Σύνθετοι αριθμοί: ορισμός, λειτουργίες και ασκήσεις

Οι σύνθετοι αριθμοί είναι αριθμοί που αποτελούνται από ένα πραγματικό και ένα φανταστικό μέρος.

Αντιπροσωπεύουν το σύνολο όλων των ταξινομημένων ζευγών (x, y), των οποίων τα στοιχεία ανήκουν στο σύνολο πραγματικών αριθμών (R).

Το σύνολο των σύνθετων αριθμών υποδεικνύεται με ΝΤΟ και ορίζεται από τις πράξεις:

• Ισότητα: (a, b) = (c, d) ↔ a = c και b = d
• Πρόσθεση: (a, b) + (c, d) = (a + b + c + d)
• Πολλαπλασιασμός: (α, β). (c, d) = (ac - bd, διαφήμιση + bc)

Φανταστική ενότητα (i)

Υποδεικνύεται από την επιστολή Εγώ, η φανταστική μονάδα είναι το ταξινομημένο ζεύγος (0, 1). Σύντομα:

Εγώ. i = -1 ↔ i² = –1

Ετσι, Εγώ είναι η τετραγωνική ρίζα του –1.

Αλγεβρική μορφή Ζ

Η αλγεβρική μορφή του Ζ χρησιμοποιείται για να αντιπροσωπεύει έναν πολύπλοκο αριθμό χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Ζ = x + γι

Οπου:

• Χ είναι ένας πραγματικός αριθμός που υποδεικνύεται από x = Re (Z), που καλείται πραγματικό μέρος του z.
• γ είναι ένας πραγματικός αριθμός που υποδεικνύεται από y = Im (Z), που καλείται φανταστικό μέρος του Ζ.

Σύζευξη σύνθετου αριθμού

Το σύζευγμα ενός σύνθετου αριθμού υποδεικνύεται με ζ, ορίζεται από z = a - bi. Έτσι, το σημείο του φανταστικού μέρους του ανταλλάσσεται.

Έτσι εάν z = a + bi, τότε z = a - bi

Όταν πολλαπλασιάζουμε έναν σύνθετο αριθμό με το συζυγές του, το αποτέλεσμα θα είναι ένας πραγματικός αριθμός.

Ισότητα μεταξύ σύνθετων αριθμών

Όντας δύο σύνθετοι αριθμοί Z₁ = (a, b) και Z₂ = (c, d), είναι ίσοι όταν a = c και b = d. Αυτό συμβαίνει επειδή έχουν πανομοιότυπα πραγματικά και φανταστικά μέρη. Ετσι:

a + bi = c + di Πότε a = c και b = d

Λειτουργίες με σύνθετους αριθμούς

Με πολύπλοκους αριθμούς είναι δυνατή η εκτέλεση λειτουργιών προσθήκης, αφαίρεσης, πολλαπλασιασμού και διαίρεσης. Δείτε τους ορισμούς και τα παραδείγματα παρακάτω:

Πρόσθεση

Ζ₁ + Ζ₂ = (a + c, b + d)

Σε αλγεβρική μορφή, έχουμε:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + i (b + d)

Παράδειγμα:

(2 + 3i) + (–4 + 5i)
(2 - 4) + i (3 + 5)
–2 + 8i

Αφαίρεση

Ζ₁ - Ζ₂ = (α - γ, β - δ)

Σε αλγεβρική μορφή, έχουμε:

(a + bi) - (c + di) = (a - c) + i (b - d)

Παράδειγμα:

(4 - 5i) - (2 + i)
(4 - 2) + i (–5 –1)
2 - 6θ

Πολλαπλασιασμός

(α, β). (c, d) = (ac - bd, διαφήμιση + bc)

Σε αλγεβρική μορφή, χρησιμοποιούμε την ιδιότητα διανομής:

(a + bi). (c + di) = ac + adi + bci + bdi² (Εγώ² = –1)
(a + bi). (c + di) = ac + adi + bci - bd
(a + bi). (c + di) = (ac - bd) + i (διαφήμιση + bc)

Παράδειγμα:

(4 + 3i). (2 - 5i)
8 - 20i + 6i - 15i²
8 - 14i + 15
23 - 14θ

Διαίρεση

Ζ₁/ Ω₂ = Ζ₃
Ζ₁ = Ζ₂. Ζ₃

Στην παραπάνω ισότητα, εάν Ζ₃ = x + yi, έχουμε:

Ζ₁ = Ζ₂. Ζ₃

a + bi = (c + di). (x + γ)
a + bi = (cx - dy) + i (cy + dx)

Με το σύστημα των άγνωστων x και y έχουμε:

cx - dy = α
dx + cy = b

Σύντομα,

x = ac + bd / c² + δ²
y = bc - διαφήμιση / γ² + δ²

Παράδειγμα:

2 - 5i / i
2 - 5i /. (- i) / (- i)
-2i + 5i²/–i²
5 - 2ι

Εξετάσεις Ασκήσεις με Ανατροφοδότηση

1. (UF-TO) Εξετάστε Εγώ η φανταστική ενότητα των σύνθετων αριθμών. Η τιμή της έκφρασης (i + 1)⁸ é:

α) 32i
β) 32
γ) 16
δ) 16i

Δείτε την απάντηση

Εναλλακτική γ: 16

2. (UEL-PR) Ο σύνθετος αριθμός z που ελέγχει την εξίσωση iz - 2w (1 + i) = 0 (β δηλώνει ότι το σύζευγμα του z) είναι:

α) z = 1 + i
b) z = (1/3) - i
c) z = (1 - i) / 3
d) z = 1 + (i / 3)
ε) z = 1 - i

Δείτε την απάντηση

Εναλλακτική e: z = 1 - i

3. (Vunesp-SP) Εξετάστε τον σύνθετο αριθμό z = cos π / 6 + i sin π / 6. η τιμή του z³ + Ζ⁶ + Ζ¹² é:

εκεί
β) ½ + √3 / 2i
γ) i - 2
δ) θ
ε) 2i

Δείτε την απάντηση

Εναλλακτική d: i

Δείτε περισσότερες ερωτήσεις, με σχολιασμένη ανάλυση, σε Ασκήσεις σε σύνθετους αριθμούς.

Μαθήματα βίντεο

Για να επεκτείνετε τις γνώσεις σας για πολύπλοκους αριθμούς, παρακολουθήστε το βίντεο "Εισαγωγή στους σύνθετους αριθμούς"

Εισαγωγή σε σύνθετους αριθμούς

Ιστορία σύνθετων αριθμών

Η ανακάλυψη περίπλοκων αριθμών έγινε τον 16ο αιώνα χάρη στις συνεισφορές του μαθηματικού Girolamo Cardano (1501-1576).

Ωστόσο, οι μελέτες αυτές επισημοποιήθηκαν μόλις από τον 18ο αιώνα από τον μαθηματικό Carl Friedrich Gauss (1777-1855).

Αυτό ήταν ένα σημαντικό βήμα προόδου στα μαθηματικά, καθώς ένας αρνητικός αριθμός έχει μια τετραγωνική ρίζα, η οποία μέχρι την ανακάλυψη σύνθετων αριθμών θεωρήθηκε αδύνατη.

Για να μάθετε περισσότερα, δείτε επίσης

• Αριθμητικά σύνολα
• Πολυώνυμα
• παράλογοι αριθμοί
• Εξίσωση 1ου βαθμού
• Ενίσχυση και ακτινοβολία