Διωνυμία του Νεύτωνα είναι οποιοδήποτε διωνυμικό ανυψωμένο σε έναν αριθμό όχι σε τι όχι είναι ένας φυσικός αριθμός. Χάρη στις μελέτες του φυσικού Ισαάκ Νιούτον για τις δυνάμεις των διωνύμων, ήταν δυνατό ελέγξτε τις κανονικότητες που διευκολύνουν την αναπαράσταση του πολυωνύμου παράγεται από τη δύναμη ενός διωνύμου.
Παρατηρώντας αυτές τις κανονικότητες, έγινε επίσης δυνατή βρείτε μόνο έναν από τους όρους του πολυώνυμος, χωρίς να χρειάζεται να τα υπολογίσω όλα, χρησιμοποιώντας τον τύπο του γενικού όρου ενός διωνύμου. Επιπλέον, ο Νεύτωνας παρατήρησε μια σχέση μεταξύ του συνδυαστική ανάλυσηa και Newom's binomials, τι έκανε το Το τρίγωνο του Pascal ένα εξαιρετικό εργαλείο για την πιο πρακτική ανάπτυξη ενός διωνύμου Newton.
Διαβάστε επίσης: Συσκευή Briot-Ruffini - μέθοδος διαχωρισμού πολυωνύμων
Ορισμός του διωνύμου του Νεύτωνα
Ορίζουμε ως διωνυμικό τοπολυώνυμο που έχει δύο όρους. Σε ορισμένες εφαρμογές στα Μαθηματικά και τη Φυσική, είναι απαραίτητο να υπολογίσουμε τις δυνάμεις ενός διωνύμου. Για να διευκολυνθεί η διαδικασία,
Ο Isaac Newton παρατήρησε σημαντικές κανονικότητες που μας επιτρέπουν να βρούμε το πολυώνυμο που προκύπτει από τη δύναμη ενός διωνύμου.
Σε ορισμένες περιπτώσεις, ο υπολογισμός είναι αρκετά απλός: απλώς εκτελέστε το πολλαπλασιασμός του διωνύμου από μόνος του χρησιμοποιώντας την ιδιότητα διανομής. Μέχρι την ισχύ της τάξης 3, αναπτύσσουμε χωρίς πολλή προσπάθεια, καθώς είναι οι γνωστοί αξιοσημείωτα προϊόντα, αλλά για υψηλότερες εξουσίες, υπολογίστε από τον πολλαπλασιασμό του όρου από μόνο του όχι μερικές φορές είναι πολλή δουλειά.
Παραδείγματα
Θυμηθείτε ότι κάθε αριθμός που αυξάνεται στο μηδέν είναι ίσος με 1 και ότι κάθε αριθμός που αυξάνεται στο 1 είναι ο ίδιος, πράγμα που ισχύει και για τα δυόμια.
Ο Νεύτωνας παρατήρησε ένα σχέση μεταξύ των συντελεστών καθενός από τους όρους και του συνδυασμού, που επέτρεψε τον υπολογισμό μιας ισχύος ενός διωνύμου πιο άμεσα από τον ακόλουθο τύπο:
Κατανόηση του τύπου:
Πρώτα ας δούμε το κυριολεκτικό μέρος κάθε όρου, που είναι το γράμμα με τον εκθέτη του. Σημειώστε ότι, για κάθε όρο, ο εκθέτης του “ένα "μειώθηκε, ξεκινώντας από το n, μετά πήγαινε στο n - 1, και ούτω καθεξής έως ότου ήταν 1 στον προτελευταίο όρο και 0 στον τελευταίο όρο (που κάνει το γράμμα" a "να μην εμφανίζεται καν στον τελευταίο όρο).
προσδιορίζοντας ο και οι εκθέτες του:
Τώρα ας αναλύσουμε τους εκθέτες του "b", οι οποίοι αυξάνονται πάντα, ξεκινώντας από το 0 στον πρώτο όρο (το που κάνει το γράμμα b να μην εμφανίζεται στον πρώτο όρο), 1 στον δεύτερο όρο και ούτω καθεξής έως ότου είναι ίσο ο όχιστον τελευταίο όρο.
προσδιορίζοντας σι και οι εκθέτες του:
Κατανοώντας το κυριολεκτικό μέρος, ας αναλύστε τους συντελεστές, που είναι όλοι οι συνδυασμοί του όχι στοιχεία που λαμβάνονται από 0 έως 0, 1 έως 1, 2 έως 2, και ούτω καθεξής μέχρι τον τελευταίο όρο, που είναι ο συνδυασμός του όχι στοιχεία που λαμβάνονται από όχι σε όχι.
Αξίζει να σημειωθεί ότι είναι σημαντικό να ελέγξετε τον υπολογισμό του συνδυασμοί για να βρείτε τους συντελεστές. Θυμηθείτε, για να υπολογίσετε συνδυασμούς, πρέπει:
Η απόκριση συνδυασμού είναι πάντα α φυσικός αριθμός.
Δείτε επίσης: Πολυωνυμική διαίρεση: πώς να το λύσει;
Παράδειγμα: Υπολογίστε το διωνυμικό Newton (a + b) στην τέταρτη δύναμη.
1ο βήμα: γράψτε το πολυώνυμο χρησιμοποιώντας τον τύπο.
2ο βήμα: υπολογίστε τους συνδυασμούς.
Αντικαθιστώντας τους συνδυασμούς, το πολυώνυμο που βρέθηκε θα είναι:
Μπορείτε να δείτε ότι η επίλυση περιπτώσεων όπως αυτή είναι ακόμα επίπονη, ανάλογα με τον εκθέτη, αλλά παρόλα αυτά είναι ταχύτερη από τον υπολογισμό χρησιμοποιώντας τη διανομή ιδιοτήτων. Ένα εργαλείο που μπορεί να βοηθήσει σε αυτόν τον υπολογισμό είναι το τρίγωνο του Pascal.
Το τρίγωνο του Πασκάλ
Το τρίγωνο Pascal αναπτύχθηκε από την Blaise Pascal κατά τη μελέτη των συνδυασμών. Αυτός είναι ένας τρόπος που διευκολύνει τον υπολογισμό των συνδυασμών. Η χρήση του τριγώνου Pascal καθιστά ταχύτερη και ευκολότερη την εύρεση των συντελεστών των κυριολεκτικών τμημάτων ενός διωνύμου Newton χωρίς να χρειάζεται να υπολογίσετε όλους τους συνδυασμούς.
Για να κατασκευάσουμε το τρίγωνο του Pascal άμεσα, ας θυμηθούμε δύο καταστάσεις όπου ο υπολογισμός συνδυασμού είναι ίσος με 1.
Έτσι, ο πρώτος και ο τελευταίος όρος όλων των γραμμών είναι πάντα ίσοι με 1. Οι κεντρικοί όροι δημιουργούνται από το άθροισμα του όρου πάνω από αυτόν συν τον γείτονά του από την προηγούμενη στήλη, όπως στην παρακάτω παράσταση:
Για να χτίσετε τις επόμενες γραμμές, απλώς θυμηθείτε ότι ο πρώτος όρος είναι 1 και ο τελευταίος. Τότε αρκεί να κάνουμε τα αθροίσματα για να ανακαλύψεις τους κεντρικούς όρους.
Επίσης πρόσβαση: Θεώρημα πολυωνυμικής αποσύνθεσης
Παράδειγμα: Υπολογίστε (a + b) στην έκτη ισχύ.
1ο βήμα: εφαρμόστε τον τύπο του διωνύμου.
2ο βήμα: χτίστε το τρίγωνο του Pascal μέχρι την 6η γραμμή.
3ο βήμα: αντικαταστήστε τους συνδυασμούς με τις τιμές στη γραμμή 6, οι οποίοι είναι οι συντελεστές καθενός από τους όρους του διωνύμου.
Αυτό που καθορίζει τον αριθμό των γραμμών που πρόκειται να δημιουργήσουμε από το διωνυμικό είναι η τιμή του n. Είναι σημαντικό να θυμάστε ότι η πρώτη γραμμή είναι μηδέν.
Διωνυμικός γενικός όρος του Νεύτωνα
Ο γενικός όρος διωνύμιο του Νεύτωνα είναι ένας τύπος που μας επιτρέπει να υπολογίζουμε έναν όρο του διωνύμου χωρίς να χρειάζεται να αναπτύξουμε ολόκληρο το πολυώνυμο, δηλαδή προσδιορίστε οποιονδήποτε από τους όρους από την πρώτη έως την τελευταία. Με τον τύπο, υπολογίζουμε άμεσα τον όρο που αναζητούμε.
Ο: πρώτος όρος
ΣΙ: δεύτερη περίοδος
ν: εκθέτης
σελ + 1: όρος αναζήτησης
Παράδειγμα: Βρείτε τον 11ο όρο του διωνύμου (a + b)12.
Ανάλυση:
Δείτε επίσης: Διαδηλώσεις διά μέσου αλγεβρικού λογισμού
Οι ασκήσεις λύθηκαν
Ερώτηση 1 - (Cesgranrio) Ο συντελεστής x4 στο πολυώνυμο P (x) = (x + 2)6:
α) 64
β) 60
γ) 12
δ) 4
ε) 24
Ανάλυση
Θέλουμε να βρούμε έναν συγκεκριμένο όρο για την επίλυση του διωνύμου. για αυτό, πρέπει να βρούμε την τιμή του p.
Γνωρίζουμε ότι ο πρώτος όρος σε αυτήν την περίπτωση είναι ίσος με x, οπότε n - p = 4, όπως n = 6, έχουμε:
Ως εκ τούτου, ο συντελεστής είναι 60 (εναλλακτική Β).
Ερώτηση 2 - (Unifor) Εάν ο κεντρικός όρος της διωνυμικής ανάπτυξης (4x + ky)10 για 8064x5γ5, τότε η εναλλακτική λύση που αντιστοιχεί στην τιμή του k θα είναι:
α) 1/4
β) 1/2
γ) 1
δ) 2
ε) 4
Ανάλυση: Γνωρίζουμε ότι ο κεντρικός όρος έχει ίσους συντελεστές (p = 5). Ας βρούμε τον 6ο όρο, αφού p + 1 = 6. Επιπλέον, έχουμε αυτό = 4x; b = ky και n = 10, έτσι:
Εναλλακτική Δ.
Του Raul Rodrigues de Oliveira
Καθηγητής μαθηματικών
Πηγή: Σχολείο της Βραζιλίας - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/binomio-de-newton.htm
