Δημιουργήσαμε ένα κατοχή όταν συσχετίζουμε μία ή περισσότερες ποσότητες. Μέρος των φυσικών φαινομένων μπορεί να μελετηθεί χάρη στην ανάπτυξη αυτού του τομέα των μαθηματικών. Η μελέτη των λειτουργιών χωρίζεται σε δύο μέρη, έχουμε το γενικό μέρος, στο οποίο μελετάμε το έννοιεςγενικός, και το συγκεκριμένο μέρος, όπου μελετάμε το συγκεκριμένες περιπτώσεις, όπως πολυωνυμικές συναρτήσεις και εκθετικές συναρτήσεις.
Δείτε επίσης: Πώς να γράφετε μια συνάρτηση;
Τι είναι οι λειτουργίες;
Μια συνάρτηση είναι μια εφαρμογή που αφορά τα στοιχεία των δύο σκηνικά όχι άδειο. Εξετάστε δύο μη κενά σύνολα Α και Β, όπου μια συνάρτηση φά σχετίζομαι καθε στοιχείο από το Α έως το μόνο ένα στοιχείο Β.
Για να κατανοήσετε καλύτερα αυτόν τον ορισμό, φανταστείτε μια βόλτα με ταξί. Για κάθε ταξίδι, δηλαδή για κάθε απόσταση που διανύεται, υπάρχει διαφορετική και μοναδική τιμή, δηλαδή, δεν έχει νόημα για ένα ταξίδι να έχει δύο διαφορετικές τιμές.
Μπορούμε να αναπαραστήσουμε αυτήν τη συνάρτηση που παίρνει στοιχεία από το σετ Α έως το σύνολο Β με τους ακόλουθους τρόπους.
Σημειώστε ότι για κάθε στοιχείο του συνόλου Α, υπάρχει ένα μεμονωμένο σχετικό στοιχείο μαζί του στο σετ Β. Τώρα μπορούμε να σκεφτούμε, τελικά, όταν μια σχέση μεταξύ δύο συνόλων δεν θα είναι συνάρτηση; Λοιπόν, όταν ένα στοιχείο του συνόλου Α σχετίζεται με δύο ξεχωριστά στοιχεία του Β ή όταν υπάρχουν στοιχεία του συνόλου Α που δεν σχετίζονται με στοιχεία του Β. Κοίτα:
Σε γενικές γραμμές, μπορούμε να γράψουμε μια συνάρτηση αλγεβρικά ως εξής:
φά: Α → Β
x → ε
Σημειώστε ότι η συνάρτηση παίρνει στοιχεία από το σύνολο Α (αντιπροσωπεύεται από x) και τα μεταφέρει σε στοιχεία του Β (αντιπροσωπεύεται από το y). Μπορούμε επίσης να πούμε ότι τα στοιχεία του συνόλου Β δίνονται σε σχέση με τα στοιχεία του συνόλου Α, έτσι μπορούμε να αντιπροσωπεύσουμε το y με:
y = φά(Χ)
Διαβάζει: (y ισούται με f του x)
Τομέας, συν-τομέας και εικόνα ρόλου
Όταν έχουμε έναν ρόλο φά, τα σύνολα που σχετίζονται έχουν ειδικά ονόματα. Σκεφτείτε λοιπόν μια συνάρτηση φά που παίρνει στοιχεία από το σύνολο Α σε στοιχεία από το σύνολο Β:
φά: Α → Β
Το σετ Α, από το οποίο αναχωρούν οι σχέσεις, ονομάζεται τομέα της συνάρτησης και καλείται το σύνολο που λαμβάνει τα "βέλη" αυτής της σχέσης αντίθετος τομέας. Δηλώνουμε αυτά τα σύνολα ως εξής:
ρεφά = A → Τομέας του φά
CDφά = B → Μετρητής του φά
Το υποσύνολο του αντί-τομέα μιας συνάρτησης που σχηματίζεται από στοιχεία που σχετίζονται με στοιχεία του συνόλου ονομάζεται Εικόνα της συνάρτησης και δηλώνεται με:
είμαιφά → Εικόνα του φά
- Παράδειγμα
Εξετάστε τη συνάρτηση f: A → B που απεικονίζεται στο παρακάτω διάγραμμα και προσδιορίστε τον τομέα, τον αντίθετο τομέα και την εικόνα.
Όπως ειπώθηκε, το σύνολο A = {1, 2, 3, 4} είναι ο τομέας της συνάρτησης φά, ενώ το σετ B = {0, 2, 3, –1} είναι ο αντίθετος τομέας της ίδιας συνάρτησης. Τώρα, παρατηρήστε ότι το σύνολο που σχηματίζεται από στοιχεία που λαμβάνουν το βέλος (σε πορτοκαλί χρώμα) που σχηματίζεται από τα στοιχεία {0, 2, –1} είναι ένα υποσύνολο του αντίθετου τομέα B, αυτό το σύνολο είναι η εικόνα της συνάρτησης φά, έτσι:
ρεφά = Α = {1, 2, 3, 4}
CDφά = B = {0, 2, 3, -1}
είμαιφά = {0, 2, –1}
Λέμε ότι το 0 είναι εικόνα στοιχείου 1 του τομέα, καθώς και το 2 είναι η εικόνα των στοιχείων 2 και 3 του τομέα και –1 είναι εικόνα στοιχείου 4 του τομέα. Για να μάθετε περισσότερα σχετικά με αυτές τις τρεις έννοιες, διαβάστε: ρεdomain, co-domain και εικόνα.
Εκθετική λειτουργία
Μια συνάρτηση φά: A → B θα είναι εκθετική ή επίθετη εάν, και μόνο εάν, το σύνολο εικόνας συμπίπτει με τον αντίθετο τομέα, δηλαδή, αν όλα τα στοιχεία του αντιθέτου είναι εικόνες.
Λέμε λοιπόν ότι μια συνάρτηση είναι εθελοντική όταν όλα τα στοιχεία του domaindomain λαμβάνουν βέλη. Εάν θέλετε να πάτε πιο βαθιά σε αυτόν τον τύπο λειτουργίας, επισκεφτείτε το κείμενό μας: Λειτουργία Overjet.
Έγχυση
Μια συνάρτηση φά: A → B θα είναι ενέσιμο ή ενέσιμο εάν, και μόνο εάν, διαφορετικά στοιχεία του τομέα έχουν ξεχωριστές εικόνες στον αντίθετο τομέα, δηλαδή, παρόμοιες εικόνες δημιουργούνται από παρόμοια στοιχεία του τομέα.
Σημειώστε ότι η προϋπόθεση είναι ότι διαφορετικά στοιχεία του τομέα σχετίζονται με διαφορετικά στοιχεία του υποτομέα, χωρίς να υπάρχει πρόβλημα με τα υπόλοιπα στοιχεία στον τομέα. Για να κατανοήσετε καλύτερα αυτήν την έννοια, μπορείτε να διαβάσετε το κείμενο: Λειτουργία εγχυτήρα.
Λειτουργία Bijector
Μια συνάρτηση φά: A → B θα είναι bijective εάν, και μόνο εάν, είναι εγχυτήρας και εκτοξευτής ταυτόχρονα, δηλαδή, διαφορετικά στοιχεία του τομέα έχουν ξεχωριστές εικόνες και η εικόνα συμπίπτει με τον αντίθετο τομέα.
- Παράδειγμα
Σε κάθε περίπτωση, βεβαιωθείτε αν η συνάρτηση f (x) = x2 είναι εγχυτήρας, εκτοξευτής ή αμφίδρομος.
Ο) φά: ℝ+ → ℝ
Σημειώστε ότι ο τομέας της συνάρτησης είναι όλοι θετικοί πραγματικοί και ο αντίθετος τομέας είναι όλοι πραγματικοί αριθμοί. Γνωρίζουμε ότι η συνάρτηση f δίνεται από f (x) = x2, τώρα φανταστείτε όλους τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς υψηλός όλες οι εικόνες θα είναι επίσης θετικές. Μπορούμε λοιπόν να συμπεράνουμε ότι η συνάρτηση είναι εγχυτική και όχι εκθετική, καθώς οι αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί δεν θα λαμβάνουν βέλη.
Είναι ενέσιμο, καθώς κάθε στοιχείο του τομέα (ℝ+) αφορά μόνο ένα στοιχείο του αντίθετου τομέα (ℝ).
ΣΙ) φά: ℝ → ℝ+
Η συνάρτηση, σε αυτήν την περίπτωση, έχει τον τομέα ως όλους τους πραγματικούς και τον αντίθετο τομέα ως θετικούς. Γνωρίζουμε ότι οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός τετράγωνο είναι θετικός, επομένως όλα τα στοιχεία του counterdomain έχουν λάβει βέλη, οπότε η συνάρτηση είναι εθελοντική. Δεν θα γίνεται ένεση, επειδή τα στοιχεία τομέα σχετίζονται με δύο στοιχεία αντί-τομέα, για παράδειγμα:
φά(–2) = (–2)2 = 4
φά(2) = (2)2 = 4
ντο) φά:ℝ+ → ℝ+
Σε αυτό το παράδειγμα η συνάρτηση έχει τομέα και αντίθετο τομέα ως τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς, έτσι η συνάρτηση είναι διωστήρας, γιατί κάθε θετικός πραγματικός αριθμός σχετίζεται με ένα μόνο πραγματικός αριθμός θετικό του αντίθετου τομέα, στην περίπτωση αυτή το τετράγωνο του αριθμού. Επιπλέον, όλοι οι αριθμοί counterdomain έλαβαν βέλη.
σύνθετη συνάρτηση
Ο σύνθετη συνάρτηση σχετίζεται με το ιδέα συντόμευσης. Εξετάστε τρία μη κενά σύνολα Α, Β και Γ. Σκεφτείτε επίσης δύο συναρτήσεις f και g, όπου η συνάρτηση f παίρνει τα στοιχεία x από το σύνολο A στα στοιχεία y = f (x) από το σύνολο B και η συνάρτηση g παίρνει τα στοιχεία y = f (x) στα στοιχεία z από το σύνολο C.
Η συνθετική συνάρτηση λαμβάνει αυτό το όνομα επειδή είναι μια εφαρμογή που μεταφέρει στοιχεία από το σύνολο Α απευθείας σε στοιχεία από το σύνολο Γ, χωρίς να περάσει από το σύνολο Β, μέσω της σύνθεσης των συναρτήσεων f και g. Κοίτα:
Η συνάρτηση που υποδηλώνεται με το (f o g) μεταφέρει τα στοιχεία από το σετ Α απευθείας στο σετ C. Ονομάζεται σύνθετη συνάρτηση.
- Παράδειγμα
Εξετάστε τη συνάρτηση f (x) = x2 και η συνάρτηση g (x) = x + 1. Βρείτε τις σύνθετες συναρτήσεις (f o g) (x) και (g o f) (x).
Η συνάρτηση f o g δίνεται από τη συνάρτηση g που εφαρμόζεται στο f, δηλαδή:
(f o g) (x) = f (g (x))
Για να προσδιορίσουμε αυτήν τη σύνθετη συνάρτηση, πρέπει να εξετάσουμε τη συνάρτηση φά, και, στη θέση της μεταβλητής x, πρέπει να γράψουμε τη συνάρτηση σολ. Κοίτα:
Χ2
(x + 1)2
(f o g) (x) = f (g (x)) = x2 + 2x + 1
Ομοίως, για να προσδιορίσουμε τη συνθετική συνάρτηση (g o f) (x), πρέπει να εφαρμόσουμε τη συνάρτηση φά στο ρόλο σολ, δηλαδή, σκεφτείτε τη συνάρτηση g και γράψτε τη συνάρτηση f στη θέση της μεταβλητής. Κοίτα:
(x + 1)
Χ2 + 1
Επομένως, η σύνθετη συνάρτηση (g o f) (x) = g (f (x)) = x2 + 1.
Ομαλή λειτουργία
Σκεφτείτε μια συνάρτηση φά: A → ℝ, όπου το Α είναι ένα υποσύνολο των μη κενών πραγματικών. Μια συνάρτηση f θα είναι ομοιόμορφη μόνο για όλα τα πραγματικά x.
Παράδειγμα
Εξετάστε τη λειτουργία φά: ℝ → ℝ, δίνεται από f (x) = x2.
Σημειώστε ότι για οποιαδήποτε πραγματική τιμή x, εάν τετράγωνο, το αποτέλεσμα είναι πάντα θετικό, δηλαδή:
f (x) = x2
και
f (–x) = (–x)2 = x2
Έτσι f (x) = f (–x) για οποιαδήποτε πραγματική τιμή x, έτσι η συνάρτηση φά είναι ζευγάρι.
Διαβάστε επίσης:Ιδιότητες ισχύοςs - τι είναι και πώς στο χρήσηαέρας?
μοναδική λειτουργία
Σκεφτείτε μια συνάρτηση φά: A → ℝ, όπου το Α είναι ένα υποσύνολο των μη κενών πραγματικών. Μια συνάρτηση f θα είναι περίεργη μόνο για όλα τα πραγματικά x.
- Παράδειγμα
Εξετάστε τη λειτουργία φά: ℝ → ℝ, δίνεται από f (x) = x3.
Δείτε ότι για οποιαδήποτε τιμή x μπορούμε να γράψουμε ότι (–x)3 = -χ3. Δείτε μερικά παραδείγματα:
(–2)3 = –23 = –8
(–3)3 = –33 = –27
Έτσι μπορούμε να πούμε ότι:
f (–x) = (–x)3 = –Χ3
f (–x) = (–x)3 = –στ (x)
Έτσι για οποιοδήποτε πραγματικό x f (–x) = –f (x), και έτσι η συνάρτηση f (x) = x3 είναι μοναδικό.
αυξανόμενη λειτουργία
Μια συνάρτηση φά é αυξάνεται σε ένα διάστημα εάν και μόνο εάν, καθώς τα στοιχεία τομέα αυξάνονται, οι εικόνες τους αυξάνονται επίσης. Κοίτα:
Σημειώστε ότι x1 > x2 και το ίδιο συμβαίνει και με την εικόνα, έτσι μπορούμε να καθορίσουμε μια αλγεβρική συνθήκη για τη συνάρτηση φά είναι αυξάνεται.
Φθίνουσα συνάρτηση
Μια συνάρτηση φά é μειώνεται σε ένα διάστημα εάν και μόνο εάν, καθώς μεγαλώνουν τα στοιχεία τομέα, οι εικόνες τους μειώνονται. Κοίτα:
Δείτε ότι, στον τομέα της συνάρτησης, έχουμε αυτό το x1 > x2, ωστόσο αυτό δεν συμβαίνει στην εικόνα λειτουργίας, όπου f (x1)
σταθερή λειτουργία
Όπως λέει το όνομα, α η λειτουργία είναι συνεχής όταν, για οποιαδήποτε τιμή τομέα, η τιμή της εικόνας είναι πάντα η ίδια.
σχετική λειτουργία
Ο συγγενή λειτουργία ή πολυώνυμο του πρώτου βαθμού είναι γραμμένο με τη μορφή:
f (x) = ax + b
Όπου a και b είναι πραγματικοί αριθμοί, το a είναι μη μηδέν και το γράφημα σας είναι μια γραμμή. Η συνάρτηση έχει πραγματικό τομέα και επίσης πραγματικό αντίθετο τομέα.
τετραγωνική λειτουργία
Ο τετραγωνική λειτουργία ή πολυώνυμη λειτουργία του δεύτερου βαθμού δίνεται από ένα πολυώνυμος του δεύτερου βαθμού, έτσι:
f (x) = τσεκούρι2 + bx + γ
Όπου a, b, και c είναι πραγματικοί αριθμοί με μη μηδέν και το γράφημα σας είναι α παραβολή. Ο ρόλος έχει επίσης πραγματικό τομέα και αντίθετο τομέα.
αρθρωτή λειτουργία
Ο αρθρωτή λειτουργία με μεταβλητή x βρίσκει-αν μέσα στην ενότητα και αλγεβρικά εκφράζεται από:
f (x) = | x |
Η συνάρτηση έχει επίσης πραγματικό τομέα και αντίθετο τομέα, δηλαδή μπορούμε να υπολογίσουμε την απόλυτη τιμή οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού.
εκθετικη συναρτηση
Ο εκθετικη συναρτησηεμφανίζει τη μεταβλητή x στον εκθέτη. Έχει επίσης πραγματικό τομέα και πραγματικό αντίθετο τομέα και περιγράφεται αλγεβρικά από:
f (x) = αΧ
Όπου a είναι ένας πραγματικός αριθμός μεγαλύτερος από το μηδέν.
λογαριθμική συνάρτηση
Ο λογαριθμική συνάρτηση έχει το μεταβλητή στο λογάριθμο και ο τομέας που σχηματίζεται από πραγματικούς αριθμούς μεγαλύτερους από το μηδέν.
Τριγωνομετρικές συναρτήσεις
Στο τριγωνομετρικές συναρτήσεις έχω το μεταβλητή x που περιλαμβάνει τριγωνομετρικές αναλογίες, τα κύρια είναι:
f (x) = αμαρτία (x)
f (x) = cos (x)
f (x) = tg (x)
λειτουργία ρίζας
Η συνάρτηση root χαρακτηρίζεται από το να έχει το μεταβλητή μέσα στη ρίζα, με αυτό, εάν το ευρετήριο της ρίζας είναι ομοιόμορφο, ο τομέας της συνάρτησης γίνεται μόνο οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί.
από τον Robson Luiz
Καθηγητής μαθηματικών