Αφαίρεση του Τρίτου Νόμου του Κέπλερ. Τρίτος Νόμος του Κέπλερ.

Γνωρίζουμε ότι οι τροχιές των πλανητών είναι ελλειπτικές, ωστόσο, για τους εξαγωγή του Τρίτου Νόμου του Κέπλερ, ας εξετάσουμε μια κυκλική τροχιά. Αν και η ακόλουθη επίδειξη βασίζεται σε κυκλικές τροχιές, τα αποτελέσματα ισχύουν και για ελλειπτικές τροχιές.

Στο σχήμα έχουμε έναν πλανήτη σε τροχιά γύρω από τον Ήλιο. Η κεντρομόλος δύναμη (Fc) είναι μια βαρυτική δύναμη έλξης που ασκείται από τον Ήλιο. Οι δυνάμεις έλξης που ασκούνται μεταξύ πλανητών και δορυφόρων παραμελούνται, αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι οι μάζες τους είναι πολύ μικρότερες από τη μάζα του Ήλιου.

Όπως ο πλανήτης της μάζας (Μ) περιστρέφεται γύρω από τον Ήλιο, σε κυκλική κίνηση και με γωνιακή ταχύτητα ( ), η προκύπτουσα δύναμη στον πλανήτη, που ονομάζεται κεντρομόλος δύναμη (Fc), δίνεται από:

φά_ντο=mω² r

Σε τι:

φά_ντο:κεντρομόλος δύναμη;
m: μάζα του πλανήτη.
ω: γωνιακή ταχύτητα του πλανήτη.
r: ακτίνα της τροχιάς του πλανήτη.

Η γωνιακή ταχύτητα δίνεται από:

Σε τι:

Τ: περίοδος επανάστασης στον πλανήτη.

Αντικαθιστώντας την εξίσωση 2 στην εξίσωση 1, έχουμε:

Σημειώστε ότι η κεντρομόλος δύναμη είναι η βαρυτική δύναμη έλξης μεταξύ του Ήλιου και του πλανήτη. Έτσι, θεωρώντας τη μάζα του Ήλιου ως (M) και την ακτίνα τροχιάς του πλανήτη ως (r), που είναι η απόσταση μεταξύ του Ήλιου και του Πλανήτη, ο Νόμος της Παγκόσμιας Βαρύτητας μπορεί να γραφτεί ως εξής:

Σε τι:

Εξισώνοντας την εξίσωση 3 με 4, θα έχουμε:

Σύντομα:

Δείτε την εξίσωση 5 και σημειώστε ότι ο όρος  είναι σταθερή, καθώς οι άγνωστοι αναφέρονται στην καθολική σταθερά και τη μάζα του ήλιου, επομένως η εξίσωση μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής:

Τ²=κρ³

Σε τι:

k: σταθερά αναλογικότητας.

Η εξίσωση 6 μας λέει ότι το τετράγωνο της περιόδου περιστροφής ενός πλανήτη γύρω από τον Ήλιο είναι ευθέως ανάλογο με τον κύβο της απόστασης μεταξύ τους.

Από την παραπάνω εξίσωση μπορούμε να συναγάγουμε το συμπέρασμα ότι όσο πιο μακριά είναι ο πλανήτης από τον Ήλιο, τόσο μεγαλύτερη είναι η περίοδος της επανάστασής του.

Ο Τρίτος Νόμος του Κέπλερ, που μόλις καταλήξαμε, ισχύει και σε σχέση με τη Γη για την κίνηση της Σελήνης και των τεχνητών δορυφόρων.

Του Nathan Augusto
Πτυχιούχος Φυσικής

Πηγή: Σχολείο Βραζιλίας - https://brasilescola.uol.com.br/fisica/deducao-terceira-lei-kepler.htm