Κώνοςείναι μια γεωμετρική μορφή σχηματίζεται από την ένωση μιας κυκλικής περιοχής με ένα σημείο που δεν ανήκει σε αυτό το επίπεδο. Μπορούμε επίσης να το δούμε ως σταθερή επανάσταση, δηλαδή, στροφή a τρίγωνο ορθογώνιο γύρω από τα πόδια τους, σχηματίζεται ένας κώνος στο διάστημα.
Αν και μας αναφέρονται πυραμίδες, θα δούμε ότι οι κώνοι δεν έχουν τόσα στοιχεία όπως, για παράδειγμα: άκρα, αποθήματα ή περιοχές όψης.
Διαβάστε επίσης: Διαστάσεις ενός γεωμετρικού στερεού: μάθετε τι είναι
Τι είναι ο κώνος;
Σκεφτείτε έναν κύκλο Α που περιέχεται σε ένα επίπεδο και ένα σημείο P που δεν ανήκει σε αυτό το επίπεδο. Βασισμένο σε αυτό, ένας κώνος είναι η ένωση όλων των τμημάτων με άκρα στα Α και Π..
Εικονίδιο στοιχεία
Εξετάστε τον ακόλουθο κώνο για να δείτε τα στοιχεία του.
- Βάση κώνου: κύκλος του επιπέδου με κέντρο O και ακτίνα r.
- Κωνική κορυφή: σημείο P.
- Ύψος κώνου: h, απόσταση μεταξύ κορυφής κώνου και βάσης. Να θυμάστε ότι το ύψος είναι πάντα κάθετο στο επίπεδο που περιέχει τη βάση, δηλαδή η γωνία μεταξύ ύψους και βάσης πρέπει να είναι 90 °.
- Generatrix: g, οποιοδήποτε τμήμα γραμμής που ενώνει την κορυφή σε ένα από τα άκρα της περιφέρειας βάσης.
Ταξινόμηση των κώνων
Οι κώνοι ταξινομούνται σε δύο ομάδες: ευθεία κώνους και λοξούς κώνους. Ας πούμε ότι ένας κώνος είναι ίσιος όταν η προβολή της κορυφής του συμπίπτει με το κέντρο της βάσης, δηλαδή με το κέντρο της περιφέρεια, δείτε την εικόνα.
Στον ίσιο κώνο, σημειώστε ότι οι μετρήσεις του generatrix είναι πάντα οι ίδιες και δείτε ότι το POB σχηματίζει ένα ορθογώνιο τρίγωνο, επομένως, σε αυτό το Πυθαγόρειο θεώρημα είναι έγκυρο.
(PB)2 = (ΔΠ)2 + (OB)2
σολ2 = η2 + r2
Διαφορετικά, ο κώνος ονομάζεται λοξός.
Όταν, σε έναν ευθύ κώνο, το τρίγωνο που σχηματίζεται μέσα του είναι ισόπλευρος, είναι για ένα ισόπλευρος κώνος, και η τιμή του generatrix είναι διπλάσια της ακτίνας, δηλαδή:
g = 2 · r
περιοχή κώνου
Η περιοχή του κώνου καθορίζεται με βάση το συμπαγής προγραμματισμόςκαι, όπως στις πυραμίδες, το Η συνολική επιφάνεια του στερεού δίνεται από το άθροισμα της πλευρικής περιοχής (Αεκεί) με την επιφάνεια βάσης (Ασι), έτσι:
Καθώς η βάση είναι ένας κύκλος, η περιοχή της είναι:
Οσι = π. ρ2
Σε αυτό r είναι το μέτρο του αστραπή r της περιφέρειας.
Η πλευρική περιοχή είναι ένας κυκλικός τομέας και μπορεί να βρεθεί με δύο τρόπους, δείτε:
Πλευρική περιοχή ανάλογα με τη γωνία του κυκλικού τομέα
Οεκεί = θ. σολ2
2
Σε αυτό η γωνία q είναι η κεντρική γωνία του τομέα που μετράται σε ακτίνια και το g είναι το μέτρο της γεννήτριας.
Πλευρική περιοχή ως συνάρτηση του μήκους τόξου του κυκλικού τομέα
Οεκεί = π. ένα. σολ
Σε αυτό r είναι το μέτρο της ακτίνας της πλευρικής περιοχής, και g, το μέτρο της γεννήτριας.
Επομένως, η περιοχή του κώνου δίνεται από:
Οκώνος = Ασι + Αεκεί
Οκώνος = Πιρ2 + πγ
Οκώνος = πr (g + r)
όγκος κώνου
Ο όγκος του κώνου εξαρτάται επίσης από την επιφάνεια βάσης και το ύψος του κώνου, βλέπε:
Ο τύπος κώνου όγκου δίνεται από:
Βκώνος = Πιρ2Η
3
Μάθετε περισσότερα: Κύβος και παράλληλος όγκος: μάθετε πώς να υπολογίζετε
λύσεις ασκήσεις
ερώτηση 1 - Ένας ίσιος κώνος έχει γεννήτρια ίση με 5 cm και ύψος 3 cm. Προσδιορίστε τους μέσους όρους της συνολικής έκτασης και του όγκου αυτού του κώνου.
Λύση
Αρχικά, σχεδιάζουμε αυτόν τον κώνο με τα παρεχόμενα δεδομένα.
Για να βρείτε την τιμή της περιοχής και του όγκου του κώνου, είναι πρώτα απαραίτητο να προσδιορίσετε την τιμή της ακτίνας της βάσης. Για αυτό, θα χρησιμοποιήσουμε το Πυθαγόρειο Θεώρημα.
52 = 32 + r2
25 = 9 + σ2
25 - 9 = r2
ρ2 = 16
r = 4 εκ
Έτσι, η περιοχή και ο όγκος είναι, αντίστοιχα:
Οκώνος = πr (g + r) ⇒ Ακώνος = 4π (5 + 4) ⇒ Ακώνος = 36π εκ2
Βκώνος = Πιρ2Η ⇒ Vκώνος = π423 ⇒ Vκώνος = 16π εκ3
3 3
