ορθογώνιο μπλοκ, όπως φαίνεται στο σχήμα. Είναι γνωστό ότι 60 από αυτά τα μπλοκ γεμίζουν πλήρως τον χώρο αποσκευών του οχήματος που χρησιμοποιείται για τη μεταφορά τους.
Συνάγεται, λοιπόν, το συμπέρασμα ότι ο μέγιστος όγκος, σε κυβικά μέτρα, που μεταφέρεται από αυτό το όχημα είναι:
Α) 4,96.
Β) 5,76.
Γ) 7,25.
Δ) 8,76.
Ε) 9,60.
Ανάλυση:
Εναλλακτική Β
Αρχικά, θα υπολογίσουμε τον όγκο ενός κύβου. Γνωρίζοντας ότι η άκρη του είναι 20 cm και μετατρέποντας αυτή την τιμή σε μέτρα, έχουμε 0,2 m ακμής.
\(V_{κύβος}={0,2}^3\)
\(V_{κύβος}=0,008\ m^3\)
Από την εικόνα μπορείτε να δείτε ότι κάθε ορθογώνιο μπλοκ έχει 12 κύβους, οπότε ο όγκος του μπλοκ θα είναι:
\(V_{block}=12\cdot0.008\)
\(V_{block}=0,096\ m^3\)
Τέλος, γνωρίζουμε ότι 60 μπλοκ μπορούν να χωρέσουν στο όχημα μεταφοράς, επομένως ο μέγιστος όγκος φορτίου είναι:
\(V_{μέγιστο}=0,096⋅60=5,76 m^3\)
Του Ραούλ Ροντρίγκες ντε Ολιβέιρα
Καθηγητής μαθηματικών
Πηγή: Σχολείο Βραζιλίας - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/volume-do-cubo.htm
