Ο Το τρίγωνο του Πασκάλ είναι ένα αρκετά παλιό εργαλείο μαθηματικών. Σε όλη την ιστορία, έχει λάβει πολλά ονόματα, αλλά τα πιο υιοθετημένα σήμερα είναι αριθμητικό τρίγωνο και το τρίγωνο του Πασκάλ. Το δεύτερο όνομα είναι ένας φόρος τιμής στον μαθηματικό που έκανε αρκετές συνεισφορές στη μελέτη αυτού του τριγώνου. σημαίνει ότι το τρίγωνο εφευρέθηκε από τον ίδιο, αλλά ήταν αυτός που έκανε μια βαθύτερη μελέτη για αυτό εργαλείο.
Από τις ιδιότητες του τριγώνου Pascal, είναι δυνατό να κατασκευαστεί λογικά. Ξεχωρίζει επίσης το δικό σας σχέση με συνδυασμοί μελετήθηκε σε συνδυαστική ανάλυση. Οι όροι του τριγώνου Pascal αντιστοιχούν επίσης σε διωνυμικούς συντελεστές και, ως εκ τούτου, είναι πολύ χρήσιμο για τον υπολογισμό οποιουδήποτε διωνύμου Newton.
Διαβάστε επίσης: Συσκευή Briot-Ruffini - μέθοδος διαίρεσης πολυωνύμων
Κατασκευή του τριγώνου του Πασκάλ
Το τρίγωνο του Πασκάλ παράγεται από το αποτέλεσμα των συνδυασμών, ωστόσο υπάρχει μια πρακτική μέθοδος που διευκολύνει τον τρόπο κατασκευής του. Η πρώτη γραμμή και η πρώτη στήλη υπολογίζονται ως γραμμή μηδέν και στήλη μηδέν.
Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε όσες γραμμές χρειαζόμαστε σε αυτή την κατασκευή, επομένως το τρίγωνο μπορεί να έχει άπειρες γραμμές. Το σκεπτικό για την επεξεργασία των γραμμών είναι πάντα το ίδιο. Κοίτα:
Ξέρουμε ότι Οι όροι του τριγώνου είναι συνδυασμοί, σπούδασε σε συνδυαστική ανάλυση. Για την αντικατάσταση του τριγώνου του Pascal με αριθμητικές τιμές, γνωρίζουμε ότι οι συνδυασμοί ενός αριθμού με το μηδέν και ενός αριθμού με τον εαυτό του είναι πάντα ίσοι με 1. Επομένως, η πρώτη και η τελευταία τιμή είναι πάντα 1.
Για να βρούμε τα άλλα, ξεκινάμε με τη γραμμή 2, αφού η γραμμή 0 και η γραμμή 1 έχουν ήδη ολοκληρωθεί. Στη γραμμή 2, για να βρούμε τον συνδυασμό 2 προς 1, στην παραπάνω γραμμή, δηλαδή στη γραμμή 1, ας προσθέσουμε τον όρο από πάνω του στην ίδια στήλη και τον όρο από πάνω του στην προηγούμενη στήλη, όπως φαίνεται στην εικόνα :
Μετά την κατασκευή της γραμμής 2, είναι δυνατό να κατασκευαστεί η γραμμή 3 εκτελώντας την ίδια διαδικασία.
Συνεχίζοντας αυτή τη διαδικασία, θα βρούμε όλους τους όρους – σε αυτήν την περίπτωση, μέχρι τη γραμμή 5 – αλλά είναι δυνατό να δημιουργήσουμε όσες γραμμές χρειάζεται.
Ιδιότητες του Τριγώνου του Πασκάλ
Υπάρχουν μερικά ιδιότητες του τριγώνου του Πασκάλ, λόγω της κανονικότητας στην κατασκευή του. Αυτές οι ιδιότητες είναι χρήσιμες για την εργασία με συνδυασμούς, την κατασκευή των ίδιων των τριγωνικών γραμμών και το άθροισμα γραμμών, στηλών και διαγωνίων.
1η ιδιοκτησία
Το πρώτο ακίνητο ήταν αυτό που χρησιμοποιήσαμε για να φτιάξουμε το τρίγωνο. Έτσι για να βρείτε έναν όρο στο τρίγωνο του Pascal, απλώς προσθέστε τον όρο που βρίσκεται στη σειρά από πάνω του και την ίδια στήλη με τον όρο που βρίσκεται στη στήλη και τη γραμμή πριν από αυτόν. Αυτή η ιδιότητα μπορεί να αναπαρασταθεί ως εξής:
Αυτή η ιδιοκτησία είναι γνωστή ως Η σχέση του Στίφελ και είναι σημαντικό να διευκολύνουμε την κατασκευή του τριγώνου και να βρούμε τις τιμές καθεμιάς από τις γραμμές.
2η ιδιοκτησία
Το άθροισμα όλων των όρων στη σειρά υπολογίζεται από:
μικρόόχι=2όχι, σε τι όχι είναι ο αριθμός γραμμής.
Παραδείγματα:
Με αυτήν την ιδιότητα, είναι δυνατό να γνωρίζουμε το άθροισμα όλων των όρων σε μια γραμμή χωρίς απαραίτητα να κατασκευάσουμε το τρίγωνο του Πασκάλ. Το άθροισμα της γραμμής 10, για παράδειγμα, μπορεί να υπολογιστεί με το 210 = 1024. Αν και δεν είναι γνωστοί όλοι οι όροι, είναι ήδη δυνατό να γνωρίζουμε την αθροιστική αξία ολόκληρης της γραμμής.
3η ιδιοκτησία
Το άθροισμα των όρων που ακολουθούν από την αρχή μιας δεδομένης στήλης Για μέχρι μια ορισμένη γραμμή όχι είναι ο ίδιος με τον όρο στη γραμμή n+1 πλάτη και στήλη p+1 αργότερα, όπως φαίνεται παρακάτω:
4η ιδιοκτησία
Το άθροισμα μιας διαγωνίου που ξεκινά από τη στήλη 0 και πηγαίνει στον όρο της στήλης p και της σειράς n είναι ίσο με τον όρο της ίδιας στήλης (p), αλλά στη γραμμή παρακάτω (n+1), όπως φαίνεται στην εικόνα :
5η ιδιοκτησία
Υπάρχει συμμετρία στις γραμμές του τριγώνου του Πασκάλ. Ο πρώτος και ο δεύτερος όρος είναι ίσοι, ο δεύτερος και ο προτελευταίος όρος είναι ίσοι, κ.ο.κ.
Παράδειγμα:
Γραμμή 6: 1615 20 156 1.
Σημειώστε ότι οι όροι είναι ίσοι δύο προς δύο, εκτός από τον κεντρικό όρο.
Δείτε επίσης: Διαίρεση πολυωνύμου: πώς να το λύσετε;
Διώνυμο του Νεύτωνα
Ορίζουμε το διώνυμο του Νεύτωνα α δύναμη ενός πολυώνυμος που έχει δύο όρους. Ο υπολογισμός ενός διωνύμου σχετίζεται με το τρίγωνο Pascal, το οποίο γίνεται ένας μηχανισμός για τον υπολογισμό αυτού που ονομάζουμε διωνυμικούς συντελεστές. Για να υπολογίσουμε ένα διώνυμο, χρησιμοποιούμε τον ακόλουθο τύπο:
Σημειώστε ότι η τιμή του εκθέτη του ο μειώνεται έως ότου στον τελευταίο όρο ισούται με ο0. Γνωρίζουμε ότι κάθε αριθμός που αυξάνεται στο 0 είναι ίσος με 1, εξ ου και ο όρος ο δεν εμφανίζεται στον τελευταίο όρο. Σημειώστε επίσης ότι ο εκθέτης του σι ξεκινάει με σι0, σύντομα σι δεν εμφανίζεται στον πρώτο όρο και αυξάνεται μέχρι να φτάσει σιόχι, στην τελευταία θητεία.
Επιπλέον, ο αριθμός που συνοδεύει κάθε έναν από τους όρους είναι αυτό που ονομάζουμε συντελεστή - στην περίπτωση αυτή είναι γνωστός ως διωνυμικός συντελεστής. Για να κατανοήσετε καλύτερα τον τρόπο επίλυσης αυτού του τύπου διωνύμου, μεταβείτε στο κείμενό μας: Διώνυμο του Νεύτωνα.
διωνυμικός συντελεστής
Ο διωνυμικός συντελεστής δεν είναι τίποτα άλλο από τον συνδυασμό, ο οποίος μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:
Ωστόσο, για να διευκολυνθεί ο υπολογισμός του διωνύμου του Νεύτωνα, είναι απαραίτητο να χρησιμοποιήσουμε το τρίγωνο Pascal, καθώς μας δίνει το αποτέλεσμα του συνδυασμού πιο γρήγορα.
Παράδειγμα:
Για να βρούμε το αποτέλεσμα του διωνυμικού συντελεστή, ας βρούμε τις τιμές της σειράς 5 του τριγώνου του Pascal, οι οποίες είναι {1,5,10,10,5,1}.
(x+y)5= 1x5+5x4y+10x3y2+ 10x2y3 + 5xy4+1 ε5
Με απλά λόγια:
(x+y)5= x5+5x4y+10x3y2+ 10x2y3 + 5xy4+y5
λυμένες ασκήσεις
Ερώτηση 1 - Η αξία της παρακάτω έκφρασης είναι;
Α) 8
Β) 16
Γ) 2
Δ) 32
Ε) 24
Ανάλυση
Εναλλακτική Α.
Ανασυγκροτώντας τις θετικές και αρνητικές τιμές, πρέπει:
Σημειώστε ότι στην πραγματικότητα υπολογίζουμε την αφαίρεση μεταξύ της γραμμής 4 και της γραμμής 3 του τριγώνου του Πασκάλ. Από ιδιοκτησία γνωρίζουμε ότι:
μικρό4 = 24 = 16
μικρό3= 23 = 8
16 – 8 = 8.
Ερώτηση 2 - Ποια είναι η αξία της παρακάτω έκφρασης;
Α) 32
Β) 28
Γ) 256
Δ) 24
Ε) 54
Ανάλυση
Εναλλακτική Β.
Σημειώστε ότι προσθέτουμε τους όρους από τη στήλη 1 του τριγώνου του Pascal στη σειρά 7 και μετά στην 3η ιδιότητα, η τιμή αυτού του αθροίσματος είναι ίση με τον όρο που καταλαμβάνει τη γραμμή 7+1 και τη στήλη 1+1, δηλαδή τη σειρά 8, στήλη 2. Δεδομένου ότι θέλουμε μόνο μία τιμή, η κατασκευή ολόκληρου του τριγώνου Pascal δεν είναι βολική.
Του Ραούλ Ροντρίγκες ντε Ολιβέιρα
Καθηγητής μαθηματικών
Πηγή: Σχολείο Βραζιλίας - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/triangulo-pascal.htm