Ο εξίσωση 1ου βαθμού είναι μια εξίσωση που έχει άγνωστο βαθμού 1. Οι εξισώσεις είναι μαθηματικές προτάσεις που έχουν άγνωστα, τα οποία είναι γράμματα που αντιπροσωπεύουν άγνωστες τιμές και ισότητα. Η μαθηματική πρόταση της εξίσωσης 1ου βαθμού είναι οx + σι = 0, όπου ο και σι είναι πραγματικοί αριθμοί, και ο είναι διαφορετικό από το 0. Ο σκοπός της συγγραφής μιας εξίσωσης 1ου βαθμού είναι να βρούμε ποια είναι η τιμή του αγνώστου που ικανοποιεί την εξίσωση. Αυτή η τιμή είναι γνωστή ως λύση ή ρίζα της εξίσωσης.
Διαβάστε επίσης: Εκθετική εξίσωση — η εξίσωση που έχει τουλάχιστον έναν άγνωστο σε έναν από τους εκθέτες της
Θέματα σε αυτό το άρθρο
- 1 - Περίληψη της εξίσωσης 1ου βαθμού
- 2 - Τι είναι μια εξίσωση 1ου βαθμού;
-
3 - Πώς να υπολογίσετε την εξίσωση πρώτου βαθμού;
- → Εξίσωση 1ου βαθμού με άγνωστο
- ? Εξίσωση 1ου βαθμού με δύο αγνώστους
- 4 - Εξίσωση 1ου βαθμού στο Ενεμ
- 5 - Λυμένες ασκήσεις για εξίσωση 1ου βαθμού
Περίληψη εξίσωσης 1ου βαθμού
Η εξίσωση 1ου βαθμού είναι μια μαθηματική πρόταση που έχει αγνώστους 1 βαθμού.
Η εξίσωση 1ου βαθμού με έναν άγνωστο έχει μοναδική λύση.
Η μαθηματική πρόταση που περιγράφει την εξίσωση 1ου βαθμού με έναν άγνωστο είναι οx + σι = 0.
Για να λύσουμε μια εξίσωση 1ου βαθμού με έναν άγνωστο, εκτελούμε πράξεις και στις δύο πλευρές της ισότητας, προκειμένου να απομονώσουμε το άγνωστο και να βρούμε την τιμή του.
Η εξίσωση 1ου βαθμού με δύο αγνώστους έχει άπειρες λύσεις.
Η μαθηματική πρόταση που περιγράφει την εξίσωση 1ου βαθμού με δύο αγνώστους είναι οx + σιy + c = 0
Η εξίσωση 1ου βαθμού είναι ένας επαναλαμβανόμενος όρος στο Enem, ο οποίος συνήθως συνοδεύεται από ερωτήσεις που απαιτούν ερμηνεία του κειμένου και τη συναρμολόγηση της εξίσωσης πριν την επίλυσή του.
Τι είναι η εξίσωση 1ου βαθμού;
Η εξίσωση είναι μια μαθηματική πρόταση που έχει μια ισότητα και ένα ή περισσότερα άγνωστα.. Οι άγνωστοι είναι άγνωστες τιμές και χρησιμοποιούμε γράμματα, όπως x, y, z, για να τους αναπαραστήσουμε.
Αυτό που καθορίζει τον βαθμό μιας εξίσωσης είναι ο εκθέτης του αγνώστου. Ετσι, όταν ο εκθέτης του αγνώστου έχει βαθμό 1, έχουμε εξίσωση 1ου βαθμού. Δείτε παραδείγματα παρακάτω:
2x + 5 = 9 (εξίσωση 1ου βαθμού με έναν άγνωστο, x)
y – 3 = 0 (εξίσωση 1ου βαθμού με έναν άγνωστο, y)
5x + 3y – 3 = 0 (εξίσωση 1ου βαθμού με δύο άγνωστα, x και y)
Μη σταματάς τώρα… Υπάρχουν και άλλα μετά τη διαφήμιση ;)
Πώς να υπολογίσετε την εξίσωση πρώτου βαθμού;
Αντιπροσωπεύουμε μια δεδομένη κατάσταση ως εξίσωση όταν στοχεύουμε βρείτε τις τιμές που μπορεί να πάρει ο άγνωστος που κάνει την εξίσωση να ισχύει, δηλαδή να βρείτε τις λύσεις ή τη λύση της εξίσωσης. Ας δούμε παρακάτω πώς βρίσκουμε τη λύση μιας εξίσωσης 1ου βαθμού με έναν άγνωστο και τις λύσεις μιας εξίσωσης 1ου βαθμού με δύο αγνώστους.
→ Εξίσωση 1ου βαθμού με έναν άγνωστο
Ο Εξίσωση 1ου βαθμού με έναν άγνωστο είναι η εξίσωση του τύπου:
\(ax+b=0\ \)
Σε αυτή την πρόταση, ο και σι είναι πραγματικοί αριθμοί. Χρησιμοποιούμε το σύμβολο της ισότητας ως αναφορά. Πριν από αυτό έχουμε το 1ο μέλος της εξίσωσης και μετά το ίσο έχουμε το 2ο μέλος της εξίσωσης.
Για να βρούμε τη λύση αυτής της εξίσωσης, επιδιώκουμε να απομονώσουμε τη μεταβλητή x. ας αφαιρέσουμε σι και στις δύο πλευρές της εξίσωσης:
\(ax+b-b=0-b\ \)
\(ax=-\ b\)
Τώρα θα διαιρέσουμε με ο και στις δύο πλευρές:
\(\frac{ax}{a}=\frac{-b}{a}\)
\(x=\frac{-b}{a}\)
Σπουδαίος:Αυτή η διαδικασία εκτέλεσης μιας ενέργειας και στις δύο πλευρές της εξίσωσης περιγράφεται συχνά ως «πέρασμα στην άλλη πλευρά» ή «πέρασμα στην άλλη πλευρά κάνοντας την αντίστροφη λειτουργία».
Παράδειγμα 1:
Βρείτε τη λύση της εξίσωσης:
2x - 6 = 0
Ανάλυση:
Για να απομονώσουμε τη μεταβλητή x, ας προσθέσουμε 6 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης:
\(2x-6+6\ =0+6\)
\(2x=6\)
Τώρα, θα διαιρέσουμε με το 2 και από τις δύο πλευρές:
\(\frac{2x}{2}=\frac{6}{2}\)
\(x=3\ \)
Βρίσκουμε ως λύση την εξίσωση x = 3. Αυτό σημαίνει ότι αν αντικαταστήσουμε το 3 στη θέση του x, η εξίσωση θα είναι αληθής:
\(2\cdot3-6=0\)
\(6-6=0\ \)
\(0=0\)
Παράδειγμα 2:
Μπορούμε να λύσουμε την εξίσωση πιο άμεσα χρησιμοποιώντας την πρακτική μέθοδο:
\(5x+1=-\ 9\)
Αρχικά, ας ορίσουμε ποιο είναι το πρώτο μέλος της εξίσωσης και ποιο το δεύτερο μέλος της εξίσωσης:
Για να βρούμε τη λύση της εξίσωσης, θα απομονώσουμε το άγνωστο στο πρώτο μέλος της εξίσωσης. Για αυτό, ό, τι δεν είναι άγνωστο θα περάσει στο δεύτερο μέλος που κάνει την αντίστροφη πράξη, ξεκινώντας με + 1. Καθώς προσθέτει, θα περάσει στο δεύτερο μέλος αφαιρώντας:
\(5x+1=-\ 9\ \)
\(5x=-\ 9-1\ \)
\(5x=-\ 10\)
Θέλουμε την τιμή του x, αλλά βρίσκουμε την τιμή του 5x. Εφόσον το 5 πολλαπλασιάζει το x, θα περάσει στη δεξιά πλευρά κάνοντας την αντίστροφη πράξη του πολλαπλασιασμός, δηλαδή διαίρεση.
\(5x=-\ 10\)
\(x=\frac{-10}{5}\)
\(x=-\ 2\)
Η λύση αυτής της εξίσωσης είναι x = - 2.
Παράδειγμα 3:
Λύστε την εξίσωση:
\(5x+4=2x-6\)
Για να λύσουμε αυτήν την εξίσωση, θα βάλουμε αρχικά τους όρους που έχουν άγνωστο στο πρώτο μέλος και τους όρους που δεν έχουν άγνωστο στο δεύτερο μέλος. Για να γίνει αυτό, ας τα προσδιορίσουμε:
\({\color{red}5}{\color{red}x}+ 4 = {\color{red}2}{\color{red}x}\ –\ 6\)
Με κόκκινο είναι οι όροι που έχουν άγνωστο, 5x και 2x και με μαύρο οι όροι που δεν έχουν άγνωστο. Επειδή το + 4 δεν έχει άγνωστο, ας το περάσουμε στο δεύτερο μέλος αφαιρώντας.
\(\color{red}{5x}=\color{red}{2x}-6-4\)
Σημειώστε ότι το 2x έχει ένα άγνωστο, αλλά είναι στο δεύτερο μέλος. Θα το περάσουμε στο πρώτο μέλος, αφαιρώντας 5x:
\({\color{red}{5x}-\color{red}{2x}=-6-4}\)
\(3x = - 10\)
Τώρα, περνώντας τη διαίρεση 3, έχουμε ότι:
\(x=-\frac{10}{3}\)
Σπουδαίος: Η λύση μιας εξίσωσης μπορεί να είναι κλάσμα, όπως στο παραπάνω παράδειγμα.
◆ Βίντεο μάθημα εξίσωσης 1ου βαθμού με άγνωστο
➝ Εξίσωση 1ου βαθμού με δύο αγνώστους
Όταν υπάρχει μια εξίσωση 1ου βαθμού που έχει δύο άγνωστους, δεν υπάρχει μία μόνο λύση, αλλά μάλλον άπειρες λύσεις. Μια εξίσωση 1ου βαθμού με δύο άγνωστα είναι μια εξίσωση του τύπου:
\(ax+by+c=0\)
Για να βρούμε μερικές από τις άπειρες λύσεις της εξίσωσης, εκχωρούμε μια τιμή σε μια από τις μεταβλητές της και βρίσκουμε την τιμή της άλλης μεταβλητής.
Παράδειγμα:
Βρείτε 3 πιθανές λύσεις της εξίσωσης:
\(2x+y+3=0\)
Ανάλυση:
Για να βρούμε 3 λύσεις, θα επιλέξουμε κάποιες τιμές για τη μεταβλητή x, ξεκινώντας με x = 1:
\(2\cdot1+y+3=0\)
\(2+y+3=0\ \)
\(y+5=0\)
Απομονώνοντας το y στο πρώτο μέλος, έχουμε ότι:
\(y=0-5\)
\(y=-\ 5\)
Άρα μια πιθανή λύση της εξίσωσης είναι x = 1 και y = - 5.
Για να βρούμε μια ακόμη λύση της εξίσωσης, ας αντιστοιχίσουμε μια νέα τιμή σε οποιαδήποτε από τις μεταβλητές. Θα κάνουμε y = 1.
\(2x+1+3=0\ \)
\(2x+4=0\ \)
Απομόνωση x:
\(2x=-\ 4\ \)
\(x=\frac{-4}{2}\)
\(x=-\ 2\)
Η δεύτερη λύση αυτής της εξίσωσης είναι x = - 2 και y = 1.
Τέλος, για να βρούμε μια τρίτη λύση, θα επιλέξουμε μια νέα τιμή για μια από τις μεταβλητές σας. Θα κάνουμε x = 0.
\(2\cdot0+y+3=0\)
\(0+y+3=0\)
\(y+3=0\ \)
\(y=0-3\)
\(y=-\ 3\ \)
Η τρίτη λύση είναι x = 0 και y = -3.
Μπορούμε να αναπαραστήσουμε αυτές τις τρεις λύσεις ως διατεταγμένα ζεύγη, της μορφής (x, y). Οι λύσεις που βρέθηκαν για την εξίσωση ήταν:
\(\αριστερά (1,-5\δεξιά);\ \αριστερά(-2,\ 1\δεξιά);\αριστερά (0,-3\δεξιά)\)
Σπουδαίος: Εφόσον αυτή η εξίσωση έχει δύο άγνωστους, έχουμε άπειρες λύσεις. Οι τιμές για τις μεταβλητές επιλέχθηκαν τυχαία, ώστε να μπορούμε να εκχωρήσουμε άλλες εντελώς διαφορετικές τιμές στις μεταβλητές και να βρούμε άλλες τρεις λύσεις στην εξίσωση.
Μάθετε περισσότερα: Εξίσωση 2ου βαθμού — πώς να υπολογίσετε;
Εξίσωση 1ου Βαθμού στο Ενεμ
Ερωτήσεις που αφορούν εξισώσεις 1ου βαθμού στο Enem απαιτούν από τον υποψήφιο να μπορεί μετατρέψτε τις προβληματικές καταστάσεις σε εξίσωση, χρησιμοποιώντας δεδομένα εκφώνησης. Για σαφήνεια, βλ.
Τομέας 5 Αρμοδιότητας: Μοντελοποίηση και επίλυση προβλημάτων που αφορούν κοινωνικοοικονομικές ή τεχνικο-επιστημονικές μεταβλητές, χρησιμοποιώντας αλγεβρικές αναπαραστάσεις.
Σημειώστε λοιπόν ότι στο Enem αναμένεται ότι ο υποψήφιος μπορεί να μοντελοποιήσει προβληματικές καταστάσεις της καθημερινότητάς μας και να τις λύσει χρησιμοποιώντας μια εξίσωση. Στο πλαίσιο αυτής της ικανότητας, υπάρχουν δύο ειδικές δεξιότητες που περιλαμβάνουν εξισώσεις που ο Enem προσπαθεί να αξιολογήσει: δεξιότητα 19 και δεξιότητα 21.
H19: Προσδιορίστε αλγεβρικές παραστάσεις που εκφράζουν τη σχέση μεταξύ των ποσοτήτων.
H21: Λύστε μια προβληματική κατάσταση της οποίας η μοντελοποίηση περιλαμβάνει αλγεβρική γνώση.
Έτσι, εάν μελετάτε για το Enem, εκτός από την εξοικείωση με την επίλυση των εξισώσεων 1ου βαθμού, είναι σημαντικό να εκπαιδεύεστε στην ερμηνεία προβλημάτων που αφορούν εξισώσεις, επειδή η ανάπτυξη της ικανότητας να μοντελοποιούμε προβληματικές καταστάσεις γράφοντάς τις ως εξίσωση, για το Enem, είναι εξίσου σημαντική με την ικανότητα επίλυσης του εξίσωση.
Λυμένες ασκήσεις για εξίσωση 1ου βαθμού
ερώτηση 1
(Enem 2012) Οι καμπύλες προσφοράς και ζήτησης ενός προϊόντος αντιπροσωπεύουν, αντίστοιχα, τις ποσότητες που πωλητές και καταναλωτές είναι διατεθειμένοι να πουλήσουν ανάλογα με την τιμή του προϊόντος. Σε ορισμένες περιπτώσεις, αυτές οι καμπύλες μπορούν να αναπαρασταθούν με ευθείες γραμμές. Ας υποθέσουμε ότι οι ποσότητες προσφοράς και ζήτησης για ένα προϊόν αντιπροσωπεύονται, αντίστοιχα, από τις εξισώσεις:
QΟ = –20 + 4P
Qρε = 46 - 2P
στην οποία η QΟ είναι η ποσότητα της προσφοράς, Qρε είναι η ζητούμενη ποσότητα και P είναι η τιμή του προϊόντος.
Από αυτές τις εξισώσεις προσφοράς και ζήτησης, οι οικονομολόγοι βρίσκουν την τιμή ισορροπίας της αγοράς, δηλαδή όταν το QΟ και Qρε ίσος. Για την κατάσταση που περιγράφεται, ποια είναι η αξία της τιμής ισορροπίας;
α) 5
Β) 11
Γ) 13
Δ) 23
Ε) 33
Ανάλυση:
Εναλλακτική Β
Για να βρούμε την τιμή ισορροπίας, απλώς εξισώνουμε τις δύο εξισώσεις:
\(Q_O=Q_D\)
\(–20+4P=46 –2P\)
\(4P+2P=46+20\)
\(6P=66\)
\(P=\frac{66}{6}\)
\(P=11\)
Ερώτηση 2
(Enem 2010) Το τριπλούν είναι μια μέθοδος στίβου στην οποία ο αθλητής πηδά με ένα πόδι, ένα βήμα και ένα άλμα, με αυτή τη σειρά. Το άλμα με απογείωση στο ένα πόδι θα γίνει έτσι ώστε ο αθλητής να προσγειωθεί πρώτος στο ίδιο πόδι που έδωσε την απογείωση. στον διασκελισμό θα προσγειωθεί με το άλλο πόδι, από το οποίο εκτελείται το άλμα.
Διαθέσιμο στη διεύθυνση: www.cbat.org.br (προσαρμοσμένο).
Ένας αθλητής του τριπλούν, αφού μελέτησε τις κινήσεις του, συνειδητοποίησε ότι, από το δεύτερο έως το πρώτο άλμα, το εύρος μειώθηκε κατά 1,2 m και από το τρίτο στο δεύτερο άλμα, το εύρος μειώθηκε κατά 1,5 Μ. Θέλοντας να φτάσετε τον στόχο των 17,4 μέτρων σε αυτό το αγώνισμα και λαμβάνοντας υπόψη τις σπουδές σας, η απόσταση που επιτεύχθηκε στο πρώτο άλμα θα πρέπει να είναι μεταξύ
Α) 4,0 m και 5,0 m.
Β) 5,0 m και 6,0 m.
Γ) 6,0 m και 7,0 m.
Δ) 7,0 m και 8,0 m.
Ε) 8,0 m και 9,0 m.
Ανάλυση:
Εναλλακτική Δ
Στο πρώτο άλμα φτάνει σε απόσταση x μέτρα.
Στο δεύτερο άλμα, η απόσταση μειώνεται κατά 1,2 m από το πρώτο άλμα, οπότε φτάνει σε απόσταση x – 1,2 μέτρα.
Στο τρίτο άλμα, η απόσταση μειώνεται κατά 1,5 m από το δεύτερο άλμα, επομένως η απόσταση που διανύεται στο τρίτο άλμα είναι x – 1,2 – 1,5 μέτρα, δηλαδή ίδια με x – 2,7 μέτρα.
Γνωρίζουμε ότι το άθροισμα αυτών των αποστάσεων πρέπει να ισούται με 17,4 μέτρα, οπότε:
\(x+x-1,2+x-2,7=17,4\)
\(3x-3,9=17,4\)
\(3x=17,4+3,9\)
\(3x=21,3\)
\(x=\frac{21,3}{3}\)
\(x=7,1\)
Έτσι, η απόσταση που επιτυγχάνεται στο πρώτο άλμα είναι μεταξύ 7,0 και 8,0 μέτρων.
Του Ραούλ Ροντρίγκες ντε Ολιβέιρα
Καθηγητής μαθηματικών
