Η παραγοντοποίηση των πολυώνυμα αποτελείται από μεθόδους που αναπτύχθηκαν για να ξαναγράψουν ένα πολυώνυμο ως γινόμενο μεταξύ πολυωνύμων. Γράψτε το πολυώνυμο ως το πολλαπλασιασμός μεταξύ δύο ή περισσότερων παραγόντων βοηθά στην απλοποίηση αλγεβρικών εκφράσεων και στην κατανόηση ενός πολυωνύμου.
Υπάρχουν διαφορετικές περιπτώσεις Factoring, και για καθεμία από αυτές υπάρχουν συγκεκριμένες τεχνικές.. Οι υπάρχουσες περιπτώσεις είναι: παραγοντοποίηση με κοινό παράγοντα στην απόδειξη, παραγοντοποίηση με ομαδοποίηση, διαφορά μεταξύ δύο τετραγώνων, τέλειο τετράγωνο τριώνυμο, άθροισμα δύο κύβων και διαφορά δύο κύβων.
Διαβάστε περισσότερα:Τι είναι το πολυώνυμο;
Σύνοψη για την παραγοντοποίηση πολυωνύμων
Η παραγοντοποίηση πολυωνύμων είναι τεχνικές που χρησιμοποιούνται για την αναπαράσταση του πολυωνύμου ως γινόμενο μεταξύ πολυωνύμων.
Χρησιμοποιούμε αυτήν την παραγοντοποίηση για απλοποίηση αλγεβρικές εκφράσεις.
-
Οι περιπτώσεις Factoring είναι:
Factoring από κοινό παράγοντα στα στοιχεία;
Factoring με ομαδοποίηση;
τέλειο τετράγωνο τριώνυμο;
διαφορά δύο τετραγώνων;
άθροισμα δύο κύβων;
Διαφορά δύο κύβων.
Πολυωνυμικές περιπτώσεις Factoring
Για να παραγοντοποιήσετε ένα πολυώνυμο, είναι απαραίτητο να αναλυθεί σε ποια από τις περιπτώσεις Factoring ταιριάζει η κατάσταση, είναι: παραγοντοποίηση με κοινό παράγοντα στην απόδειξη, παραγοντοποίηση με ομαδοποίηση, διαφορά μεταξύ δύο τετραγώνων, τέλειο τετράγωνο τριώνυμο, άθροισμα δύο κύβων και διαφορά δύο κύβων. Ας δούμε πώς γίνεται η παραγοντοποίηση σε καθένα από αυτά.
Μη σταματάς τώρα… Υπάρχουν και άλλα μετά τη διαφήμιση ;)
Κοινός παράγοντας αποδεικτικών στοιχείων
Χρησιμοποιούμε αυτή τη μέθοδο παραγοντοποίησης όταν υπάρχει ένας παράγοντας κοινός σε όλους τους όρους του πολυωνύμου. Αυτός ο κοινός παράγοντας θα τονιστεί ως ένας παράγοντας και ο άλλος παράγοντας, το αποτέλεσμα του διαίρεση των όρων από αυτόν τον κοινό παράγοντα, θα τοποθετηθούν μέσα στην παρένθεση.
Παράδειγμα 1:
20xy + 12x² + 8xy²
Αναλύοντας κάθε όρο αυτού του πολυωνύμου, μπορούμε να δούμε ότι το x επαναλαμβάνεται σε όλους τους όρους. Επίσης, όλοι οι συντελεστές (20, 12 και 8) είναι πολλαπλάσια του 4, άρα ο κοινός παράγοντας για όλους τους όρους είναι 4x.
Διαιρώντας κάθε όρο με τον κοινό παράγοντα, έχουμε:
20xy: 4x = 5y
12x²: 4x = 3x
8xy²: 4x = 2y²
Τώρα, θα γράψουμε την παραγοντοποίηση βάζοντας τον κοινό παράγοντα σε στοιχεία και το άθροισμα των αποτελεσμάτων που βρέθηκαν σε παρένθεση:
4x (5y + 3x + 2y²)
Παράδειγμα 2:
2a²b² + 3a³b – 4a5b³
Αναλύοντας το κυριολεκτικό μέρος κάθε όρου, μπορούμε να δούμε ότι το a²b επαναλαμβάνεται σε όλους. Σημειώστε ότι δεν υπάρχει αριθμός που να διαιρεί 2, 3 και – 4 ταυτόχρονα. Άρα ο κοινός παράγοντας θα είναι απλώς a²b.
2a²b²: a²b = 2b
3a³b: a²b = 3a
4η5b³: a²b = 4a³
Έτσι, η παραγοντοποίηση αυτού του πολυωνύμου θα είναι:
a²b (2b + 3a + 4a³)
Δείτε επίσης: Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός πολυωνύμων — κατανοήστε πώς γίνονται
ομαδοποίηση
Αυτή η μέθοδος είναι χρησιμοποιείται όταν δεν υπάρχει κοινός παράγοντας για όλους τους όρους του πολυωνύμου. Σε αυτή την περίπτωση, εντοπίζουμε όρους που μπορούν να ομαδοποιηθούν έχοντας έναν κοινό παράγοντα και τους επισημαίνουμε.
Παράδειγμα:
Υπολογίστε το ακόλουθο πολυώνυμο:
τσεκούρι + 4β + βχ + 4α
Θα ομαδοποιήσουμε τους όρους που έχουν το a και το b ως κοινό παράγοντα:
τσεκούρι + 4α + βχ + 4β
Βάζοντας τα α και β σε απόδειξη δύο επί δύο, έχουμε:
a(x+4)+b(x+4)
Σημειώστε ότι μέσα στην παρένθεση οι παράγοντες είναι ίδιοι, οπότε μπορούμε να ξαναγράψουμε αυτό το πολυώνυμο ως:
(α + β) (x + 4)
τέλειο τετράγωνο τριώνυμο
Τα τριώνυμα είναι πολυώνυμα με 3 όρους. Ένα πολυώνυμο είναι γνωστό ως τέλειο τετράγωνο τριώνυμο όταν είναι άθροισμα στο τετράγωνο ή στο τετράγωνο της διαφοράς αποτέλεσμα, αυτό είναι:
a² + 2ab + b² = (a + b) ²
a² – 2ab + b² = (a – b) ²
Σπουδαίος: Όχι κάθε φορά που υπάρχουν τρεις όροι, αυτό το πολυώνυμο θα είναι τέλειο τετράγωνο τριώνυμο. Επομένως, πριν πραγματοποιηθεί η παραγοντοποίηση, πρέπει να επαληθευτεί εάν το τριώνυμο ταιριάζει σε αυτή την περίπτωση.
Παράδειγμα:
Συντελεστής, αν είναι δυνατόν, το πολυώνυμο
x² + 10x + 25
Αφού αναλύσουμε αυτό το τριώνυμο, θα εξαγάγουμε το τετραγωνική ρίζα πρώτη και τελευταία περίοδος:
\(\sqrt{x^2}=x\)
\(\sqrt{25}=5\)
Είναι σημαντικό να επαληθεύσετε ότι ο κεντρικός όρος, δηλαδή 10x, είναι ίσος με \(2\cdot\ x\cdot5\). Σημειώστε ότι είναι όντως το ίδιο. Αυτό είναι λοιπόν ένα τέλειο τετράγωνο τριώνυμο, το οποίο μπορεί να υπολογιστεί από:
x² + 10x + 25 = (x + 5)²
διαφορά δύο τετραγώνων
Όταν έχουμε διαφορά δύο τετραγώνων, μπορούμε να συνυπολογίσουμε αυτό το πολυώνυμο γράφοντάς το ξανά ως το γινόμενο του αθροίσματος και της διαφοράς.
Παράδειγμα:
Συντελεστής το πολυώνυμο:
4x² – 36y²
Αρχικά, θα υπολογίσουμε την τετραγωνική ρίζα καθενός από τους όρους του:
\(\sqrt{4x^2}=2x\)
\(\sqrt{36y^2}=6y\)
Τώρα, θα ξαναγράψουμε αυτό το πολυώνυμο ως το γινόμενο του αθροίσματος και της διαφοράς των ριζών που βρέθηκαν:
4x² – 36y² = (2x + 6y) (2x – 6y)
Διαβάστε επίσης: Αλγεβρικός υπολογισμός που περιλαμβάνει μονώνυμα — μάθετε πώς γίνονται οι τέσσερις πράξεις
άθροισμα δύο κύβων
Το άθροισμα δύο κύβων, δηλαδή, a³ + b³, μπορεί να συνυπολογιστεί ως:
a³ + b³ = (a + b) (a² – ab + b²)
Παράδειγμα:
Συντελεστής το πολυώνυμο:
x³ + 8
Γνωρίζουμε ότι 8 = 2³, άρα:
x³ + 8 = (x + 2) (x² - 2x + 2²)
x³ + 8 = (x + 2) (x² - 2x + 4)
Διαφορά δύο κύβων
Η διαφορά δύο κύβων, δηλαδή, a³ – b³, όχι σε αντίθεση με το άθροισμα δύο κύβων, μπορεί να υπολογιστεί ως:
a³ – b³ = (a – b) (a² + ab + b²)
Παράδειγμα:
Υπολογίστε το πολυώνυμο
8x³ - 27
Ξέρουμε ότι:
8x³ = (2x) ³
27 = 3³
Πρέπει λοιπόν:
\(8x^3-27=\αριστερά (2x-3\δεξιά)\)
\(8x^3-27=\αριστερά (2x-3\δεξιά)\αριστερά (4x^2+6x+9\δεξιά)\)
Λυμένες ασκήσεις παραγοντοποίησης πολυωνύμων
ερώτηση 1
Χρήση πολυωνυμικής παραγοντοποίησης για απλοποίηση της αλγεβρικής έκφρασης \(\frac{x^2+4x+4}{x^2-4},\), θα βρούμε:
α) x + 2
Β) x - 2
ΝΤΟ) \(\frac{x-2}{x+2}\)
ΡΕ) \(\frac{x+2}{x-2}\)
Ε) (x - 2) (x + 2)
Ανάλυση:
Εναλλακτική Δ
Βλέποντας τον αριθμητή, βλέπουμε ότι το x² + 4x + 4 είναι περίπτωση τέλειου τετραγωνικού τριωνύμου και μπορεί να ξαναγραφτεί ως:
x² + 4x + 4 = (x + 2)²
Ο αριθμητής x² – 4 είναι η διαφορά δύο τετραγώνων και μπορεί να ξαναγραφτεί ως:
x² - 4 = (x + 2) (x - 2)
Επομένως:
\(\frac{\left (x+2\right)^2}{\left (x+2\right)\left (x-2\right)}\)
Σημειώστε ότι ο όρος x + 2 εμφανίζεται τόσο στον αριθμητή όσο και στον παρονομαστή, επομένως η απλοποίησή του δίνεται ως εξής:
\(\frac{x+2}{x-2}\)
Ερώτηση 2
(Ινστιτούτο Unifil) Λαμβάνοντας υπόψη ότι δύο αριθμοί, x και y, είναι τέτοιοι ώστε x + y = 9 και x² – y² = 27, η τιμή του x είναι ίση με:
α) 4
Β) 5
Γ) 6
Δ) 7
Ανάλυση:
Εναλλακτική Γ
Σημειώστε ότι το x² – y² είναι η διαφορά μεταξύ δύο τετραγώνων και μπορεί να συνυπολογιστεί ως το γινόμενο του αθροίσματος και της διαφοράς:
x² – y² = (x + y) (x – y)
Γνωρίζουμε ότι x + y = 9:
(x + y) (x - y) = 27
9 (x - y) = 27
x - y = 27: 9
x - y = 3
Τότε μπορούμε να δημιουργήσουμε ένα σύστημα εξισώσεων:
Προσθέτοντας τις δύο γραμμές:
2x + 0 y = 12
2x = 12
x = \(\frac{12}{2}\)
x = 6
Του Ραούλ Ροντρίγκες ντε Ολιβέιρα
Καθηγητής μαθηματικών
