Ο τριγωνομετρικός κύκλος είναι ένα κύκλος που έχει ακτίνα 1 και κέντρο Ο. Το κέντρο αυτό τοποθετείται στο σημείο Ο = (0,0) ενός καρτεσιανού επιπέδου. κάθε σημείο αυτού περιφέρεια συνδέεται με α πραγματικός αριθμός, που συνήθως εκφράζεται ως συνάρτηση του π, το οποίο, με τη σειρά του, σχετίζεται με το α γωνία αυτού του κύκλου. Καθώς αυτός ο κύκλος έχει ακτίνα 1, το μήκος του είναι ίσο με 2π, γιατί:
C = 2πr
C = 2π·1
C = 2π
Αυτός ο πραγματικός αριθμός αντιπροσωπεύει έναν πλήρη γύρο. Επομένως, το μήκος μισής στροφής στο κύκλοςτριγωνομετρική μπορεί να ληφθεί ως εξής:
ΝΤΟ = 2π
2 2
ΝΤΟ = π
2
Όπως μπορείτε να δείτε, η μισή στροφή έχει μήκος ίσο με π. Με τον ίδιο τρόπο, είναι δυνατόν να φανεί ότι το ένα τέταρτο του ΕΠΙΣΤΡΟΦΗ έχει μήκος ίσο με π/2 και ότι τα τρία τέταρτα της στροφής έχουν μήκος ίσο με 3π/2. Η θέση των σημείων A = π/2, B = π, C = 3π/2 και D = 2π φαίνεται στην παρακάτω εικόνα. Σημειώστε ότι η αίσθηση του ΕΠΙΣΤΡΟΦΗ που δίνεται είναι αριστερόστροφα.
τεταρτημόρια
Οι τιμές που δίνονται για το προηγούμενο σχήμα σηματοδοτούν τις διαιρέσεις του
κύκλοςτριγωνομετρική σε τεταρτημόρια. Εκείνοι τεταρτημόρια είναι επίσης διατεταγμένα αριστερόστροφα και αριθμούνται με τους λατινικούς αριθμούς I έως IV. Τα εύρη που ανήκουν σε κάθε τεταρτημόριο είναι:1ο τεταρτημόριο: 0 έως π/2;
2ο τεταρτημόριο: π/2 έως π;
3ο τεταρτημόριο: π έως 3π/2;
4ο τεταρτημόριο: 3π/2 έως 2π.
Αυτά τα τεταρτημόρια υποστηρίζουν επίσης γωνίες. Κοίτα:
1ο τεταρτημόριο: 0 έως 90°;
2ο τεταρτημόριο: 90° έως 180°.
3ο τεταρτημόριο: 180° έως 270°.
4ο τεταρτημόριο: 270° έως 360°.
Παράδειγμα
Σε ποιο τεταρτημόριο βρίσκεται ο αριθμός π/3 και ποια γωνία αντιπροσωπεύει;
Από τα παραπάνω, το π/3 βρίσκεται στο πρώτο τεταρτημόριο. Γνωρίζοντας ότι το π αντιπροσωπεύει μια μισή στροφή, δηλαδή 180°, για να βρείτε τη γωνία που αντιπροσωπεύεται από το π/3, απλώς διαιρέστε τις 180° με το 3. Το αποτέλεσμα είναι 60°.
ΛόγοςΗμίτονο
Πάνω σε κύκλοςτριγωνομετρική, κατασκευάστε τη γωνία θ όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:
Σημειώστε ότι κάνοντας το ορθογώνια προβολή του P στον άξονα x, παίρνουμε το σημείο R και ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Κάνοντας την ορθογώνια προβολή του P στον άξονα y, παίρνουμε α παραλληλόγραμμο QPR. Ο υπολογισμός του ημιτόνου του θ, σε αυτή την περίπτωση, ισοδυναμεί με τη μέτρηση του μήκους του τμήματος PR, το οποίο είναι ίσο με OQ. Αυτό συμβαίνει γιατί το βλασφημία κύκλος είναι 1 και η υποτείνουσα του εν λόγω τριγώνου είναι πάντα ίση με την ακτίνα του κύκλου. Μαθηματικά έχουμε:
Σενθ = PR = PR = PR = OQ
r 1
Σημειώστε, λοιπόν, ότι sin0° = 0, sin90° = 1, sin180° = 0 και sin270° = – 1.
Στο κύκλοςτριγωνομετρική, τα ημιτονοειδή πρόσημα της γωνίας θ μπορούν να προβλεφθούν σύμφωνα με το τεταρτημόριο στο οποίο βρίσκεται το σημείο P. Το παρακάτω σχήμα περιέχει ένα θετικό ή αρνητικό πρόσημο για τα αντίστοιχα τεταρτημόρια όπου οι ημιτονοειδείς τιμές είναι θετικές ή αρνητικές.
Λόγοςσυνημίτονο
Σαν συνημίτονο το ίδιο συμβαίνει, ωστόσο, η τιμή του συνημιτόνου καθορίζεται από το μήκος του τμήματος OR = QP, αφού το συνημίτονο είναι το αποτέλεσμα της διαίρεσης του διπλανού σκέλους με την υποτείνουσα. Μαθηματικά έχουμε:
Cosθ = Ή = Ή = QP
r 1
παρακολουθώντας το κύκλοςτριγωνομετρική, μπορούμε να αναγνωρίσουμε τις κύριες τιμές συνημιτόνου: Cos0° = 1, Cos90° = 0, Cos 180° = – 1 και Cos 270° = 0. Όπως και με τα ημίτονο, είναι δυνατό να γνωρίζουμε το πρόσημο του συνημιτόνου της εν λόγω γωνίας μόνο από το τεταρτημόριο που καταλαμβάνει το P. Δείτε την παρακάτω εικόνα:
Παράδειγμα
Στο κύκλοςτριγωνομετρική, σημειώστε το ημίτονο των 30° και βρείτε την τιμή του.
Λύση:
Για να λύσετε αυτό το πρόβλημα, κατασκευάστε μια γωνία 30° ως εξής:
Μετά από αυτό, χρησιμοποιήστε έναν χάρακα για να μετρήσετε το τμήμα OQ ή να υπολογίσετε την τιμή του sen30°.
Του Luiz Paulo Moreira
Πτυχιούχος Μαθηματικών
Πηγή: Σχολείο Βραζιλίας - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-circulo-trigonometrico.htm