Κατά τη μελέτη του συνόλου των λογικών αριθμών, βρίσκουμε μερικά κλάσματα που, όταν μετατρέπονται σε δεκαδικά ψηφία, γίνονται περιοδικά δεκαδικά. Για να εκτελέσουμε αυτόν τον μετασχηματισμό, πρέπει να διαιρέσουμε τον αριθμητή του κλάσματος με τον παρονομαστή του, όπως στην περίπτωση του κλάσματος. 
. Ομοίως, μέσω ενός περιοδικού δεκαδικού, μπορούμε να βρούμε το κλάσμα που το προκάλεσε. Αυτό το κλάσμα ονομάζεται «παράγοντας κλάσμα”.
Σε οποιοδήποτε περιοδικό δεκαδικό, ο αριθμός που επαναλαμβάνεται ονομάζεται πορεία χρόνου. Στο παράδειγμα που δίνεται, έχουμε ένα απλό περιοδικό δεκαδικό και η τελεία είναι ο αριθμός 6. Μέσα από μια απλή εξίσωση, μπορούμε να βρούμε το κλάσμα παραγωγής 0,6666…
Πρώτον, μπορούμε να δηλώσουμε ότι:
Χ = 0,666...
Από εκεί, ελέγχουμε πόσα ψηφία έχει η περίοδος. Σε αυτήν την περίπτωση, η τελεία έχει ένα ψηφίο. Ας πολλαπλασιάσουμε λοιπόν και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με 10, εάν η περίοδος είχε 2 ψηφία, θα πολλαπλασιάσαμε με 100, στην περίπτωση 3 ψηφίων, με 1000, και ούτω καθεξής. Έτσι, θα έχουμε:
10Χ = 6,666...
Στο δεύτερο μέλος της εξίσωσης, μπορούμε να χωρίσουμε τον αριθμό 6,666... σε ακέραιο αριθμό και ένα άλλο δεκαδικό ως εξής:
10 Χ = 6 + 0,666...
Ωστόσο, ακριβώς στην αρχή το δηλώσαμε Χ = 0,666..., ώστε να μπορούμε να αντικαταστήσουμε το δεκαδικό μέρος της εξίσωσης με x και έχουμε μείνει με:
10 x = 6 + Χ
Χρησιμοποιώντας τις βασικές ιδιότητες των εξισώσεων, μπορούμε στη συνέχεια να αλλάξουμε τη μεταβλητή x από τη δεύτερη στην πρώτη πλευρά της εξίσωσης:
10 x - x = 6
Επίλυση της εξίσωσης, θα έχουμε:
9 x = 6
x = 6
9
Απλοποιώντας το κλάσμα κατά 3, έχουμε:
x = 2
3
Σύντομα, 
, δηλαδή, 
είναι το κλάσμα παραγωγής του περιοδικού δεκαδικού 0,6666... .
Ας δούμε πότε έχουμε ένα περιοδικό σύνθετο δεκαδικό, όπως στην περίπτωση του 0,03131… Θα ξεκινήσουμε με τον ίδιο τρόπο:
Χ = 0,03131...
Για να κάνουμε αυτήν την ισότητα πιο παρόμοια με το προηγούμενο παράδειγμα, πρέπει να την αλλάξουμε έτσι ώστε να μην έχουμε κανένα αριθμό μεταξύ του ίσου σημείου και της περιόδου. Για αυτό, ας πολλαπλασιάσουμε την εξίσωση με 10:
10 Χ = 0,313131... ***
Ακολουθώντας το σκεπτικό που χρησιμοποιείται στο πρώτο παράδειγμα, έχουμε ότι το περιοδικό δεκαδικό έχει διψήφιο διάστημα, οπότε ας πολλαπλασιάσουμε την εξίσωση με 100.
1000 Χ = 31,313131...
Τώρα αρκεί να σπάσει ολόκληρο το τμήμα του δεκαδικού, στο δεύτερο μέλος της ισότητας.
1000 Χ = 31 + 0,313131...
αλλά από ***, Πρεπει να 10 Χ = 0,313131..., ας αντικαταστήσουμε τον δεκαδικό αριθμό με 10 Χ.
1000 Χ = 31 + 10 Χ
1000 Χ - 10 x = 31
990 Χ = 31
Χ = 31
990
Έτσι το κλάσμα παραγωγής 0,0313131… é 31 . Αυτός ο κανόνας μπορεί να εφαρμοστεί σε όλα τα περιοδικά δέκατα.
990
Από την Amanda Gonçalves
Αποφοίτησε στα Μαθηματικά
Πηγή: Σχολείο της Βραζιλίας - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/geratriz-uma-dizima-periodica.htm
