Μία από τις τεχνικές που χρησιμοποιούνται για την επίλυση τετραγωνικές εξισώσεις είναι η μέθοδος γνωστή ως πλήρη τετράγωνα. Αυτή η μέθοδος συνίσταται στην ερμηνεία του εξίσωση του δεύτεροςβαθμός σαν τέλειο τετράγωνο trinomial και γράψτε την παραστατική φόρμα σας. Μερικές φορές αυτή η απλή διαδικασία αποκαλύπτει ήδη τις ρίζες της εξίσωσης.
Επομένως, είναι απαραίτητο να έχουμε βασικές γνώσεις αξιοσημείωτα προϊόντα, τριώνυμοςτετράγωνοΤέλειος και πολυωνυμική παραγοντοποίηση για να χρησιμοποιήσετε αυτήν την τεχνική. Συχνά, ωστόσο, επιτρέπει τον υπολογισμό «στο μυαλό».
Επομένως, θα θυμηθούμε τις τρεις περιπτώσεις προϊόντααξιοσημείωτος πριν από την επίδειξη του μέθοδοςνα ολοκληρωσωτετράγωνα, το οποίο, με τη σειρά του, θα εκτεθεί σε τρεις διαφορετικές περιπτώσεις.
Εξαιρετικά προϊόντα και τέλεια τετράγωνα τετράγωνα
Στη συνέχεια, δείτε το αξιοσημείωτο προϊόν, το τριώνυμοςτετράγωνοΤέλειος που είναι ισοδύναμο με αυτό και το σχήμα συντελεστής αυτού του trinomial, αντίστοιχα. Για να το κάνετε αυτό, θεωρήστε ότι το x είναι άγνωστο και ο είναι οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός.
(x + k)2 = x2 + 2kx + k2 = (x + k) (x + k)
(x - κ)2 = x2 - 2kx + k2 = (x - k) (x - k)
Η εξίσωση του δεύτερου βαθμού που αναφέρεται στο τρίτο προϊόναξιοσημείωτος, γνωστό ως το προϊόν του αθροίσματος και της διαφοράς, μπορεί να επιλυθεί χρησιμοποιώντας μια τεχνική που κάνει τους υπολογισμούς ακόμη πιο εύκολους. Ως αποτέλεσμα, δεν θα ληφθεί υπόψη εδώ.
Η εξίσωση είναι το τέλειο τετραγωνικό τετράγωνο
Εάν ένα εξίσωση του δεύτεροςβαθμός είναι ένα τέλειο τετράγωνο trinomial, τότε μπορείτε να προσδιορίσετε τους συντελεστές του ως: α = 1, b = 2k ή - 2k και c = κ2. Για να το ελέγξετε, συγκρίνετε απλώς μια τετραγωνική εξίσωση με το τριώνυμοςτετράγωνοΤέλειος.
Ως εκ τούτου, στη λύση του εξίσωση του δεύτεροςβαθμός Χ2 + 2kx + k2 = 0, θα έχουμε πάντα τη δυνατότητα να κάνουμε:
Χ2 + 2kx + k2 = 0
(x + k)2 = 0
√ [(x + k)2] = √0
| x + k | = 0
x + k = 0
x = - κ
- x - k = 0
x = - κ
Έτσι, η λύση είναι μοναδική και ισούται με –k.
Αν εξίσωση να είσαι x2 - 2kx + k2 = 0, μπορούμε να κάνουμε το ίδιο:
Χ2 - 2kx + k2 = 0
(x - κ)2 = 0
√ [(x - k)2] = √0
| x - k | = 0
x - k = 0
x = κ
- x + k = 0
- x = - κ
x = κ
Επομένως, η λύση είναι μοναδική και ισούται με k.
Παράδειγμα: Ποιες είναι οι ρίζες του εξίσωση Χ2 + 16x + 64 = 0;
Σημειώστε ότι η εξίσωση είναι α τριώνυμοςτετράγωνοΤέλειος, από 2k = 16, όπου k = 8 και k2 = 64, όπου k = 8. Έτσι μπορούμε να γράψουμε:
Χ2 + 16x + 64 = 0
(x + 8)2 = 0
√ [(x + 8)2] = √0
x + 8 = 0
x = - 8
Εδώ το αποτέλεσμα έχει απλοποιηθεί, καθώς ήδη γνωρίζουμε ότι οι δύο λύσεις θα είναι ίσες με τον ίδιο πραγματικό αριθμό.
Η εξίσωση δεν είναι ένα τέλειο τετράγωνο trinomial
Σε περιπτώσεις όπου το εξίσωση του δεύτεροςβαθμός δεν είναι ένα τέλειο τετράγωνο trinomial, μπορούμε να εξετάσουμε την ακόλουθη υπόθεση για να υπολογίσουμε τα αποτελέσματά της:
Χ2 + 2kx + C = 0
Σημειώστε ότι για να μετατραπεί αυτή η εξίσωση σε τριώνυμοςτετράγωνοΤέλειος, απλώς αντικαταστήστε την τιμή του C με την τιμή του k2. Δεδομένου ότι αυτή είναι μια εξίσωση, ο μόνος τρόπος για να γίνει αυτό είναι να προσθέσετε k2 και στα δύο μέλη, μετά την εναλλαγή του συντελεστή μέλους Γ. Παρακολουθώ:
Χ2 + 2kx + C = 0
Χ2 + 2kx + C + k2 = 0 + κ2
Χ2 + 2kx + k2 = κ2 - Ç
Μετά από αυτήν τη διαδικασία, μπορούμε να προχωρήσουμε με την προηγούμενη τεχνική, μετατρέποντας το τριώνυμοςτετράγωνοΤέλειος σε αξιοσημείωτο προϊόν και τον υπολογισμό των τετραγωνικών ριζών και στα δύο άκρα.
Χ2 + 2kx + k2 = κ2 - Ç
(x + k)2 = κ2 - Ç
√ [(x + k)2] = √ (κ2 - Ç)
x + k = ± √ (k2 - Ç)
Το σύμβολο ± εμφανίζεται όποτε το αποτέλεσμα του α εξίσωση είναι μια τετραγωνική ρίζα, επειδή σε αυτές τις περιπτώσεις το αποτέλεσμα της τετραγωνικής ρίζας είναι ένα μονάδα μέτρησης, όπως φαίνεται στο πρώτο παράδειγμα. Τέλος, το μόνο που μένει είναι να κάνουμε:
x = - k ± √ (k2 - Ç)
Λοιπόν, αυτά εξισώσεις έχει δύο αποτελέσματα πραγματικός και διακριτό ή καθόλου πραγματικό αποτέλεσμα όταν C> k2.
Για παράδειγμα, υπολογίστε τις ρίζες του x2 + 6x + 8 = 0.
Λύση: Σημειώστε ότι 6 = 2 · 3x. Ως εκ τούτου, k = 3 και επομένως k2 = 9. Επομένως, ο αριθμός που πρέπει να προσθέσουμε και στα δύο μέλη είναι ίσος με 9:
Χ2 + 6x + 8 = 0
Χ2 + 6x + 8 + 9 = 0 + 9
Χ2 + 6x + 9 = 9 - 8
Χ2 + 6x + 9 = 1
(x + 3)2 = 1
√ [(x + 3)2] = ± √1
x + 3 = ± 1
x = ± 1 - 3
x ’= 1 - 3 = - 2
x ’’ = - 1 - 3 = - 4
Σε αυτήν την περίπτωση ο συντελεστής a ≠ 1
όταν ο συντελεστής ο, δίνει εξίσωση του δεύτεροςβαθμός, διαφέρει από το 1, διαιρέστε ολόκληρη την εξίσωση με την αριθμητική τιμή του συντελεστή ο στη συνέχεια να εφαρμόσετε μία από τις δύο προηγούμενες μεθόδους.
Έτσι, στην εξίσωση 2x2 + 32x + 128 = 0, έχουμε τη μοναδική ρίζα ίση με 8, επειδή:
2χ2+ 32χ + 128 = 0
2 2 2 2
Χ2 + 16x + 64 = 0
Και, στην εξίσωση 3x2 + 18x + 24 = 0, έχουμε τις ρίζες - 2 και - 4, επειδή:
3x2 + 18χ + 24 = 0
3 3 3 3
Χ2 + 6x + 8 = 0
Του Luiz Paulo Moreira
Αποφοίτησε στα Μαθηματικά
Πηγή: Σχολείο της Βραζιλίας - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-metodo-completar-quadrados.htm
