Η επίπεδη περιοχή του σχήματος αντιπροσωπεύει την έκταση της επέκτασης του σχήματος στο επίπεδο. Ως επίπεδες μορφές, μπορούμε να αναφέρουμε, μεταξύ άλλων, το τρίγωνο, το ορθογώνιο, τον ρόμβο, το τραπεζοειδές, τον κύκλο.
Χρησιμοποιήστε τις παρακάτω ερωτήσεις για να ελέγξετε τις γνώσεις σας για αυτό το σημαντικό θέμα της γεωμετρίας.
Επιλύθηκαν ζητήματα διαγωνισμού
ερώτηση 1
(Cefet / MG - 2016) Η τετραγωνική περιοχή ενός ιστότοπου πρέπει να χωριστεί σε τέσσερα ίσα μέρη, επίσης τετράγωνο και, Σε ένα από αυτά, πρέπει να διατηρηθεί ένα φυσικό καταφύγιο (εκκολαπτόμενη περιοχή), όπως φαίνεται στο σχήμα α ακολουθηστε.
Γνωρίζοντας ότι το Β είναι το μεσαίο σημείο του τμήματος AE και το C είναι το μεσαίο σημείο του τμήματος EF, η εκκολαπτόμενη περιοχή, σε m2, δώσε μου
α) 625.0.
β) 925.5.
γ) 1562.5.
δ) 2500.0.
Σωστή εναλλακτική λύση: γ) 1562.5.
Παρατηρώντας το σχήμα, παρατηρούμε ότι η εκκολαφθείσα περιοχή αντιστοιχεί στην επιφάνεια του τετραγώνου με μια πλευρά 50 m μείον την περιοχή των τριγώνων BEC και CFD.
Η μέτρηση της πλευράς ΒΕ, του τριγώνου BEC, είναι ίση με 25 μέτρα, καθώς το σημείο Β διαιρεί την πλευρά σε δύο συνεχόμενα τμήματα (μεσαίο σημείο του τμήματος).
Το ίδιο συμβαίνει με τις πλευρές EC και CF, δηλαδή, οι μετρήσεις τους είναι επίσης ίσες με 25 m, καθώς το σημείο C είναι το μέσο σημείο του τμήματος EF.
Έτσι, μπορούμε να υπολογίσουμε την περιοχή των τριγώνων BEC και CFD. Λαμβάνοντας υπόψη δύο πλευρές γνωστές ως βάση, η άλλη πλευρά θα ισούται με το ύψος, καθώς τα τρίγωνα είναι ορθογώνια.
Υπολογίζοντας την επιφάνεια του τετραγώνου και των τριγώνων BEC και CFD, έχουμε:
Ως εκ τούτου, η εκκολαμμένη περιοχή, σε m2, μέτρα 1562.5.
Ερώτηση 2
(Cefet / RJ - 2017) Ένα τετράγωνο με πλευρά x και ισόπλευρο τρίγωνο με πλευρά y έχει περιοχές του ίδιου μέτρου. Έτσι, μπορεί να ειπωθεί ότι η αναλογία x / y είναι ίση με:
Σωστή εναλλακτική λύση: .
Οι πληροφορίες που δίνονται στο πρόβλημα είναι ότι οι περιοχές είναι ίδιες, δηλαδή:
Η περιοχή του τριγώνου βρίσκεται πολλαπλασιάζοντας τη βασική μέτρηση με τη μέτρηση ύψους και διαιρώντας το αποτέλεσμα με 2. Δεδομένου ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο και το πλάι ίσο με το y, η τιμή ύψους του δίνεται από:
Επομένως, μπορεί να ειπωθεί ότι η αναλογία x / y είναι ίση με .
ερώτηση 3
(IFSP - 2016) Ένα δημόσιο τετράγωνο σε σχήμα κύκλου έχει ακτίνα 18 μέτρων. Με βάση τα παραπάνω, σημειώστε την εναλλακτική που παρουσιάζει την περιοχή σας.
α) 1.017,36 μ2
β) 1.254,98 μ2
γ) 1.589,77 μ2
δ) 1.698,44 μ2
ε) 1.710,34 μ2
Σωστή εναλλακτική λύση: α) 1 017, 36 m2.
Για να βρούμε την περιοχή του τετραγώνου, πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για την περιοχή του κύκλου:
Α = BCR2
Αντικαθιστώντας την τιμή της ακτίνας και λαμβάνοντας υπόψη το π = 3,14, βρίσκουμε:
Α = 3,14. 182 = 3,14. 324 = 1 017, 36 μ2
Επομένως, η τετραγωνική έκταση είναι 1 017, 36 μ2.
ερώτηση 4
(ΔΠΧΑ - 2016) Ένα ορθογώνιο έχει διαστάσεις x και y, που εκφράζονται από τις εξισώσεις x2 = 12 και (y - 1)2 = 3.
Η περίμετρος και η περιοχή αυτού του ορθογωνίου είναι αντίστοιχα
α) 6√3 + 2 και 2 + 6√3
β) 6√3 και 1 + 2√3
γ) 6√3 + 2 και 12
δ) 6 και 2√3
ε) 6√3 + 2 και 2√3 + 6
Σωστή εναλλακτική λύση: ε) 6√3 + 2 και 2√3 + 6.
Αρχικά ας λύσουμε τις εξισώσεις, για να βρούμε τις τιμές των x και y:
Χ2= 12 ⇒ x = √12 = √4.3 = 2√3
(ε - 1) 2= 3 ⇒ y = √3 + 1
Η περίμετρος του ορθογωνίου θα είναι ίση με το άθροισμα όλων των πλευρών:
P = 2.2√3 + 2. (√3 + 1) = 4√3 + 2√3 + 2 = 6√3 + 2
Για να βρείτε την περιοχή, απλώς πολλαπλασιάστε το x.y:
Α = 2√3. (√3 + 1) = 2√3 + 6
Επομένως, η περίμετρος και η περιοχή του ορθογωνίου είναι, αντιστοίχως, 6√3 + 2 και 2√3 + 6.
ερώτηση 5
(Apprentice Sailor - 2016) Αναλύστε το ακόλουθο σχήμα:
Γνωρίζοντας ότι το EP είναι η ακτίνα του κεντρικού ημικύκλου στο E, όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήμα, προσδιορίστε την τιμή της πιο σκοτεινής περιοχής και ελέγξτε τη σωστή επιλογή. Δεδομένα: αριθμός π = 3
α) 10 cm2
β) 12 εκ2
γ) 18 εκ2
δ) 10 εκ2
ε) 24 εκ2
Σωστή εναλλακτική λύση: β) 12 cm2.
Η πιο σκοτεινή περιοχή βρίσκεται με την προσθήκη της περιοχής της ημικυκλικής περιοχής στην περιοχή του τριγώνου ABD. Ας ξεκινήσουμε υπολογίζοντας την περιοχή του τριγώνου, για αυτό, σημειώστε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.
Ας καλέσουμε την πλευρά AD του x και να υπολογίσουμε τη μέτρησή του χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα, όπως υποδεικνύεται παρακάτω:
52= x2 + 32
Χ2 = 25 - 9
x = √16
x = 4
Γνωρίζοντας το πλάι μέτρο AD, μπορούμε να υπολογίσουμε την περιοχή του τριγώνου:
Πρέπει ακόμη να υπολογίσουμε την περιοχή της ημικυκλικής περιφέρειας. Σημειώστε ότι η ακτίνα του θα είναι ίση με το ήμισυ του μέτρου στην πλευρά AD, έτσι r = 2 cm. Η ημικυκλική περιοχή θα είναι ίση με:
Η πιο σκοτεινή περιοχή θα βρεθεί: ΑΤ = 6 + 6 = 12 εκ2
Επομένως, η τιμή της πιο σκοτεινής περιοχής είναι 12 cm2.
ερώτηση 6
(Enem - 2016) Ένας άντρας, πατέρας δύο παιδιών, θέλει να αγοράσει δύο οικόπεδα, με περιοχές του ίδιου μέτρου, ένα για κάθε παιδί. Μία από τις εκτάσεις που επισκεφτήκατε είναι ήδη οριοθετημένη και, παρόλο που δεν έχει συμβατική μορφή (όπως φαίνεται στο Σχήμα Β), ικανοποίησε τον μεγαλύτερο γιο και, ως εκ τούτου, αγοράστηκε. Ο μικρότερος γιος έχει ένα αρχιτεκτονικό έργο για ένα σπίτι που θέλει να χτίσει, αλλά για να το κάνει, χρειάζεται εδάφους σε ορθογώνια μορφή (όπως φαίνεται στο σχήμα Α) του οποίου το μήκος είναι 7 m μεγαλύτερο από το πλάτος.
Για να ικανοποιήσει τον μικρότερο γιο, αυτός ο κύριος πρέπει να βρει ένα ορθογώνιο κομμάτι γης του οποίου οι μετρήσεις, σε μέτρα, μήκος και πλάτος είναι ίσες, αντίστοιχα, με
α) 7.5 και 14.5
β) 9.0 και 16.0
γ) 9.3 και 16.3
δ) 10.0 και 17.0
ε) 13.5 και 20.5
Σωστή εναλλακτική λύση: β) 9.0 και 16.0.
Δεδομένου ότι η περιοχή του σχήματος Α είναι ίση με την περιοχή του σχήματος Β, ας υπολογίσουμε πρώτα αυτήν την περιοχή. Για αυτό, ας διαιρέσουμε το Σχήμα Β, όπως φαίνεται στην παρακάτω εικόνα:
Σημειώστε ότι όταν χωρίζουμε το σχήμα, έχουμε δύο σωστά τρίγωνα. Επομένως, η περιοχή του σχήματος Β θα είναι ίση με το άθροισμα των περιοχών αυτών των τριγώνων. Υπολογίζοντας αυτές τις περιοχές, έχουμε:
Δεδομένου ότι το σχήμα Α είναι ορθογώνιο, η περιοχή του εντοπίζεται κάνοντας:
ΟΟ = x. (x + 7) = x2 + 7χ
Εξισώνοντας την περιοχή του σχήματος Α με την τιμή που βρέθηκε για την περιοχή του σχήματος Β, βρίσκουμε:
Χ2 + 7x = 144
Χ2 + 7x - 144 = 0
Ας λύσουμε την εξίσωση 2ου βαθμού χρησιμοποιώντας τον τύπο του Bhaskara:
Επειδή ένα μέτρο δεν μπορεί να είναι αρνητικό, ας θεωρήσουμε την τιμή ίση με 9. Επομένως, το πλάτος της γης στο σχήμα Α θα είναι ίσο με 9 μέτρα και το μήκος θα είναι ίσο με 16 μέτρα (9 + 7).
Επομένως, οι μετρήσεις μήκους και πλάτους πρέπει να είναι ίσες με 9,0 και 16,0 αντίστοιχα.
ερώτηση 7
(Enem - 2015) Μια εταιρεία κινητής τηλεφωνίας διαθέτει δύο κεραίες που θα αντικατασταθούν από μια νέα, πιο ισχυρή. Οι περιοχές κάλυψης των κεραιών που θα αντικατασταθούν είναι κύκλοι με ακτίνα 2 km, των οποίων οι περιφέρειες είναι εφαπτόμενες στο σημείο O, όπως φαίνεται στο σχήμα.
Το σημείο O υποδεικνύει τη θέση της νέας κεραίας και η περιοχή κάλυψής της θα είναι ένας κύκλος του οποίου η περιφέρεια θα εφαπτεί εξωτερικά τις περιφέρειες των μικρότερων περιοχών κάλυψης. Με την εγκατάσταση της νέας κεραίας, η μέτρηση της περιοχής κάλυψης, σε τετραγωνικά χιλιόμετρα, επεκτάθηκε κατά
α) 8 π
β) 12 π
γ) 16 π
δ) 32 π
ε) 64 π
Σωστή εναλλακτική λύση: α) 8 π.
Η μεγέθυνση της μέτρησης της περιοχής κάλυψης θα βρεθεί μειώνοντας τις περιοχές των μικρότερων κύκλων του μεγαλύτερου κύκλου (αναφερόμενος στη νέα κεραία).
Καθώς η περιφέρεια της νέας περιοχής κάλυψης αγγίζει εξωτερικά τις μικρότερες περιφέρειες, η ακτίνα της θα είναι ίση με 4 km, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:
Ας υπολογίσουμε τις περιοχές Α1 και το2 των μικρότερων κύκλων και της περιοχής Α3 από τον μεγαλύτερο κύκλο:
Ο1 = Α2 = 22. π = 4 π
Ο3 = 42.π = 16 π
Η μέτρηση της διευρυμένης περιοχής θα βρεθεί κάνοντας:
A = 16 π - 4 π - 4 π = 8 π
Επομένως, με την εγκατάσταση της νέας κεραίας, το μέτρο κάλυψης, σε τετραγωνικά χιλιόμετρα, αυξήθηκε κατά 8 π.
ερώτηση 8
(Enem - 2015) Το διάγραμμα Ι δείχνει τη διαμόρφωση ενός γηπέδου μπάσκετ. Τα γκρίζα τραπεζοειδή, που ονομάζονται carboys, αντιστοιχούν σε περιορισμένες περιοχές.
Με στόχο την τήρηση των κατευθυντήριων γραμμών της Κεντρικής Επιτροπής της Διεθνούς Ομοσπονδίας Μπάσκετ (Fiba) το 2010, η οποία ενοποίησε τα σημάδια από τα διάφορα κράματα, μια τροποποίηση είχε προβλεφθεί στα carboys των γηπέδων, τα οποία θα γίνουν ορθογώνια, όπως φαίνεται στο Σχέδιο ΙΙ.
Μετά την πραγματοποίηση των προγραμματισμένων αλλαγών, υπήρξε μια αλλαγή στην περιοχή που καταλάμβανε κάθε carboy, η οποία αντιστοιχεί σε (a)
α) αύξηση 5800 cm2.
β) 75 400 cm αύξηση2.
γ) αύξηση 214 600 εκ2.
δ) μείωση 63 800 cm2.
ε) μείωση 272 600 cm2.
Σωστή εναλλακτική λύση: α) αύξηση 5800 cm².
Για να μάθετε ποια ήταν η αλλαγή στην κατεχόμενη περιοχή, ας υπολογίσουμε την περιοχή πριν και μετά την αλλαγή.
Στον υπολογισμό του σχήματος I, θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για την περιοχή του τραπεζίου. Στο διάγραμμα II, θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για την περιοχή του ορθογωνίου.
Η αλλαγή περιοχής θα είναι τότε:
Α = ΑΙΙ - ΕΝΑΕγώ
A = 284 200 - 278 400 = 5 800 cm2
Ως εκ τούτου, μετά την πραγματοποίηση των προγραμματισμένων τροποποιήσεων, υπήρξε μια αλλαγή στην περιοχή που καταλάμβανε κάθε carboy, η οποία αντιστοιχεί σε αύξηση 5800 cm².
Προτεινόμενες ασκήσεις (με ανάλυση)
ερώτηση 9
Η Άννα αποφάσισε να χτίσει μια ορθογώνια πισίνα στο σπίτι της, ύψους 8 μέτρων και ύψους 5 μέτρων. Τριγύρω, σε σχήμα τραπεζοειδούς, ήταν γεμάτο γρασίδι.
Γνωρίζοντας ότι το ύψος του τραπεζιού είναι 11 m και οι βάσεις του είναι 20 m και 14 m, ποια είναι η περιοχή του τμήματος που ήταν γεμάτο με γρασίδι;
α) 294 μ2
β) 153 μ2
γ) 147 μ2
δ) 216 μ2
Σωστή εναλλακτική λύση: γ) 147 μ2.
Καθώς το ορθογώνιο, το οποίο αντιπροσωπεύει τη δεξαμενή, εισάγεται μέσα σε ένα μεγαλύτερο σχήμα, το τραπεζάκι, ας ξεκινήσουμε υπολογίζοντας την περιοχή του εξωτερικού σχήματος.
Η τραπεζοειδής περιοχή υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο:
Οπου,
Το Β είναι το μέτρο της μεγαλύτερης βάσης.
b είναι το μέτρο της μικρότερης βάσης.
h είναι το ύψος.
Αντικαθιστώντας τα δεδομένα δήλωσης στον τύπο, έχουμε:
Τώρα, ας υπολογίσουμε την περιοχή του ορθογωνίου. Για αυτό, πρέπει απλώς να πολλαπλασιάσουμε τη βάση με το ύψος.
Για να βρούμε την περιοχή που καλύπτεται από γρασίδι, πρέπει να αφαιρέσουμε τον χώρο που καταλαμβάνεται από την πισίνα από την περιοχή του τραπεζιού.
Ως εκ τούτου, η περιοχή γεμάτη χόρτο ήταν 147 μ2.
Δείτε επίσης: Περιοχή Trapeze
ερώτηση 10
Για να ανακαινίσει την οροφή της αποθήκης του, ο Carlos αποφάσισε να αγοράσει αποικιακά πλακάκια. Χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο στέγης, απαιτούνται 20 τεμάχια για κάθε τετραγωνικό μέτρο στέγης.
Εάν η οροφή του χώρου σχηματίζεται από δύο ορθογώνιες πλάκες, όπως στην παραπάνω εικόνα, πόσα πλακίδια χρειάζεται να αγοράσει ο Carlos;
α) 12000 πλακάκια
β) 16000 πλακάκια
γ) 18000 πλακίδια
δ) 9600 πλακάκια
Σωστή εναλλακτική λύση: β) 16000 πλακίδια.
Η οροφή της αποθήκης αποτελείται από δύο ορθογώνιες πλάκες. Επομένως, πρέπει να υπολογίσουμε την επιφάνεια ενός ορθογωνίου και να πολλαπλασιάσουμε με το 2.
Ως εκ τούτου, η συνολική επιφάνεια της οροφής είναι 800 m.2. Εάν κάθε τετραγωνικό μέτρο απαιτεί 20 πλακίδια, χρησιμοποιώντας έναν απλό κανόνα τριών υπολογίζουμε πόσα πλακίδια γεμίζουν την οροφή κάθε αποθήκης.
Ως εκ τούτου, θα είναι απαραίτητο να αγοράσετε 16 χιλιάδες πλακίδια.
Δείτε επίσης: Περιοχή ορθογωνίου
ερώτηση 11
Η Μάρσια θα ήθελε δύο πανομοιότυπα ξύλινα αγγεία να διακοσμήσουν την είσοδο του σπιτιού της. Επειδή μπορούσε μόνο να αγοράσει ένα από τα αγαπημένα της, αποφάσισε να προσλάβει έναν κατασκευαστή ντουλαπιών για να χτίσει ένα άλλο βάζο με τις ίδιες διαστάσεις. Το αγγείο πρέπει να έχει τέσσερις πλευρές σε σχήμα ισοσκελούς τραπεζοειδούς και η βάση είναι τετράγωνο.
Χωρίς να λαμβάνεται υπόψη το πάχος του ξύλου, πόσα τετραγωνικά μέτρα ξύλου θα χρειαστούν για την αναπαραγωγή του κομματιού;
α) 0,2131 μ2
β) 0,1311 μ2
γ) 0,2113 μ2
δ) 0,3121 μ2
Σωστή εναλλακτική λύση: d) 0,3121 m2.
Ένα τραπεζοειδές ισοσκελές είναι ο τύπος που έχει ίσες πλευρές και βάσεις διαφορετικού μεγέθους. Από την εικόνα, έχουμε τις ακόλουθες μετρήσεις του τραπεζίου σε κάθε πλευρά του αγγείου:
Μικρότερη βάση (b): 19 cm.
Μεγαλύτερη βάση (Β): 27 εκ.
Ύψος (h): 30 cm.
Με τις τιμές στο χέρι, υπολογίζουμε την περιοχή τραπεζοειδούς:
Καθώς το αγγείο σχηματίζεται από τέσσερα τραπεζοειδή, πρέπει να πολλαπλασιάσουμε την περιοχή που βρέθηκε με τέσσερα.
Τώρα πρέπει να υπολογίσουμε τη βάση του αγγείου, το οποίο σχηματίζεται από ένα τετράγωνο 19 cm.
Προσθέτοντας τις υπολογιζόμενες περιοχές, φτάνουμε στη συνολική έκταση του ξύλου που θα χρησιμοποιηθεί για την κατασκευή.
Ωστόσο, η περιοχή πρέπει να παρουσιάζεται σε τετραγωνικά μέτρα.
Επομένως, χωρίς να ληφθεί υπόψη το πάχος του ξύλου, χρειάστηκαν 0,3121 m2 υλικού για την κατασκευή του αγγείου.
Δείτε επίσης: Πλατεία
ερώτηση 12
Για να διευκολυνθεί ο υπολογισμός του αριθμού των ατόμων που συμμετέχουν σε δημόσιες εκδηλώσεις, θεωρείται γενικά ότι ένα τετραγωνικό μέτρο καταλαμβάνεται από τέσσερα άτομα.
Για να γιορτάσει την επέτειο μιας πόλης, η κυβέρνηση της πόλης προσέλαβε μια μπάντα για να παίξει στην πλατεία που βρίσκεται στο κέντρο, η οποία έχει έκταση 4000 μ.2. Γνωρίζοντας ότι η πλατεία ήταν γεμάτη, περίπου πόσα άτομα παρακολούθησαν την εκδήλωση;
α) 16 χιλιάδες άτομα.
β) 32 χιλιάδες άτομα.
γ) 12 χιλιάδες άτομα.
δ) 40 χιλιάδες άτομα.
Σωστή εναλλακτική λύση: α) 16 χιλιάδες άτομα.
Ένα τετράγωνο έχει τέσσερις ίσες πλευρές και έχει την έκτασή του υπολογιζόμενος από τον τύπο: A = L x L.
αν σε 1 m2 καταλαμβάνεται από τέσσερα άτομα, οπότε 4 φορές η συνολική έκταση της πλατείας μας δίνει την εκτίμηση των ατόμων που παρακολούθησαν την εκδήλωση.
Έτσι, 16 χιλιάδες άτομα συμμετείχαν στην εκδήλωση που προωθήθηκε από το δημαρχείο.
Για να μάθετε περισσότερα, δείτε επίσης:
- Επίπεδες περιοχές
- Γεωμετρικά σχήματα
- Θεώρημα του Πυθαγόρα - Ασκήσεις