Ο Επιπεδομετρία Είναι παρούσα σε όλες τις στιγμές της καθημερινότητάς μας. Όταν κοιτάμε τον κόσμο γύρω μας, είναι δυνατό να παρατηρήσουμε διάφορα γεωμετρικά σχήματα. Όταν τα γεωμετρικά σχήματα έχουν δύο διαστάσεις, αποτελούν αντικείμενο μελέτης της Επίπεδης Γεωμετρίας..
Το σημείο, η ευθεία και το επίπεδο είναι πρωτόγονα στοιχεία που μελετώνται στη Γεωμετρία Επίπεδων, εκτός από τις έννοιες των γωνιών και τη μελέτη του επίπεδες φιγούρες, όπως το τετράγωνο, το τρίγωνο, το ορθογώνιο, το τραπεζοειδές, ο κύκλος και ο ρόμβος. Εκτός από την επίπεδη γεωμετρία, υπάρχει επίσης η Χωρική Γεωμετρία, μια άλλη περιοχή του Μαθηματικά, που μελετά τρισδιάστατα γεωμετρικά σχήματα. Η μελέτη της Επίπεδης Γεωμετρίας είναι απαραίτητο να κατανοήσουμε τον χώρο στον οποίο ζούμε.
Μάθετε περισσότερα: Αναλυτική Γεωμετρία — περιοχή που μελετά τη Γεωμετρία χρησιμοποιώντας αλγεβρικά εργαλεία
Περίληψη Γεωμετρίας Επίπεδου
Η Επίπεδη Γεωμετρία είναι η περιοχή των Μαθηματικών που μελετά επίπεδα σχήματα.
Σημείο, ευθεία και επίπεδο είναι οι πρωτόγονες έννοιες αυτής της γεωμετρίας.
-
Υπάρχουν σημαντικές έννοιες που αποτελούν τη βάση της Επίπεδης Γεωμετρίας και που αναπτύσσονται από τις πρωτόγονες έννοιες.
ακτίνα: είναι το τμήμα μιας ευθείας που οριοθετείται από ένα σημείο.
Ευθύγραμμο τμήμα: το τμήμα μιας ευθείας που οριοθετείται από δύο σημεία.
Γωνία: είναι η περιοχή μεταξύ δύο ακτίνων.
πολύγωνα: είναι επίπεδα σχήματα που περικλείονται από ακτίνες.
Εμβαδόν: είναι η μέτρηση της επιφάνειας ενός επίπεδου σχήματος.
Πολλά επίπεδα σχήματα μελετώνται στη γεωμετρία του επιπέδου, όπως το τρίγωνο, το παραλληλόγραμμο, το ορθογώνιο, ο ρόμβος, το τετράγωνο, το τραπεζοειδές, η περιφέρεια και ο κύκλος.
Υπάρχουν σημαντικοί τύποι για τον υπολογισμό των μετρήσεων καθενός από τα επίπεδα σχήματα, όπως το περίμετρος, που είναι το άθροισμα του περιγράμματος του σχήματος και ο υπολογισμός του εμβαδού:
Βίντεο μάθημα για την Επίπεδη Γεωμετρία
Σημαντικές έννοιες της Επίπεδης Γεωμετρίας
Στη μελέτη της γεωμετρίας του επιπέδου, αναπτύχθηκαν σημαντικές έννοιες, ξεκινώντας από τις πρωτόγονες έννοιες, που είναι αυτές του σημείο, γραμμή και επίπεδο. Αυτά τα αντικείμενα είναι γνωστά ως πρωτόγονα επειδή αποτελούν τη βάση για την ανάπτυξη άλλων εννοιών, όπως γωνία, ακτίνα, ευθύγραμμο τμήμα, πολύγωνο, περιοχή κ.λπ. Ας δούμε το καθένα από αυτά.
Σημείο, γραμμή και επίπεδο
Το σημείο, η γραμμή και το επίπεδο είναι πρωτόγονα στοιχεία των μαθηματικών, δηλαδή δεν έχουν ορισμό, αλλά είναι αντικείμενα που βρίσκονται στη φαντασία μας, κατανοούνται διαισθητικά και είναι απαραίτητα για την κατασκευή των εννοιών της Επίπεδης Γεωμετρίας.
Ο Το σημείο είναι το απλούστερο αντικείμενο στη γεωμετρία. Δεν έχει διάσταση, είναι δηλαδή αδιάστατο και μας βοηθά να βρίσκουμε με ακρίβεια θέσεις στο επίπεδο. Η χρήση του είναι συνηθισμένη για την αναπαράσταση μιας τοποθεσίας GPS σε εφαρμογές, για παράδειγμα.
Ο γραμμή, με τη σειρά του, σχηματίζεται από ένα σύνολο σημείων που είναι ευθυγραμμισμένα. Σε ένα επίπεδο, υπάρχουν σημεία που βρίσκονται στη γραμμή και έξω από τη γραμμή. Έχει μόνο μία διάσταση, με αμελητέα πλάτος και βάθος. Οι γραμμές είναι άπειρες και μπορεί να είναι η αναπαράσταση μιας τροχιάς στο επίπεδο.
Ο επίπεδο είναι μια επιφάνεια που δεν έχει καμπύλες, δηλαδή είναι μια δισδιάστατη περιοχή. Το επίπεδο είναι άπειρο και για τις δύο διαστάσεις και σε αυτό μπορούμε να εισάγουμε άπειρες γραμμές. Όταν φανταζόμαστε μια γραμμή, ξέρουμε ότι περιέχεται σε μια συγκεκριμένη επιφάνεια, που είναι το επίπεδο.
Να αναπαραστήσουν και να ονομάσουν αυτά τα πρωτόγονα στοιχεία, χρησιμοποιούμε τους ακόλουθους συμβολισμούς:
Το σημείο αντιπροσωπεύεται από ένα κεφαλαίο γράμμα του αλφαβήτου μας, όπως Α, Β, Γ.
Η γραμμή αντιπροσωπεύεται από ένα πεζό γράμμα του αλφαβήτου, όπως r, s, t.
Το επίπεδο αντιπροσωπεύεται από ένα ελληνικό γράμμα του αλφαβήτου, όπως α, β.
Ακτίνα και ευθύγραμμο τμήμα
Με βάση αυτές τις βασικές έννοιες, είναι δυνατό να κατανοηθούν σημαντικές έννοιες όπως η ακτίνα και το ευθύγραμμο τμήμα. Ακτίνα είναι το τμήμα μιας ευθείας που έχει αρχή αλλά δεν έχει τέλος..Για να αναπαραστήσουμε μια ακτίνα, χρησιμοποιούμε δύο σημεία — το πρώτο είναι το σημείο εκκίνησης της ακτίνας και το δεύτερο είναι οποιοδήποτε σημείο που ανήκει σε αυτήν. Με ένα ενδεικτικό βέλος πάνω από τα δύο γράμματα που αντιπροσωπεύουν σημεία, φαίνεται ότι μια ακτίνα ξεκινά από το σημείο Α και διέρχεται από το σημείο Β: .
Επιπλέον, υπάρχει το τμήμα γραμμής, το οποίο είναι επίσης μέρος μιας γραμμής, αλλά έχει μια ορισμένη αρχή και τέλος. Το ευθύγραμμο τμήμα συνήθως αντιπροσωπεύεται από τα γράμματα των σημείων που το περιορίζουν με μια παύλα από πάνω του. Για παράδειγμα, .
Γωνία
Κατανοώντας καλά τις έννοιες που περιλαμβάνουν γραμμή, ακτίνα και ευθύγραμμο τμήμα, είναι δυνατόν να κατανοήσουμε την ιδέα της γωνίας. Η περιοχή μεταξύ των γραμμών θα είναι γνωστή ως γωνία όποτε υπάρχει δύο γραμμές συναντώνται σε ένα σημείο που ονομάζεται κορυφή.
Ταξινόμηση γωνιών
Σύμφωνα με το μέτρο των γωνιών, είναι δυνατόν να ταξινομηθούν ως:
οξεία γωνία: εάν η μέτρηση είναι μικρότερη από 90°.
Ευθεία γωνία: εάν η μέτρηση είναι ίση με 90°.
αμβλεία γωνία: εάν η μέτρηση είναι μεγαλύτερη από 90° και μικρότερη από 180°·
Ρηχή γωνία: εάν η μέτρηση είναι ίση με 180°.
Διαβάστε επίσης: Συμπληρωματικές και συμπληρωματικές γωνίες—Τι σημαίνει η καθεμία;
Σχήματα Γεωμετρίας επιπέδου και τύποι για τον υπολογισμό των μετρήσεών τους
οι επίπεδες φιγούρες είναι τα γεωμετρικά σχήματα που απεικονίζονται σε ένα επίπεδο. Μερικές από τις επίπεδες μορφές μελετήθηκαν σε βάθος, δημιουργώντας σημαντικές έννοιες, όπως το εμβαδόν και η περίμετρος. Επιπλέον, κάθε ένα από τα σχήματα έχει μελετημένα τα χαρακτηριστικά του.
Σε σχέση με μια φιγούρα αεροπλάνου, το εμβαδόν είναι το μέτρο της επιφάνειάς του και η περίμετρος το μήκος του περιγράμματος του σχήματος, δηλαδή το άθροισμα των μήκος από τα πλευρά σου. Δείτε παρακάτω τα σχήματα του κύριου επιπέδου και τους τύπους για τον υπολογισμό του εμβαδού και της περιμέτρου τους.
τρίγωνα
ξέρουμε πώς τρίγωνο η επίπεδη φιγούρα που έχει τρεις πλευρές. Για να βρούμε την τιμή του εμβαδού του, υπολογίζουμε το γινόμενο του μήκους της βάσης, του μήκους ύψους και διαιρούμε με το 2. Η περίμετρός του βρίσκεται προσθέτοντας τις πλευρές.
παραλληλόγραμμο
ξέρουμε πώς παραλληλόγραμμο η επίπεδη φιγούρα που έχει τέσσερις παράλληλες πλευρές δύο επί δύο. Για να βρείτε την τιμή του εμβαδού ενός παραλληλογράμμου, απλά υπολογίστε το γινόμενο της βάσης και του ύψους του. Η περίμετρός του βρίσκεται προσθέτοντας όλες τις πλευρές του. Εφόσον οι παράλληλες πλευρές είναι ίσες, ο τύπος για τον υπολογισμό της περιμέτρου του παραλληλογράμμου είναι το άθροισμα της βάσης και της λοξής πλευράς πολλαπλασιαζόμενο επί 2.
Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο
Το ορθογώνιο είναι α τετράπλευρη επίπεδη φιγούρα που έχει όλες τις ορθές γωνίες. Για να υπολογίσουμε το εμβαδόν ενός ορθογωνίου, πολλαπλασιάζουμε τη βάση με το ύψος. Η τιμή της περιμέτρου είναι ίση με το άθροισμα των πλευρών της. Εφόσον αυτό το σχήμα έχει ίσες πλευρές δύο επί δύο, υπάρχει ένας τύπος για τον υπολογισμό της περιμέτρου του, ο οποίος είναι το άθροισμα της μακρύτερης πλευράς και της μακρύτερης πλευράς πολλαπλασιαζόμενο επί 2.
Επίσης γνωρίζω: Πολύεδρο — κάθε γεωμετρικό στερεό του οποίου οι όψεις σχηματίζονται από πολύγωνα
Διαμάντι
Ο διαμάντι είναι μια επίπεδη φιγούρα που, σε αντίθεση με τις προηγούμενες, έχει τέσσερις αντίστοιχες πλευρές. Για να υπολογίσετε το εμβαδόν του είναι απαραίτητο να βρείτε το μήκος του διαγώνιους, όπου το D αντιπροσωπεύει τη μείζονα διαγώνιο και το d τη δευτερεύουσα διαγώνιο. Επειδή όλες οι πλευρές είναι ίσες, για να υπολογίσετε την περίμετρο του ρόμβου, απλώς πολλαπλασιάστε το μήκος της πλευράς επί 4.
τετράγωνο
Ο τετράγωνο είναι ειδική περίπτωση ρόμβου και παραλληλογράμμου, γιατί έχει και τις 4 πλευρές ίσες και επίσης έχει όλες τις γωνίες ίσες. Για να υπολογίσετε το εμβαδόν του, απλώς πολλαπλασιάστε τη βάση του με το ύψος του. Επειδή οι πλευρές είναι ίσες, απλά υπολογίστε το τετράγωνο της πλευράς. Έτσι, αυτό το σχήμα, όπως και το τραπεζοειδές, έχει όλες τις όμοιες πλευρές. Επομένως, η περίμετρός του υπολογίζεται όταν πολλαπλασιάσουμε το μήκος της πλευράς επί 4.
τραπέζιο
Το τραπέζι είναι α τετράπλευρο τι έχει δύο παράλληλες πλευρές και τις άλλες δύο μη παράλληλες πλευρές. Για τον υπολογισμό του εμβαδού του, είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε το μήκος της μεγαλύτερης βάσης, τη μικρότερης βάσης και το ύψος. Για να βρεθεί η περίμετρός του, δεν υπάρχει συγκεκριμένος τύπος, ο οποίος υπολογίζεται προσθέτοντας τις βάσεις του στις πλάγιες πλευρές.
Περιφέρεια και κύκλος
Ο περιφέρεια είναι το σχήμα που σχηματίζεται από το σύνολο των σημείων που βρίσκονται στην ίδια απόσταση (r) από ένα σημείο που είναι γνωστό ως κέντρο.
Ο κύκλος είναι η περιοχή που οριοθετείται από την περιφέρεια.
Για να υπολογίσετε το εμβαδόν και μήκος κύκλου, χρησιμοποιούμε τους παρακάτω τύπους:
Διαφορά μεταξύ Επίπεδης Γεωμετρίας και Χωρικής Γεωμετρίας
Όπως είδαμε, η Γεωμετρία Επίπεδου είναι η μελέτη γεωμετρικών σχημάτων και αντικειμένων στο επίπεδο. Περιορίζεται, λοιπόν, σε δύο διαστάσεις. Σε αυτό μελετώνται επίπεδα σχήματα, όπως το τετράγωνο, το ορθογώνιο και το τρίγωνο. Ήδη Η Χωρική Γεωμετρία μελετά στοιχεία σε ένα τρισδιάστατο σύμπαν. Στη συνέχεια, μελετήσαμε το Γεωμετρικά στερεά, που είναι ο κύβος, ο πυραμίδες, η σφαίρα, μεταξύ άλλων. Η Επίπεδη Γεωμετρία είναι η βάση για τη μελέτη της Χωρικής Γεωμετρίας.
Πρόσβαση επίσης: Διαφορά μεταξύ περιφέρειας, κύκλου και σφαίρας — συμβουλές για να μην κάνετε ποτέ ξανά στραβά
Λυμένες ασκήσεις Επίπεδης Γεωμετρίας
ερώτηση 1
Ένα γήπεδο ποδοσφαίρου έχει πλάτος 70 μέτρα και μήκος 110 μέτρα. Εάν κατά τη διάρκεια της προθέρμανσης ένας αθλητής ολοκληρώσει 10 γύρους σε αυτό το γήπεδο, θα περπατήσει συνολικά:
Α) 180 μέτρα
Β) 360 μέτρα
Γ) 1800 μέτρα
Δ) 3600 μέτρα
Ε) 7200 μέτρα
Ανάλυση:
Εναλλακτική Δ
Αρχικά, θα υπολογίσουμε την περίμετρο αυτού του γραφήματος:
P = 2 (70 + 110)
P = 2 · 180
P = 360
Καθώς συμπλήρωσε 10 γύρους τότε:
360 · 10 = 3600 μέτρα
Ερώτηση 2
Ένα τετράγωνο έχει κυκλικό σχήμα, με ακτίνα 8 μέτρα. Χρησιμοποιώντας π = 3, το εμβαδόν αυτού του τετραγώνου είναι:
Α) 158 m²
Β) 163 m²
Γ) 192 m²
Δ) 210 m²
Ε) 250 m²
Ανάλυση:
Εναλλακτική Γ
Υπολογίζοντας το εμβαδόν έχουμε:
A = πr²
A = 3 · 8²
A = 3 · 64
A = 192 m²
