Ο Το θεώρημα της εσωτερικής διχοτόμου αναπτύχθηκε ειδικά για τρίγωνα και δείχνει ότι όταν ανιχνεύσουμε την εσωτερική διχοτόμο μιας γωνίας του τριγώνου, το σημείο συνάντησης της διχοτόμου με την απέναντι πλευρά χωρίζει αυτή την πλευρά σε τμήματα γραμμής ανάλογη με τις διπλανές πλευρές αυτής της γωνίας. Με την εφαρμογή του θεωρήματος της εσωτερικής διχοτόμου είναι δυνατό να προσδιοριστεί η τιμή της πλευράς ή των τμημάτων του τριγώνου χρησιμοποιώντας την αναλογία μεταξύ τους.
Δείτε επίσης: Διάμεσος, διχοτόμος γωνίας και ύψος τριγώνου — ποια είναι η διαφορά;
Σύνοψη σχετικά με το θεώρημα της εσωτερικής διχοτόμου:
Η διχοτόμος είναι α ακτίνα που χωρίζει τη γωνία σε δύο ίσες γωνίες.
Το θεώρημα της εσωτερικής διχοτόμου είναι ειδικό για τα τρίγωνα.
Αυτό το θεώρημα αποδεικνύει ότι η διχοτόμος χωρίζει την αντίθετη πλευρά σε αναλογικά τμήματα στις γειτονικές πλευρές γωνία.
Βίντεο μάθημα για το θεώρημα της εσωτερικής διχοτόμου
Μη σταματάς τώρα… Υπάρχουν και άλλα μετά τη διαφήμιση ;)
Τι είναι το θεώρημα της διχοτόμου;
Πριν καταλάβουμε τι λέει το θεώρημα της εσωτερικής διχοτόμου, είναι σημαντικό να γνωρίζουμε τι είναι διχοτόμος γωνίας. Είναι μια ακτίνα που χωρίζει τη γωνία σε δύο ίσα μέρη., δηλαδή δύο μέρη που έχουν το ίδιο μέτρο.
Κατανοώντας τι είναι η διχοτόμος, παρατηρούμε ότι υπάρχει στην εσωτερική γωνία ενός τριγώνου. Όταν οριοθετήσουμε τη διχοτόμο μιας γωνίας του τριγώνου, θα χωρίσει την απέναντι πλευρά σε δύο τμήματα. Όσον αφορά την εσωτερική διχοτόμο, Το θεώρημά του λέει ότι τα δύο τμήματα που διαιρούνται με αυτό είναι ανάλογα με τις διπλανές πλευρές της γωνίας.
Σημειώστε ότι η διχοτόμος χωρίζει την πλευρά AC σε δύο τμήματα, AD και DC. Το θεώρημα της διχοτόμου δείχνει ότι:
\(\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{CD}}\)
Μάθετε περισσότερα: Θεώρημα Πυθαγόρα — ένα άλλο θεώρημα που αναπτύχθηκε για τα τρίγωνα
Απόδειξη του θεωρήματος της εσωτερικής διχοτόμου
Στο τρίγωνο ABC παρακάτω, θα οριοθετήσουμε το τμήμα BD, το οποίο είναι η διχοτόμος αυτού του τριγώνου. Επιπλέον, θα παρακολουθήσουμε την επιμήκυνση της πλευράς του CB και του τμήματος AE, παράλληλα με το BD:
Η γωνία AEB είναι σύμφωνη με τη γωνία DBC, επειδή το CE είναι α ευθεία εγκάρσια προς τα παράλληλα τμήματα ΑΕ και ΒΔ.
εφαρμόζοντας το Το θεώρημα του Θαλή, καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι:
\(\frac{\overline{BE}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{DC}}\)
Τώρα εμείς απομένει να δείξουμε ότι ΒΕ = ΑΒ.
Εφόσον x είναι το μέτρο της γωνίας ABD και DBC, αναλύοντας τη γωνία ABE, λαμβάνουμε:
ABE = 180 - 2x
Αν y είναι το μέτρο της γωνίας ΕΑΒ, έχουμε την ακόλουθη κατάσταση:
Γνωρίζουμε ότι το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών του τριγώνου Το ABE είναι 180°, οπότε μπορούμε να υπολογίσουμε:
180 - 2x + x + y = 180
– x + y = 180 – 180
– x + y = 0
y = x
Αν η γωνία x και η γωνία y έχουν το ίδιο μέτρο, το τρίγωνο ΑΒΕ είναι ισοσκελής. Επομένως, η πλευρά ΑΒ = ΑΕ.
Εφόσον το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ενός τριγώνου είναι πάντα ίσο με 180°, στο τρίγωνο ACE έχουμε:
x + 180 - 2x + y = 180
– x + y = 180 – 180
– x + y = 0
y = x
Εφόσον y = x, το τρίγωνο ACE είναι ισοσκελές. Επομένως, τα τμήματα AE και AC είναι ίσα. Ανταλλαγή AE με AC σε λόγος, αποδεικνύεται ότι:
\(\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{DC}}\)
Παράδειγμα:
Βρείτε την τιμή του x στο παρακάτω τρίγωνο:
Αναλύοντας το τρίγωνο, παίρνουμε τον ακόλουθο λόγο:
\(\frac{6}{3}=\frac{8}{x}\)
Διασταυρούμενος πολλαπλασιασμός:
6x = 8 ⋅ 3
6x = 24
\(x=\frac{24}{6}\)
x = 4
Διαβάστε επίσης: Αξιοσημείωτα σημεία ενός τριγώνου — Ποια είναι αυτά;
Λυμένες ασκήσεις για το θεώρημα της εσωτερικής διχοτόμου
ερώτηση 1
Βλέποντας το παρακάτω τρίγωνο, μπορούμε να πούμε ότι η τιμή του x είναι:
α) 9
Β) 10
Γ) 11
Δ) 12
Ε) 13
Ανάλυση:
Εναλλακτική Δ
Εφαρμόζοντας το θεώρημα της εσωτερικής διχοτόμου, έχουμε τον ακόλουθο υπολογισμό:
\(\frac{27}{30-x}=\frac{18}{x}\)
Διασταυρούμενος πολλαπλασιασμός:
\(27x=18\ \αριστερά (30-x\δεξιά)\)
\(27x\ =\ 540\ -\ 18x\ \)
\(27x\ +\ 18x\ =\ 540\ \)
\(45x\ =\ 540\ \)
\(x=\frac{540}{45}\)
\(x\ =\ 12\)
Ερώτηση 2
Αναλύστε το παρακάτω τρίγωνο, γνωρίζοντας ότι οι μετρήσεις σας δόθηκαν σε εκατοστά.
Η περίμετρος του τριγώνου ABC είναι ίση με:
Α) 75 εκ
Β) 56 εκ
Γ) 48 εκ
Δ) 24 εκ
Ε) 7,5 εκ
Ανάλυση:
Εναλλακτική Γ
Εφαρμόζοντας το θεώρημα της διχοτόμου, θα βρούμε πρώτα την τιμή του x:
\(\frac{2x}{5}=\frac{4x-9}{7}\)
\(5\ \αριστερά (4x-9\δεξιά)=2x\cdot7\)
\(20x\ -\ 45\ =\ 14x\)
\(20x\ -\ 14x\ =\ 45\ \)
\(6x\ =\ 45\ \)
\(x=\frac{45}{6}\)
\(x\ =\ 7,5\)
Έτσι, οι άγνωστες πλευρές μετρούν:
\(2\cdot7,5\ =\ 15\ \)
\(4\cdot7,5\ -\ 9\ =\ 21\ \)
Υπενθυμίζοντας ότι το μήκος μετρητή χρησιμοποιήθηκε ήταν το cm, το περίμετρος αυτού του τριγώνου ισούται με:
P = 21 + 15 + 5 + 7 = 48 cm
Του Ραούλ Ροντρίγκες ντε Ολιβέιρα
Καθηγητής μαθηματικών
Θα θέλατε να αναφέρετε αυτό το κείμενο σε ένα σχολικό ή ακαδημαϊκό έργο; Κοίτα:
OLIVEIRA, Raul Rodrigues de. "Εσωτερικό θεώρημα διχοτόμου"; Σχολή Βραζιλίας. Διαθέσιμο σε: https://preprod.brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-da-bissetriz-interna.htm. Πρόσβαση στις 04 Απριλίου 2022.
